1、1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.,2.数列的通项公式如果数列an的第n项an与 之间的关系可以用一 个公式 来表示，那么这个公式叫这个数列的 通项公式.,1.数列的概念按照 排列着的一列数称为数列，一般用 表 示，数列中的每一个数叫做这个数列的项.,一定顺序,an,序号n,anf(n),思考探究 (1)数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？,提示：不唯一，如数列1,1，1,1，的通项公式可以为an(1)n或an ，有的数列没有通项公式.,(2)数列是否可以看作一个函数，若是，其定义域是什么？,提示：可以看作一
2、个函数，其定义域是正整数集N*(或它的有限子集1,2,3，n)，可表示为anf(n).,3.数列的表示方法数列的表示方法有 、 、 .,列表法,公式法,图象法,1.下列说法正确的是 ( )A.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B.数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同的数 列C.数列 的第k项为1D.数列0,2,4,6，可记为2 n,解析：根据数列的定义与集合定义的不同可知A，B不正确；D项2 n中的n N*，故不正确；C中an ，ak1 .,答案：C,2.已知数列1， ， ， ， ，则3 是这 个数 列的 ( )A.第22项 B.第23项C.第24项 D.第28项,解析：数列的通
3、项公式是an ，令3 ，解得n 23，所以3 是这个数列的第23项.,答案：B,3.已知数列an的前n项的乘积为Tn ， n N*，则a100 ( )A.3198 B.3199C.3200 D.3201,解析：a100 3199.,答案：B,4.数列an的前n项和Snn21，则an .,解析：当n1时，a1S12； 当n2时，anSnSn1(n21)(n1)21 n2(n1)22n1， an,答案：,5.设数列an中，a12，an1ann1，则通项an .,解析：由an1an n 1，an1an n 1， a2a12，a3a23，a4a34，anan1 n ， 累加得ana123n， an .
4、,答案：,1.观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律， 横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n的关系”，从而确定数列的通项公式. 2.利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.,特别警示 根据数列的前n项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整.,写出下列数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，. (2) ， ， ， ，
5、，. (3)1， ， ， ， ， ，. (4) ，1， ， ， ， ，. (5)3,33,333,3 333，.,思路点拨,课堂笔记 (1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21 ， 22 ， 23 ， 24，所以an . (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子 (1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n .,也可写成an .,(4)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式中必含有因子(1)n1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项
6、到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是321,421,521,621，按照这样的规律，第1、2两项可改写为， ，所以an(1) n1 .,(5)将数列各项改写为 ，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，所以an (10n1).,数列的通项an与前n项和Sn的关系是： an,特别警示 在应用此关系式求通项时，要分n1和n 2两种情况讨论，最后检验两种情形能否适合用一个式子表示，若能，将n1的情况并入n 2时的通项an；若不能，就用分段函数表示.,(2009安徽高考)已知数列an的前n项和Sn2 n22 n ，数列bn的前n项和Tn2bn. (1)求
7、数列an与bn的通项公式； (2)设cn bn，证明：当且仅当n 3时，cn1cn.,思路点拨,课堂笔记 (1)a1S14； 对于n2，有anSnSn1 2 n(n 1)2(n 1) n 4 n. 综上，an的通项公式an4 n. 将n1代入Tn2bn，得b12b1，故T1b11. (求bn)法一：对于n 2， 由Tn12bn1，Tn2bn 得bnTnTn1(bnbn1)， bn bn1，bn21n.,(求bn)法二：对于n2， 由Tn2bn得Tn2(TnTn1)， 2Tn2Tn1，Tn2 (Tn12)， Tn221 n(T12)21 n ， Tn221 n ，bnTnTn1(221 n)(2
8、22 n)21 n. 综上，bn的通项公式bn21n.,(2)法一：由cn bnn225n， 得 (1 )2， 当且仅当n3时，1 ， 即cn1cn. 法二：由cn bnn225 n ，得 cn1cn24 n(n1)22 n 2 24 n(n 1)22， 当且仅当n3时，cn1cn0，即cn1cn,若将“Sn2n22n”改为“Sn3nb”，如何求an.,解：当n1时，a1S13b； n2时，anSnSn123n1. 当b1时，a12适合an23n1，,an23n1； 当b1时，a13b不适合an23n1， an 综上可知，当b1时，an23n1； 当b1时，an,由a1和递推关系求通项公式，可
9、观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等. 1.构造等比数列，已知首项a1，如果递推关系为an1 qanb(nN*)时，求数列an的通项公式的关键是将 an1qanb转化为an1aq(ana)的形式，其中 a的值可由待定系数法确定，即qanban1qan (q1)aa (q1).(此种方法称为待定系数法),2.已知a1且anan1f(n)(n2)，可以用“累加法”，即an an1f(n)，an1an2f(n1)，a3a2f(3)，a2 a1f(2).所有等式左右两边分别相加，得(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)f(n) f(n1)f(3)f(2)，即ana
10、1f(2)f(3)f(n1)f(n).,3.已知a1且 f(n)(n2)，可以用“累乘法”，即 f(n)， f(n1)， f(3)， f(2)，所有等式 左右两边分别相乘，得 f(n)f(n 1)f(3)f(2)，即ana1f(2)f(3)f(n1)f(n).,根据下列条件，确定数列an的通项公式. (1)a11，an13an2； (2)a12，an1an3n2.,思路点拨,课堂笔记 (1)an13an2， an113(an1)， 即 3，又a11，a112， 数列an1是以2为首项，以3为公比的等比数列. an123n1， an23n11.,(2)an1an3n2，anan13n1(n2)，
11、 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 (3n1)(3n4)52 n (n2). 当n1时，a1 (311)2符合公式， an (3 n 2 n).,若将(1)中的“an13an2”改为“an1(n1)an”，如何求an.,解：an1(n1)an， n1. n， n 1，,3， 2，a11. 累乘可得， ann(n 1)(n 2)321.,由于数列可以视为一种特殊的函数，所以在研究数列问题时，可以借助研究函数的许多方法进行求解，如： 1.有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数 列的单调性来解决； 2.将数列的项的最值问题转化为二次函数的最值问题解决.,特别警示 在利用数列
12、的函数性质解题时一定要注意n只能取正整数.,已知函数f(x)2x2x，数列an满足f(log2an) 2n. (1)求数列an的通项公式； (2)求数列an的最大项.,思路点拨,课堂笔记 (1)依题意得f(log2an)2 2 an 2n， 2nan10，又an0，an n. (2)由(1)得，an1an (n1)( n) 1 10，,an1an，即数列an为递减数列，其最大项为 a1 1.,高考对本节内容的常规考法是：已知数列的通项或递推关系式，求数列的各项.09年陕西高考打破传统的考查方式，将数列与导数相结合命题，考查了学生综合运用所学知识处理问题的能力，是高考命题的一个新方向.,考题印证
13、(2009陕西高考)设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn等于 ( )A. B.C. D.1,【解析】 f(x)(n1)xn，f(x)在点(1,1)处的切线斜率kn1，则切线方程：y1(n1)(x1)，令y0，切线与x轴交点横坐标xn ，x1x2xn .,【答案】 B,自主体验对正整数n，设曲线yxn(1x) 在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列 的前n项和Sn .,解析：yxn(1x)， y(xn)(1x)(1x)xnnxn1(1x)(xn). f(2)n2n12n(n2)2n1. 在点x2处点的纵坐标为y2n， 切线方程为y2n(
14、n2)2n1(x2)， 与y轴交点纵坐标为y(n1)2nan， 2n成等比数列，首项为2，公比为2， 前n项和为 (2n1)22n12.,答案：2n12,1.数列an：1， ，的一个通项公式是 ( )A.an(1)n1 B.an(1)n1C.an(1)n1 D.an(1)n1,解析：可用验证法取n1，可知只有D适合.,答案：D,2.数列an中，an1 ，a12，则a4 ( )A. B.C. D.,解析：由递推关系式可得a2 ，a3 ，a4 .,答案：B,3.已知数列an的通项公式是ann2kn2，若对于 nN*，都有an1an成立，则实数k的取值范围是( )A.k0 B.k1C.k2 D.k3
15、,解析：an1an，即(n1)2k(n1)2n2kn2，则k(2n1)对于nN*都成立，而(2n1)在n1时取到最大值3，所以k3.,答案：D,4.已知数列an满足a1a2a3ann2n1，则数列an的通项为 .,解析：当n1时，a11，当n2时，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)1 n2n(n1)2(n1) 2n2. 又当n1时 2n201 an .,答案：an,1 (n=1) 2n-2 (n2),1 (n=1) 2n-2 (n2),5.(2010苏北三市联考)若数列an满足an1且a1 ，则a2008 .,2an (0an1), an-1 (an1).,解析：由条件可知a22a1
16、2 ， a3a21 1 ， a42a3 ，a5a41 1 ，a62a5 ， a72a6 ， 数列an的周期为5， 200840153，a2008a3 .,答案：,6.设数列an的前n项和为Sn.已知a1a，an1Sn3n， nN*.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围.,解：(1)(把an1转化为Sn1Sn)依题意，Sn1Sn an1Sn3n， 即Sn12Sn3n， 由此得Sn13n12(Sn3n)， 因此，所求通项公式为 bnSn3n(a3)2n1，nN*. ,(2)由知，Sn3n(a3)2n1，nN*， 于是，当n2时， anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n2 23n1(a3)2n2， an1an43n1(a3)2n2,2n212( )n2a3， 当n2时，an1an12( )n2a30a9. 又a2a13a1. 综上，所求的a的取值范围是9，).,
