1、3.7 傅里叶变换的基本性质,对称性质 线性性质 奇偶虚实性 尺度变换性质 时移特性 频移特性 微分性质 时域积分性质,意义,傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：,了解特性的内在联系； 用性质求F()； 了解在通信系统领域中的应用。,一对称性质,1性质,2 意义,例,0,( 1 ),(t),t,0,2,(),0,1,F(),t,0,1,F(t),t,例：,相移全通网络,例,0,t,t ,c,二线性性质,1性质,2上例,三奇偶虚实性,在3.4的“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。,1、f(t)是实函数实函数傅里叶变换
2、的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数,若f(t)是实偶函数，F()必为的实偶函数,若f(t)是实奇函数，F()必为的虚奇函数,2、 f(t)是虚函数,虚函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱仍为偶、奇函数，但实部R()为奇函数，虚部 X()为偶函数。,令,实部,虚部,由定义,证明：,可以得到,任意 f(t)，都具有如下性质,四尺度变换性质,综合上述两种情况,证明： 因为,意义,(1) 0a1 时域扩展，频带压缩。,(2) a1 时域压缩，频域扩展a倍。,(1) 0a1 时域扩展，频带压缩。,脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。,持续时间短，变化快。信号在频
3、域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。,（2）a1 时域压缩，频域扩展a倍。,等效脉冲宽度与等效频带宽度,等效脉冲宽度与占有的等效带宽成反比。,五时移特性,幅度频谱无变化，只影响相位频谱，,时移加尺度变换,时移加尺度变换证明,例:求图(a)所示三脉冲信号的频谱。,解：,因为,脉冲个数增多，频谱 包络不变，带宽不变。,.,例：已知双Sa信号,试求其频谱。,令,已知,由时移特性得到,从中可以得到幅度谱为,双Sa信号的波形和频谱如图（d） （e）所示。,方法一：先标度变换，再时
4、延,方法二：先时延再标度变换,相同,2证明,1性质,六频移特性,3说明,4应用,通信中调制与解调，频分复用。,例：已知矩形调幅信号,解：,因为,频谱图,七微分性质,时域微分性质频域微分性质,或,1时域微分,注意,时域微分性质证明,即,逆变换的定义,注意,如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶变换，余下部分再用微分性质。,例：求三角函数的频谱密度函数,分析,2频域微分性质,推广,例如,解：,解：,八时域积分性质,也可以记作：,时域积分性质证明,变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为,交换积分顺序 ，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换,解：,3.8卷积特性（卷积定理）,卷
5、积定理 卷积定理的应用,一卷积定理,时域卷积定理,时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。,频域卷积定理,时域卷积定理的证明,因此,所以,卷积 定义,交换积分次序,时移 性质,卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信,系统和信号处理研究领域中得到大量应用。,求系统的响应。,将时域求响应，转化为频域求响应。,二应用,用时域卷积定理求频谱密度函数。,例：已知,利用卷积定理求三角脉冲的频谱。,可以把三角脉冲f (t)看作两个同样的矩形脉 冲G(t)的卷积。,根据卷积的定义可以得出,矩形脉冲的宽度为,矩形脉冲的幅度为E1,则有,矩形脉冲的频谱,根据时域卷积定理,把余弦脉冲f (t)看作矩形脉冲G(t)
6、与无穷长余弦函数 的乘积，其表达式为,例： 已知,利用卷积定理求余弦脉冲的频谱。,根据卷积定理可以得到,化简后得到余弦脉冲的频谱为,可以求得,3.9 周期信号的傅里叶变换,正弦信号的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换 如何由F0()求Fn 单位冲激序列的傅氏变换 周期矩形脉冲序列的傅氏变换,周期信号：,非周期信号：,周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？,引言,由欧拉公式,由频移性质,一正弦信号的傅里叶变换,同理,已知,频谱图,由傅里叶级数的指数形式出发：,其傅氏变换(用定义),二一般周期信号的傅里叶变换,几点认识,三如何由 求,比较式(1),(2),四周期单位冲激序列的傅里叶变
7、换,频谱,五周期矩形脉冲序列的傅氏变换,单个脉冲的傅里叶变换,F(),利用时域卷积定理,3.10 抽样信号的傅里叶变换,时域抽样理想抽样 矩形脉冲抽样 频域抽样,从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的第一个环节。,周期 信号,抽样原理图：,一抽样,满足：,根据频域卷积定理,二理想抽样（周期单位冲激抽样）,冲激抽样信号的频谱,几点认识,1抽样信号,三矩形脉冲抽样,E,关系,限带信号,频谱结构,四. 频域抽样,抽样后的频谱函数F1()所对应的时域函数f1（t）与f（t）之间的关系？,已知,根据时域卷积定理,结论：信号的时域与频域呈抽样（离散）与周期（重复）对应关系。,t,相乘,卷积,
8、例 大致画出周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱,解：,矩形单脉冲 f0(t) 的傅里叶变换为,若 f0(t) 以T1为周期进行重复便构成周期信号f1(t),根据频域抽样特性可知， f1(t) 的傅里叶变换F1()是由F0()经过间隔为1（2/T1）冲激抽样得到。,若f1(t)被间隔为Ts的冲激序列所抽样，便构成周期矩形抽样信号f s(t)，即,根据时域抽样特性可知 fs(t) 的傅里叶变换Fs()是由F1() 以s（2/Ts)为间隔重复而得到。,f1(t),f1(t),3.11 抽样定理,一、时域抽样定理,重建原信号的必要条件：,不满足此条件，就会发生频谱混叠现象。,奈奎斯特(Nyquist) 抽样频率和抽样间隔,若信号f(t)是时间受限信号，它集中在- tm tm的时间范围内，若在频域中以不大于 的频率间隔对f(t)的频谱F()进行抽样，则抽样后的频谱F1()可以唯一地表示原信号。,二、频域抽样定理,说明：频域抽样间隔,在频域F()等间隔抽样，等效于在时域f (t)波形的周期重复。重复的周期Ts2 tm,f (t),-tm,1,t,tm,本章小结,一.周期信号的傅里叶级数,二.傅里叶变换,
