1、2.1.1曲线与方程,在必修二,我们研究了直线和圆的方程,讨论了这些曲线和相应的方程的关系.,1.经过y轴截距为b 和斜率为k的直线l的方程_.2.圆心为(a,b) ,半径为r的圆C的方程为_.,复习回顾,3、说出下列方程所表示的曲线： (1) x = a (2) y = b,(1) 过点 ( a , 0 ) 垂直于 x 轴的直线,(2) 过点 ( 0 , b ) 垂直于 y 轴的直线,热身练习,1 .第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 x-y=0.,点的横坐标与纵坐标相等,x=y（或x- y=0）,第一、三象限角平分线,含有关系：,（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上,曲线,条件
2、,方程,想想：曲线和方程之间有什么对应关系呢？,一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程f(x,y)=0叫做这条 曲线C的方程;这条曲线C叫做这个 方程f(x,y)=0的曲线.,定义:,说明:1.曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形.,知识探究,知识探究,说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程x=2的关系,、直线上的点的坐标都满足方程x=2,、满足方程x=2的点
3、不一定在直线上,结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是x=2,根据定义，判断下列曲线与方程的关系：,例1：判断下列结论的正误并说明理由 1.过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=3; 2.到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y=2 ; 3.ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0 4.到两坐标轴距离乘积等于常数k(k0) 的点的轨迹方程为xy=k.,对,错,错,为什么?,解题探究,证明：(1)设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为|x0|,所以|x0|y0|=k,即(x0,y0)是方程xy=k的解.
4、,(2)设点M1(x1,y1)是方程xy=k的解,则x1y1=k, 即|x1|y1|=k.而|x1|,|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离,因此点M1到这两条直线的距离的积是常数,点M1是曲线上的点.,由(1) (2)知, xy=k与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程,解题探究,第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；,归纳小结:证明已知曲线的方程的方法和步骤,第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.,1.曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1)其方程为(x-y)(x+y)=0;
5、,3.曲线C是, 象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y= 。,2.曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+ =0;,热身练习,练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？,练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？,热身练习,练习3 ：设圆M的方程为 , 直线的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1)，那么,A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上,C,热身练习,例3：证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是 x2 +y2 = 25.,(2)设 (x0,y0) 是
6、方程x2 +y2 = 25的解，那么x02 +y02 = 25 两边开方取算术根，得 即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆上的一点.,由(1)、(2)可知，x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程.,解题探究,变式训练：写出下列半圆的方程,y,y,y,1. “曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的（ ）条件. (A)充分 (B)必要 (C)充要 (D)既非充分也非必要 2.ABC的顶点坐标分别为A（-4，-3），B（2，-1）， C（5，7），则AB边上的中线的方程为_.,热身练习
7、,课堂练习3:已知方程 的曲线经过点 ,则m=_, n=_.,(1)举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合而不符合 (2)举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合而不符合. (3) 举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合又符合 。,变式思维训练，深化理解,课时小结,一、证明已知曲线的方程的方法和步骤：,1.用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；,设点,2.写适合条件p的点M的集合P=M|P(M)；,列式,3.用坐标表示条件P(M)，列方程f(x,y)=0；,4.化方程f(x,y)=0为最简形式；,化简,5.说明化简以后的方程的解为坐标的点都在曲线上。,二、在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的基础。,
