1、平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 1 -数 学亲爱的 2019 届平冈学子：恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。从 2016 年开始，广东省高考数学试题使用全国 I 卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的兴趣。
2、你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。这里给大家几个学数学的建议：1、 记 数 学 笔 记 ， 特 别 是 对 概 念 理 解 的 不 同 侧 面 和 数 学 规 律 ， 教 师 为 备 战 高 考 而 加 的 课 外 知 识 。 记 录 本 章 你 觉 得 最 有 价 值 的 思 想 方 法或 例 题 ， 以 及 你 还 存 在 的 未 解 决 的 问 题 ， 以 便 今 后 将 其 补 上 。2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题
3、完整、推理严密。 3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 6、 及 时 复 习 ， 强 化 对 基 本 概 念 知 识 体 系 的 理 解 与 记 忆 ， 进 行 适 当 的 反 复 巩 固 ， 消 灭 前 学 后 忘 。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归
4、类。如：从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求
5、，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，
6、而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。9. 角度问题，三角函数问题。在初中只涉及 360范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时，度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方
7、法的培养。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 2 -目 录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.分式12 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2.2 二次函数2.2.1 二次函数 yax 2bxc 的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算1.1.1绝对值一、概念：
8、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即,0,|,.a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数 和数 之间的距离baab二、典型例题：例 1 解不等式： 4|1|x解法一：由 ，得 ；0若 ，不等式可变为 ，即 ，得 ，又 x1，)(x41x3x -3；若 ，不等式可变为 ，即 又 51x5综上所述，原不等式的解为 或 。3x解法二：如图 111， 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离| PA|，即|PA| x1|；所以 的几何意义即为4|P
9、A|4可知点 P 在点 C(坐标为-3)的左侧、或点 P 在点 D(坐标 5)的右侧 或 。3x5练 习 A1填空：（1）若 ，则 x=_；若 ，则 x=_.4x（2）如果 ，且 ，则 b_；若 ，则 c_.ba1a12选择题：1Ax-3CxP|x 1|图 111D5平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 3 -下列叙述正确的是 （ ）（A）若 ，则 （B）若 ，则 abab（C）若 ，则 （D ）若 ，则练习 B3解不等式： 3|2|x4、化简：|x5| |2x 13|（x5） 1.1.2. 乘法公式一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；2()ab
10、ab（2）完全平方公式 2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；23()（2）立方差公式 ；2abab（3）三数和平方公式 ；()ccca（4）两数和立方公式 ；3223()（5）两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明二、典型例题例 1 计算： 22(1)(1)()xxx解法一：原式= 2= = 46解法二：原式= 22()()xx= 31= 6例 2 已知 ， ，求 的值4abc4abc22abc解： 22()()8练 习 A1填空：（1） （ ） ；21()943aba（2） ；(m264(m)(3 ) 2)cc2选择题：（1）若 是一个完全
11、平方式，则 等于 （ ）2xkk（A） （B） （C） （D ）214213m216m（2）不论 ， 为何实数， 的值 （ ）ab8ab（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式一、概念：一般地，形如 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 (0)a必须记住平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 4 -， 等是无理式，而 ， ， 等是有理式23ab2ab21x22xya1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二
12、次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与 ， 与 ，23a与 ， 与 ，等等 一般地， 与 ， 与 ， 与362323axaxbyxbyxb互为有理化因式axb分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ；而对(0,)abb于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同
13、类二次根式2 二次根式 的意义 2a2a,0,.a二、典型例题例 1 将下列式子化为最简二次根式：（1） ； （2） ； （3） b2(0)ab64(0)xy解： （1） ； （2） ；32ab（3） 634()xyxy例 2 计算： ()解法一： 33()39(1)632解法二： ()1()例 3 试比较下列各组数的大小：（1） 和 ； （2） 和 .2106426解： （1） ，1(1)()1，000又 ，21 （2） 6(2)(26)2,+ +又 42 ，2 4 2 ，6 6 2 .例 4 化简： 204205(3)(3)解： 2045 204 ()()() 20413 例 5 化简：（
14、1） ； （2） 94521(01)xx平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 5 -解：（1）原式= 4522)(5（2）原式= ，21()xx ， ， 所以，原式 01x练 习 A1填空：（1） _ _； （2）若 ，则 的取值范围是_ _ _；3 2(5)3()5xxx（3） _ _；42659150（4）若 ，则 _ _x1xx（提示先简化后代入）2选择题：等式 成立的条件是 （ ）2x（A） （B ） （C） （D ）0x2x02x练习 B3若 ，求 的值221abab4比较大小：2 （填“”，或“”） 3 5 41.1.4分式一、概念：1分式的意义形如 的式子，若 B
15、中含有字母，且 ，则称 为分式当 M0 时，分式 具有下列性质： ； A0BAABAMBMB上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像 ， 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式abcd2mnp二、典型例题：例 1 若 ，求常数 的值54(2)xABx,A解： ，()()2542()x 解得 5,24A,3例 2 （1）试证： （其中 n 是正整数） ；1()1n平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 6 -（2）计算： ；112390（ 3） 证 明 ： 对 任 意 大 于 1 的 正 整 数 n， 有 11234()2n（1）证明： ，1()()n （其中 n 是正整数）成立
16、()1（2）解：由（1）可知2390()()1 10（3）证明： 234()n 11() ，2n又 n2，且 n 是正整数， 一定为正数，1n 1 1234()n12例 3 设 ，且 e1，2c 25ac2a 20，求 e 的值a解：在 2c25ac2a 20 两边同除以 a2，得2e25e 20，(2e 1)(e2) 0，e 1，舍去；或 e2 e212练习 A1填空题：对任意的正整数 n， ( )；(2)12n2选择题：若 ，则 （ ）23xyx（A） （B） （C ） （D ）5445653正数 满足 ，求 的值,xyxy224计算 11.234910习题 11A 组平冈中学 2019
17、届初高中数学衔接知识点及习题- 7 -1解不等式： 13x已知 ，求 的值1xy3xy3填空：（1） _；1819(23)()（2）若 ，则 的取值范围是_；22aa（3） _134564填空： ， ，则 _ _；12b22ba5已知： ，求 的值,3xyyxyB 组1选择题：（1）若 ，则 （ ）2abba（A） （ B） （C） （D）0b0ba（2）计算 等于 （ ）1（A） （B） （C ） （D）aaa2计算： 113245912 分解因式一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法平冈中学 2019 届
18、初高中数学衔接知识点及习题- 8 -例 1 分解因式：（1）x 23x2； （2）x 24x12；（3） ； （4） ()aby1y解：（1）如图 121，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)( x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 121 中的两个 x 用 1 来表示（如图 122 所示） （2）由图 123，得 x24x12(x2)( x6)（3）由图 124，得 2)aby()ayxb（4） xy ( xy )1(x1)
19、 (y+1) （如图 125 所示） xy2提取公因式法与分组分解法例 2 分解因式：（1） ； （2） 329xx22456xyxy解： （1） = =3()(9)(3)()= ()或 32218312 2(1)()xx 二次项 一次项 常数项()3（2） =22456yy)(45)6xyxy= ()= ()x3关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于 x 的方程 的两个实数根是 、 ，则二次三项式 就可分解为 .0)ab1x22(0)axbc12()ax例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1） ； （2） 214y解： （1）令 =0，则解得 ， ，1x
20、2 =2x()()= （2）令 =0，则解得 ， ，224y1xy1(2)xy = x()2()y二、练习 A1选择题：多项式 的一个因式为 （ ）2215y（A） （B） （C ） （D）x3xy3xy5xy2分解因式：（1）x 26x8； （2）8a 3b 3；（3）x 22x1； （4） (1)(2)xyx练习 B 组1分解因式：12xx图 1211211图 1222611图 123aybyxx图 12411xy图 125x+y2x-y 2-3平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 9 -（1） ； （2） ； 31a42139x（3） ； 22bcacb2在实数范围内因式分
21、解：（1） ； （2） ； 253x23x（3） ； 224xy3分解因式：x 2x(a 2a )2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式一、概念：我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，用配方法可以将其变形为 24()bacx因为 a0，所以，4a 20于是（1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2 ；24bac（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根x1x 2 ；a（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根2()bxa由此可知，一
22、元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程ax2bxc0 （a0 ）的根的判别式，通常用符号“” 来表示综上所述，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，有（1） 当 0 时，方程有两个不相等的实数根 x1，2 ；2ca（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根 x1x 2 ；b（3）当 0 时，方程没有实数根二、典型例题：平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 10 -例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x 23x30； （2）x 2ax10；
23、 （3） x2ax(a1)0； （4）x 22xa0解：（1）3 2413 30，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式 a 241( 1)a 240，所以方程一定有两个不等的实数根 ， 214ax24ax（3）由于该方程的根的判别式为 a 241( a1)a 24a4(a 2)2，所以，当 a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x 21；当 a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x 2a 1（4）由于该方程的根的判别式为 2 241a44a4(1 a)，所以当 0，即 4(1 a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根， ；1xx当 0，即 a1 时，方程有两个
24、相等的实数根 x1x 21；当 0，即 a1 时，方程没有实数根说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）一、概念：1、若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根， ， 则有14bx24bacx；22 ba221 244(4)bcbacacx所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是 x1，x 2，那
25、么 x1x 2 ，x 1x2 这一关系也被称为韦达定理bca2、特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x 2 是其两根，由韦达定理可知 x1x 2p，x 1x2q，即 p(x 1x 2)，qx 1x2，所以，方程 x2pxq0 可化为 x2( x1x 2)xx 1x20，由于 x1，x 2 是一元二次方程 x2pxq0 的两根，所以，x 1，x 2 也是一元二次方程 x2(x 1x 2)xx 1x20 的两根，因此有以两个数 x1，x 2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2(x 1x 2)xx 1x20二、典型例题：例 2 已知方程 的一个根是 2，
26、求它的另一个根及 k 的值256kx分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值解法一：2 是方程的一个根，52 2k2 60，k7所以，方程就为 5x27x60，解得 x12，x 2 35所以，方程的另一个根为 ，k 的值为73解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1 ，x 1 6由 （ ） 2 ，得 k735所以，方程的另一个根为 ，k 的值为735平冈中学 2019 届初高
27、中数学衔接知识点及习题- 11 -例 3 已知关于 x 的方程 x22(m 2)xm 240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设 x1，x 2 是方程的两根，由韦达定理，得 x1x 22(m 2)，x 1x2m 24x 12x 22x 1x221， (x 1x 2)23 x 1x221，即 2( m 2)23(m 24)21，化简，得 m216m170， 解得 m
28、1，或 m17当 m1 时，方程为 x26 x50，0，满足题意；当 m17 时，方程为 x230 x2930，30 2412930，不合题意，舍去综上，m-1说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可（）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大于或大于等于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例 4 已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利
29、用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是 x，y，则 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得 x(4x)12，即 x24x120，x 12，x 26 或,y,.y因此，这两个数是2 和 6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根解这个方程，得 x12，x 26 所以，这两个数是2 和 6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x25x30 的两根（1）求| x 1x 2|的值； （2）求 的值； （3）x 13x 231解：x 1 和 x2 分别是一元二
30、次方程 2x25x30 的两根， ， 5123x（1）| x 1x 2|2x 12+ x222 x 1x2( x1x 2)24 x 1x2 25()4() 6 ， | x 1x 2| 5497（2） 221121221 35()()() 3749x （3）x 13x 23(x 1x 2)( x12x 1x2x 22)(x 1x 2) ( x1x 2) 23x 1x2( )( )23( ) 5358注意：说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，
31、则， ，4bac24bx| x 1x 2|224baca4|bac于是有下面的结论：平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 12 -若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则| x1x 2| （其中 b 24ac） |a今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围解：设 x1，x 2 是方程的两根，则 x1x2a40， 且 (1) 24( a4)0 由得 a4，由得 a 174a 的取值范围是 a4练习 A1选择题：（1）方程 的根的情
32、况是 （ ）2230xk（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于 x 的方程 mx2 (2m1) xm0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 （ ）（A）m （B）m （C）m ，且 m0 （D）m ，且 m0 14141414（3）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（4）下列四个说法：方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7；方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 ；3方程
33、 3 x22 x0 的两根之和为2，两根之积为 0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个（5）关于 x 的一元二次方程 ax25xa 2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D ）0，或12填空:（1）若方程 x23x10 的两根分别是 x1 和 x2，则 12（2）方程 mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 （4）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k （5）方程 2x2x40 的两根为 ，则 2 2 （6）已知关于 x 的方程 x2ax3a0 的一个根是2，则它的
34、另一个根是 （7）方程 2x22x10 的两根为 x1 和 x2，则| x 1x 2| 3已知 ，当 k 取何值时，方程 kx2axb0 有两个不相等的实数根？86|ab4已知方程 x23x10 的两根为 x1 和 x2，求(x 13)( x 23)的值5试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2 (2m1) x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？6求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 13 -练习 B 组1选择题:若关于 x 的方程 x2(k 21) xk10 的两实根互
35、为相反数，则 k 的值为 （ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若 m，n 是方程 x22005x10 的两个实数根，则 m2nmn 2mn 的值等于 （2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a 2bab 2b 3 的值是 3已知关于 x 的方程 x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为 x1 和 x2，如果 2(x1x 2)x 1x2，求实数 k 的取值范围4一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两根为 x1 和 x2求：（1）| x 1x 2|和 ；（2）x 13x 2315关于 x 的方程 x24xm
36、0 的两根为 x1，x 2 满足| x 1x 2|2，求实数 m 的值22 二次函数2.2.1 二次函数 yax 2bxc 的图像和性质一、复习引申：问题 1 函数 yax 2 与 yx 2 的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x 2，y x2，y2x 2 的图象，通过这些函数图象与函数 yx 2 的图象之间的关系，推1导出函数 yax 2 与 yx 2 的图象之间所存在的关系先画出函数 yx 2，y 2x 2 的图象先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 x2 9 4 1 0 1 4 9 2x2 18 8 2 0 2 8 18从表中不难看出，要得到 2x2 的值，
37、只要把相应的 x2 的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数 yx 2，y2x 2 的图象（如图 21 所示） ，从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x 2 的图象可以由函数 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y x2，y 2x 2 的图象，并研究这两个函数图象与函数1yx 2 的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：1、二次函数 yax 2(a0)的图象可以由 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到在二次函数yax 2(a0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系
38、中的开口的大小问题 2 函数 ya( xh )2k 与 yax 2 的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数 y2( x1) 21 与 y2x 2 的图象（如图 22 所示） ，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x 2 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数 y2( x1) 21 的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数 y3x 2，y3(x1) 21 的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：2、二次函数 ya( xh )2k
39、(a0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象图 2.2-2xyO1y2x 2y2(x1) 2y2(x1) 21yx 2y2x 2图 2.2-1xOy平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题- 14 -的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax 2bxc( a0)的图象的方法：由于 yax 2bxc a(x 2 )c a( x2 )cbb42b，4()bx所以，yax 2bxc (a0)的图象可以看作是将函数 yax 2 的图象作左右平移、上下平移
40、得到的，于是，二次函数yax 2bxc(a0) 具有下列性质：3、 （1）当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向上；顶点坐标为 ，对称轴为直线 x ；当 x 时，y24(,)bac2ba2ba随着 x 的增大而减小；当 x 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x 时，函数取最小值 y ba24c（2）当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向下；顶点坐标为 ，对称轴为直线 x ；当 x 时，y 随24(,)bac2ba2ba着 x 的增大而增大；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x 时，函数取最大值 y ba 4c上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224
41、 直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题二、典型例题：例 1 求二次函数 y 3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值） ，并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象解：y 3x26x13(x1) 24，函数图象的开口向下；对称轴是直线 x1；顶点坐标为(1，4)；当 x1 时，函数 y 取最大值 y4；当 x1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x1 时，y 随着 x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点 A(1，4)，与 x 轴交于点 B 和 C ，与 y 轴23(,
42、0)23(,0)的交点为 D(0，1)，过这四点画出图象（如图 25 所示） 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示：x /元 130 150 165y/件 70 50 35若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量 y(销售价 x120)，日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 ykx+b将 x130，y70；x150，y50 代入方程，有 7013,5kb解得 k1，b200 yx200设每天的利润为 z（元） ，则xyOx 2baA24(,)bac图 2.2-3xyOx 2baA2(,
