1、中国古代数学成就教案第 1 课时：萌芽时期的中国古代数学及十进位值制计数法教学目标：通过介绍萌芽时期的中国古代数学并重点介绍十进位值制计数法，进一步认识和了解我国古代数学的起源和发展，激发数学学习兴趣和爱国情感。教学重点：十进位值制计数法教学过程：一、 总体概况中国古代数学成就辉煌，既有系统的理论又有丰硕的成果，直到 16 世纪许多数学分支在国际上都处于领先地位，是名副其实的数学强国，就如同造纸、火药、指南针、印刷术这四大发明一样，是中华民族对世界文明的一项重大贡献，是值得炎黄子孙珍视的一份骄傲。中国古代数学具有悠久的传统，在古代世界四大文明中（中国与古代埃及、印度、巴比伦并称为四大文明古国）
2、 ，中国数学持续繁荣时期最为长久。可大致将我国古代数学发展分为萌芽时期的中国古代数学、汉唐数学、宋元全盛时期的数学、明清数学四个阶段。二、 萌芽时期的中国古代数学一提起萌芽时期的我国古代数学，与数学起源有关的一连串问题就会很自然地首先涌入我们的脑海： 最初的数的概念是什么时候产生的？我们的祖先是什么时候学会使用数字的？几何图形又是什么时候开始被我们祖先有意识地引入生活的？这些首先引起我们兴趣的问题几乎个个都是头等难答的问题，对于我们炎黄子孙来说，这些难解之迷的魅力也许是永久性的。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前 2000 年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家夏朝。其后有商
3、、殷两代(约 1500B.C-1027B.C)、及周朝(1027B.C-221B.C)。历史上又称公元前八世纪至秦王朝的建立(221B.C)为春秋战国时期。据易系辞记载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契” 。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有 13 个独立符号，记数用合文书写，其中有十进位制的记数法，出现最大的数字为三万。算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间(法则是：
4、一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当)，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。在几何学方面史记夏本记中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理( 西方称毕氏定理)的特例。战国时期，齐国人着的考工记汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有墨经中关于某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，一中同
5、长也” 、 “平，同高也”等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。 庄子记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一” 、 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其他数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。三、 十进位制计数法十进制是一种便捷的计数方法，而筹算是一种有效的工具，两者均是中国对世界的重大贡献。在同时代的各古代文明中，只有中国提出了十进制。当古希腊伟大学者阿基米德费尽心机地陈述如何用字母系统表示大数时，中国人已“持筹而算”这些大数，甚
6、至“善计者不用筹策了” 。没有看似平常的十进制，便很难顺利表述较大的数字。世界上目前仍有一些处于原始发展阶段的部族，对于十以上的数字只能统称为“多” ，恐怕与没有适当的进位方法有关。用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间(法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当)，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。筹算直到十五世纪元朝年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。现在全球通用的一、二、三、四、五等所谓“印度 阿拉伯”数字出现很晚。公元六世纪，印度才有“二十” 、 “三十”等
7、表示十的倍数的数字记号；公元七世纪，印度才有了采用完整十进制的证据。此时，中国与印度的往来早已不是什么难得的事情了。公元十世纪，十进制记数法传入欧洲，为其后近代自然科学的兴起打下了一个重要基础。法国数学家拉普拉斯曾这样评价十进制：“这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以至于我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位。而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。 ”先进的计数方法导致了整个数学领域的发展。中国古代数学中的分数、负数、小数概念，解高次方
8、程和线性方程组的方法，内插法，一次同余式组解法等，均与筹算和十进制有关。负数概念就诞生于“持筹而算”的过程中，至晚在战国时，人们已在筹算中以红筹表示正数，黑筹表示负数。筹算法还是后来机械运算法的前身。在筹算法与十进制完善之际，即春秋战国时，中国古代数学进入了第一个辉煌时期。战国初期法纪中关于一个农夫家庭收支的叙述中，已使用了加、减、乘、除运算法。古代历法中回归年，朔望月长度（日数）均不是整数，其中的非整数部分都是用分数来表示的，且历法中已有了分数的计算。在几何方面，勾股定理已被发现，点、线、面、体概念也由墨家提了出来。极限概念渐趋明确。最为重要的是，以 周髀算经 、 墨经为代表的一批流传千古的
9、数学著作在那时诞生了。 第 2 课时：汉唐数学及九章算术教学目标：通过介绍汉唐数学并重点介绍中国古代数学的代表作九章算术的历史地位和主要内容，进一步认识和了解我国古代数学的发展和成就，激发数学学习兴趣和爱国情感。教学重点：九章算术的基本内容教学过程：一、汉唐数学秦汉是中国古代数学体系的形成时期。为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专著陆续出现。西汉末年(公元前一世纪)编纂的天文学著作周髀算经在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。九章算术是一部经几代人整理、删补和修订而
10、成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年(公元一世纪)。全书采用问题集的形式编写，共收集了 246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面， 方程章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就九章算术的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学
11、的发展。魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对周髀算经做了详尽的注释。刘徽注释九章算术 ，不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，且在论述过程中多有创新，更撰写海岛算经 ，应用重差术解决有关测量的问题。刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。 孙子算经 、 夏侯阳算经 、 张丘建算经就是这个时期的作品。 孙子算经给出“物不知数”问题，导致求解一次同余组问题；张丘
12、建算经的“百鸡问题”引出三个未知数的不定方程组问题。 祖冲之、祖日桓父子的工作在这一时期最具代表性，他们在九章算术刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有突出的贡献。其著作缀术已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到 3.1415926n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到 3 世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比九章算术晚约 3 个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到 19 世纪末才由美国的数论
13、学家迪克森得出。第 3 课时：宋元全盛时期的数学与朱世杰教学目标：通过介绍宋元全盛时期的数学并重点介绍该时期集前贤之大成的数学家朱世杰，进一步认识和了解我国古代数学的发展和成就，激发数学学习兴趣和爱国情感。教学重点：集前贤之大成的朱世杰教学过程：一、 宋元全盛时期的数学唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪(宋、元两代)，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的黄帝九章算法细草(11 世纪中叶)，刘益的议古根源(12 世纪
14、中叶)，秦九韶的数书九章(1247)，李冶的测圆海镜(1248)和益古演段(1259)，杨辉的详解九章算法(1261)、日用算法(1262)和杨辉算法(1274-1275)，朱世杰的算学启蒙(1299)和四元玉鉴(1303)等等。宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，甚至是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有：高次方程数值解法；天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；大衍求一术，即一次同余式组的解法，现在称为中国剩余定理； 招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和。另外，其他成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的
15、研究、纵横图(幻方)的研究、小数(十进分数)具体的应用、珠算的出现等等。这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。二、集前贤之大成的朱世杰朱世杰（1249 年1314 年） ，字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术” ，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法” ，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术” ，即高次内插法。主要著作是算学启蒙与四元玉鉴 。朱世杰的主要贡献是创造了一套完整的消未知数方法，
16、称为四元消法这种方法在世界上长期处于领先地位，直到 18 世纪，法国数学家贝祖(Bezout)提出一般的高次方程组解法，才超过朱世杰。除了四元术以外，四元玉鉴中还有两项重要成就，即创立了一般的高阶等差级数求和公式及等间距四次内插法公式，后者通常称为招差术此书代表着宋元数学的最高水平，美国科学史家萨顿(GSarton)称赞它“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪的杰出数学著作之一”。朱世杰处于中国传统数学发展的鼎盛时期，当时社会上“尊崇算学，科目渐兴”，数学著作广为传播。对多元高次方程组解法、高阶等差级数求和，高次内插法都有深入研究，他著有算学启蒙(1299 年)、四元玉鉴(1303 年
17、)各 3 卷，在后者中讨论了多达四元的高次联立方程组解法，联系在一起的多项式的表达和运算以及消去法，已接近近世代数学，处于世界领先地位，他通晓高次招差法公式，比西方早四百年，中外数学史家都高度评价朱世杰和他的名著四元玉鉴。从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的四元玉鉴。四元玉鉴成书于 1303 年。全书共 3 卷，24 门，288 问，主要论述高次方程组的解法（这也是朱世杰的最大贡献）、高阶等差级数求和以及高次内插法等内容。是流传至今且对四元术进行系统论述的重要代表作。在天元术的基础上，朱世杰建立了“四
18、元高次方程理论”，他把常数项放在中央（即“太”），然后“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”，“天、地、人、物”这四“元”代表未知数，(即相当于如今的x、y、z、w，)四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其它各项放在四个象限中。如果用现代的 x、y、z、w 表示天、地、人、物，那我们可以把朱世杰列高次多元方程的方法表示：而上面的两个图形“四元一次筹式”与“四元二次筹式”所表示的方程分别为：x+y+z+w=0，用上述方法列出四元高次方程后，再联立方程组进行解方程组，方法是用消元方法解答,先择一元为未知数，其它元组成的多项式作为这未知数的系数，然后把四元四式消去一元，变成三元三
19、式，再消去一元变二元二式，再消去一元，就得到只含一元的天元开方式，然后用增乘开方法求得正根。这是线性方法组解法的重大发展，在西方，较有系统地研究多元方程组要等到 16 世纪。高阶等差级数求和与高次内插法也是四元玉鉴的重要内容。由许多求和问题中的一系列三角垛公式可归纳得公式。朱世杰给出了上式中当 p=1，2，6时的公式。此外，还有其它高阶等差级数求和公式。在招差法方面，朱世杰相当于给出了招差公式，这比西方要早 400 多年。美国著名的科学史家萨顿评论说：“朱世杰是他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，四元玉鉴是“中国数学著作中最重要的一部，同时也是整个中世纪最杰出的数学著作之一
20、。”朱世杰不仅是一名杰出的数学家，他还是一位数学教育家，曾周游四方各地，教授生徒 20 余年。并亲自编著数学入门书，称为算学启蒙。在算学启蒙卷下中，朱世杰提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了九章算术的不足。“燕山朱松庭先生”，是元朝时代的一位杰出的数学家。所写的四元玉鉴和算学启蒙，是中国古代数学发展进程中的一个重要的里程碑，是中国古代数学的一份宝贵的遗产。13 世纪中叶，朱世杰除了接受北方的数学成就之外，他也吸收了南方的数学成就，尤其是各种日用算法、商用算术和通俗化的歌诀等等。朱世杰曾“周游四方”，莫若（古代数学家）序中有“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣。四方之来学者日众
21、，先生遂发明九章之妙，以淑后图学，为书三卷名曰四元玉鉴”，祖颐后序中亦有“汉卿名世杰，松庭其自号也。周流四方，复游广陵，踵门而学者云集”。经过长期的游学、讲学等活动，终于在 1299 年和 1303 年，在扬州，刊刻了他的两部数学杰作算学启蒙和四元玉鉴。杨辉书中的归除歌诀在朱世杰所著算学启蒙中有了进一步的发展。清罗士琳认为：“汉卿在宋元间，与秦道古（即秦九韶）、李仁卿可称鼎足而三。道古正负开方，汉卿天元如积皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦、李之上”。清代数学家王鉴也说：“朱松庭先生兼秦、李之所长，成一家之著作”。朱世杰全面继承了并创造性地发扬了天元术、正负开方法等秦
22、、李书中所载的数学成就之外，还囊括了杨辉书中的日用、商用、归除歌诀之类与当时社会生活密切相关的各种算法，并作了新的发展。第 4 课时：明清数学及中国古代数学的回落教学目标：通过介绍明清数学时期中国古代数学的回落及中西数学的最终合流，进一步认识和了解我国古代数学的发展，激发数学学习兴趣和爱国情感。教学重点：中国古代数学的回落及中西数学的最终合流教学过程：一、明清数学这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共 500 多年。数学除珠算外出现全面衰弱的局面，当中涉及到珠算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题，不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。十六
23、世纪末，西方初等数学开始传入中国，使中国数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。鸦片战争后，近代高等数学开始传入中国，中国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。直到十九世纪末，中国的近代数学研究才真正开始。明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至程大位的直指算法统宗(1592)问世，珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的完成。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。隋及唐初，印度数学和天文学知识曾传入中国，但影响较细。到了十六世纪末，西方传教士开始到中国活动，和中国学者合译了许多西方数学专着。其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马
24、窦和徐光启合译的几何原本前 6 卷(1607)，其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推崇。徐光启本人撰写的测量异同和勾股义便应用了几何原本的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。此外，几何原本课本中绝大部份的名词都是首创，且沿用至今。在输入的西方数学中仅次于几何的是三角学。在此之前，三角学只有零星的知识，而此后获得迅速发展。介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的大测(2 卷，1631)、割圆八线表(6 卷)和罗雅谷的测量全义(10 卷，1631)。在徐光启主持编译的崇祯历书(137 卷，1629-1633)中，介绍了有关圆椎曲线的数学知识。入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他坚信中国传统数学“
25、必有精理”，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的高潮是有积极影响的。与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人。二、 中国古代数学的回落从朱世杰到明朝程大位将近三百年的光景，没有出现一位重要的数学家，也没有出现一部重要的数学著作。而且不仅没有什么新的发展，就是宋元数学所留下的那份宝贵遗产也没有保住。为什么我国古代数学发展到十四世纪突然发生了中断？这个问题历来受中外史学家的关注。弄清楚这一历史事实的前因后果，显然具有十分重大的理论意义和现实指导意义。数学发展的最根本的动力来源于社会生产的需要。但是影响数学发展的还有其他一些因素，例如，统治阶级所实
26、行的文化政策时常对数学的发展起着举足轻重的作用。明朝的唐顺之、顾应祥身为数学家却不知道为什么要设未知数，因此在数学史上经常被放在一个十分尴尬的位置，成为大家嘲笑的对象。为什么二人会认为多此一举呢？原因就在于摆在唐顾二人面前的数学问题都比较简单，用算术解法一般都能应付得了，若用设未知数列方程的方法来解反而常常显得累赘。况且测圆海镜 、 益古演段 、 四元玉鉴这几本讲天元术的著作都很简略，十分难懂。另外书中的题目都多不是来自实践，而是出于讲解天元术和四元术的需要煞费苦心假设出来的。但是无论我们以怎样的理由原谅唐顾二人，我们都没有任何理由解脱明王朝对于我国古代数学回落所应负的历史责任。我国封建社会发
27、展到明朝已经到了衰老阶段，社会中资本主义生产力因素的积累，以及与之相应的各种进步思想的萌芽，越来越构成对于统治阶级的威胁。在这种形势下，扼杀各种越轨思想，在统治阶级眼中成为压倒一切的中心任务。八股文的出现，是中华民族文化的一场灾难，广大知识分子统统被赶进了八股文的死胡同，这可以说是我国古代数学在明朝大幅度回落的一个极其重要的原因。另外，我国古代数学本身的理论结构松散也是回落的原因之一。在欧洲漫长的中世纪黑暗中，数学也基本是停滞不前，但欧几里得几何学并没有丢失，这其中一个很重要的原因是，欧几里得几何学本身系统性很强。相比之下，我国古代数学，特别是几何学，在逻辑结构方面始终没有达到欧几里得几何学的
28、水平。三、 中西数学的最终合流清康熙帝爱好科学研究，他“御定”的数理精蕴(53 卷，1723)，是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。干嘉年间形成一个以考据学为主的干嘉学派，编成四库全书，其中数学著作有算经十书和宋元时期的著作，为保存濒于湮没的数学典籍做出重要贡献。在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有“谈天三友”之称的焦循、汪莱及李锐作出不少重要的工作。李善兰在垛积比类(约 1859)中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为“李善兰恒等式”。这些工作较宋元时期的数学进了一步。阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记畴人传46 卷(1795-1810)，开数学史研究
29、之先河。1840 年鸦片战争后，闭关锁国政策被迫中止。同文馆内添设“算学”，上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二次翻译引进的高潮。主要译者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的几何原本后 9 卷(1857)，使中国有了完整的几何原本中译本；代数学13 卷(1859)；代微积拾级18 卷(1859)。李善兰与英国传教士艾约瑟合译圆锥曲线说3 卷，华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译代数术25 卷(1872)，微积溯源8 卷(1874)，决疑数学10 卷(1880)等。在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今仍在应用。1898 年建立京师大学堂，同文馆并入。1905 年废除科举，建立西方式学校教育，使用的课本也与西方其他各国相仿。我国数学与西方数学已日渐融为一体，在这个过程中，李善兰、华蘅芳等人作出了较大成绩。到 1918 年，我国数学家开始在国际上的杂志发表创造性的论文。所以，我国古代数学和近代数学的分期划分一般以“五四”（1919）为界。
