1、1高三数学强化训练（4）解析几何一1、已知以点 P为圆心的圆经过点 1,0A和 3,4B，线段 A的垂直平分线交圆 P于点 C和 D，且. (1)求直线 CD的方程； 求圆 P的方程；|0CD设点 Q在圆 上，试问使 Q的面积等于 8 的点 Q共有几个？证明你的结论.2求椭圆 y 21 上的点到直线 yx2 的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭x圆上点的坐标3已知双曲线 C： ，214yx（1）求直线 被双曲线 C 截得的弦长；（2）求过定点 的直线被双曲线 C 截得的弦中点轨迹方程(0,)4已知定点 及椭圆 ,过点 的动直线与椭圆相交于 两点(1,0)C235xyC,AB（1）若线段 中
2、点的横坐标是 ，求直线 的方程；AB1AB（2）在 轴上是否存在点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说xMM明理由25、在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C（0，p）作直线与抛物线 x2=2py（p0 ）相交于 A、B 两点。（）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由。6、如图，已知抛物线 ： 和 ： ，过抛物线 上一点Cpxy2M1)4(2yxC作两条直线与 相切于 、 两点，分别交抛物线为 E、F 两点，
3、圆心点)1(,0yxHAB到抛物线准线的距离为 M47（）求抛物线 的方程；C（）当 的角平分线垂直 轴时，求直线 的斜率；ABxEF（）若直线 在 轴上的截距为 ，求 的最小值yt *7.设椭圆 E: （a,b0）过 M（2， ） ，N( ,1)两点，O 为坐标原点，21xyab6（I）求椭圆 E 的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ？OAB若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。高三数学强化训练（4）解析几何一参考答案31、解：直线 AB的斜率 1k ， 中点坐标为 1,2 ，AB直线 CD方程为
4、2yx即 +y-3=0 设圆心 ,abP，则由 在 上得: ab 又直径 , , |410|10A2()4由解得 36ab或52ab圆心 3,6P 或 5,2 圆 P的方程为 240xy 或 2240xy 24AB ， 当 Q面积为 8时 ，点 Q到直线 AB的距离为 2 又圆心 P到直线 的距离为 42，圆 P的半径 10r 且 4210 圆上共有两个点 使 AB的面积为 8 2解: 设椭圆的切线方程为 yx b，代入椭圆方程，得 3x24 bx2b 220.由 (4b) 243(2b 22)0，得 b.当 b时，直线 yx 与 yx2 的距离 d1Error!，将 b代入方程3x24bx2
5、b 220，解得 xError!，此时 yError!，即椭圆上的点 3 到直线 yx2 的距离最小，最小值是Error!；当 b时，直线 yx 到直线 yx2 的距离 d2Error!，将 b代入方程 3x24 bx2b 220，解得 xError!，此时 yError!，即椭圆上的点 3 到直线 y x2 的距离最大，最大值是 Error!.3.解析：（1）由 得 得 （*）214yx22(1)40x2350x设方程（*）的解为 ，则有 得，12,x15,312 28|()4293dx（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为 ，它被双曲1ykx线截得的弦为 对应
6、的中点为 ， AB,Py由 得 （*）214ykx2()50kx设方程（*）的解为 ，则 ， ，,224()k21680,|5k且 ，1212xk ，121224(),()()4yxk，得 或 。24xky20(4xy0)y方法二：设弦的两个端点坐标为 ，弦中点为 ，则12,)(,AxB(,)Pxy得： ，21xy121212124()()y ， 即 ， 即 （图象的一部分）1212()x4x40xy4.解： （1）依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ,ABAB(1)ykx将 代入 ,消去 整理得 ， (1)ykx235yy22(31)6350kx设 ,2,)A则 .136,0)53(
7、4221 2kxk4由线段 中点的横坐标是 ，AB12得 ，解得 ，适合2123xk3k所以直线 的方程为 或AB10xy10xy（2）假设在 轴上存在点 ，使 MBA为常数 (,)m（）当直线 与 轴不垂直时，由（1）知， 2212635,3kkxx所以 21212212()()()MABmyxmkx； 22()kxkxk将代入，整理得 222 2114()3(61)533ABkk， 224()m注意到 是与 无关的常数，从而有 ，此时 ；MABk 76140,3m49MAB（）当直线 与 轴垂直时，此时点 的坐标分别为 ，xAB、 2(1,)(,)3当 时，亦有 ；73m49综上，在 轴上
8、存在定点 ，使 为常数. x7(,0)3M5.解法 1：（）依题意，点 N 的坐标为 N（0,-p）,可设 A（x 1,y1）,B（x 2,y2） ，直线 AB 的方程为y=kx+p,与 x2=2py 联立得 消去 y 得 x2-.2pkxy2pkx-2p2=0.由韦达定理得 x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是 1SSACNBAN 221214)(px .28422kpkp.min0SABN与与（）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y=a,AC 的中点为 径的圆相交于点与ACtO,P、Q，PQ 的中点为 H，则 与2, 1pyxOPQ .212)(21pyxACO21py,11
9、apya 222HP= 11)(4)(4pyapy ,2a=22)(PHQ.)()(42apya令 ，得 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 ，0paPQp与, 2py即抛物线的通径所在的直线.解法 2：（）前同解法 1，再由弦长公式得 22212122 844)( pkxxkxkAB .22p又由点到直线的距离公式得 .21kpd从而， ,212212 kpABSABN5.2max0pSkABN与与（）假设满足条件的直线 t 存在，其方程为 y=a，则以 AC 为直径的圆的方程为将直线方程 y=a 代入得,0)()(11ypx ).()2(4)(4,121 apyayax 与设直线
10、 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P（x 2,y2）,Q（x 4,y4）,则有 .)()()()2(4113 apyapayxPQ 令 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 .Qpa与与,02 2py即抛物线的通径所在的直线。6、解：（）点 到抛物线准线的距离为 ，M24p17 ，即抛物线 的方程为 21pCxy2（）法一：当 的角平分线垂直 轴时，点 ， ，AHB),4(HHEFk设 ， ， ， ，1(,)Exy2(,)F12yyxx122yy . 124H1221214EFyykx法二：当 的角平分线垂直 轴时，点 ， ，可得 ，ABx)2,(H60AB3HAk，直线 的方程为
11、 ，联立方程组 ，3HBk 34yxy243得 ， ， ， 0242y2E6Ey31Ex同理可得 ， ， 36Fy341Fx41EFk（）法一：设 ， ， ，),(),(21yBA1xyMA1yxHA可得，直线 的方程为 ，H05441x同理，直线 的方程为 ，)(22y ， ，05)4(101201xyx 0154)(200xyx直线 的方程为 ，AB022(4)415y令 ，可得 ，0x)(0t 关于 的函数在 单调递增， t0y1,)1mint法二：设点 ， ， 2(Hm24276HM242715HAm以 为圆心， 为半径的圆方程为 ， A()()xy 方程： M1)4(2yx-得：直线
12、 的方程为 B2242(4)()71xmy当 时，直线 在 轴上的截距 ， 0xAy15t 关于 的函数在 单调递增，tm1,)min7.解:（1）因为椭圆 E: （a,b0）过 M（2， ） ，N( ,1)两点,2xyab6所以 解得 所以 椭圆 E 的方程为2416ab2842a2184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ,设OAB6该圆的切线方程为 解方程组 得 ,即ykxm2184xykm22()8xk,22(1)40kx则= ,即26(1)()0kk2840km,1228mxk 22221212112(8)48()()11km
13、kmkyxkxmx要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所以OAB120y2280k230又 ,所以 ,所以 ,即 或 ,因为2380mk4k23m286m263直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 ,yx 21rk, ,所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足22831mrk263r283xyyxm或 ,而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交2626 6x2184点为 或 满足 ,综上, 存在圆心在原点的圆 ，(,)326(,)3OAB 283xy使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 .因为 ,12248kmx所以 ,2222211148(4)()()()11kmkmxx 22222111()|()()AByxk, 4224353kk当 时021|ABk因为 所以 ,2148k20184k所以 ,23k所以 当且仅当 时取”=”.46|33AB2k 当 时, .0k| 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 或 ,所以此时 ,26(,)326(,)346|3AB综上, |AB |的取值范围为 即: 46|3AB4|,
