1、推理与证明,推理与证明,推理,证明,合情推理,演绎推理,直接证明,数学归纳法,间接证明,比较法,类比推理,归纳推理,分析法,综合法,反证法,知识结构,2.1合情推理与演绎推理,歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇数之和”,即:偶数奇质数奇质数,歌德巴赫猜想的提出过程：3710，31720，131730，,歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇数之和”,即:偶数奇质数奇质数,改写为:1037，20317，301317,63+3， 100029+971， 83+5， 1002=139+863, 105+5, 125+7， 147+7， 165+11, 18 =7+
2、11, ，,这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳),归纳推理由部分到整体，由个别到一般的推理，结论未必为真需证明,归纳推理由部分到整体，由个别到一般的推理，结论未必为真需证明,例1:已知数列an的第1项a1=1且 (n=1,2,3 ),试归纳出这个数列的通项公式., 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； 提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。,归纳推理的一般步骤：,例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.,4,6,4,5,5,6,
3、5,9,8,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,7,7,9,16,9,10,15,10,15,F+V-E=2,猜想,欧拉公式,例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.,当n=1时,a1=1,当n=2时,a2=,3,1,2,3,当n=1时,a1=1
4、,当n=2时,a2=,3,解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.,当n=3时,a3=,7,当n=4时,a4=,15,猜想 an=,2n -1,1,2,3,练习1：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。,由此猜想：,练习2：三角形的内角和是180度，凸四边形的内角和是360度，凸五边形的内角和是540度，,由此猜想：,所有的爬行动物都是用肺呼吸的。,凸n边形的内角和是(n-2) 1800,练习3：,由此猜想：,归纳推理：,从个别事实中推演出一般性的结论.,实验、观察,概括、推广,猜测一般性结论,1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫
5、的牙齿,发明了锯,2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.,3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、绕轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.,科学家猜想;火星上也可能有生命存在.,4.利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.,问题情境,若 ， 则,若 ， 则,5.利用平面向量的性质类比得空间向量的性质,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长,以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方
6、程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2,圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2,6.利用圆的性质类比得出球的性质,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,7.利用等差数列性质类比等比数列性质,n+m=p+q时, am+an= ap+aq,n+m=p+q时, aman= apaq,任意实数a、b都有等差中项 ，为,当且仅当a、b同号时才有等
7、比中项 ，为,成等差数列,成等比数列,图(1),图(2),以上几个例子均是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理.(简称:类比法),（2）类比推理的一般模式为:,注：（1）类比推理是由一类对象特征到另一类对象特征的推理。,归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围，是从特殊到一般得命题的猜测，是否正确是需要证明的。,类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式，类比推理是否正确是需要证明的。,实验、观察,概括、推广,猜测一般性结论,观察、比较,联想、类推,猜测新的结论,小结：,
