1、五猴分桃著名美籍华人科学家李政道在一次回国讲学期间，曾给中国科技大学少年班的同学出了这样一道古时的趣题：五只猴子采得一堆桃，它们约定次日早起来分。半夜里，一只猴子偷偷起来，把桃均分成五堆后，发现还多一个，它吃了这桃子，拿走了其中一堆。第二只猴子醒来，又把桃子均分成五堆后，还是多了一个，它也吃了这个桃子，拿走了其中一堆。第三只，第四只，第五只猴子都依次如此做了。问桃子数最少有多少个？我们试列方程来求解：设原有桃子 x 个，第一只猴吃掉 1 个再拿走余下桃子的五分之一，解这个多重括号的方程要特别小心。经过化简、整理，得256x3125y=2101(1)这里只有一个方程，但有 x，y 两个变量，用什
2、么方法来解这个方程呢？回溯五猴分桃的源头，最巧妙精采、最古老的方法当首推“辗转相除法”，这是约在距今 2200 年前古希腊学者欧几里得创立的。对于五猴分桃所得的方程(1)，我们先考虑：256x3125y=13125256 商等于 12，余 53；25653 商等于 4，余 44故有：3125=1225653， 256=45344，53=1449， 44=498，9181， 因而得：1=98=9(4449)=59445(5344) 44 553644553 6(256453)2953625629(312512 256)6 256256(-354)312529这样，方程 256x3125y=1 便
3、有一组解：x=-354，y=29接着，用 c=2101 遍乘 256x3125y=1 各项便有：256(-743754)-3125(-60929)=2101，由此可知方程 256x3125y=2101 有一组解：x=-743754，y=-60929因为方程 axby=c 只要有一组整数解x=x0，y=y 0，则一切整数解可表示成：xx 0bt，yy 0at故得 x 的解为：x=3125t743754故当 x 为最小正整数时，t=239于是满足题意的解为：x=31252397437543121这就是五猴分桃题中的总桃数。我们也可以用解不定方程的常规方法来解。把方程(1)改写为整数即可。容易看出
4、53 与 256 无公约数，因此 y=255 时满足要求。此时求出x=3121当然我们可以看出问题有无穷多解，上面求出的是满足条件的最小正整数解。科大少年班的一些同学是这样解的：因为桃子总数及每次剩下的桃子数都是 5 的倍数多 1(或者少 4)。又桃子数量在分的过程中被 5 除过 5 次，因此总数应与 5n有关(其中n5)先检验 5n1：整数。因此 5n1 不可能。再检验 5n4(n5)：至此已可看出，当 n5 时，数字 5n4 都满足要求，其中最小的那个数是554=3121(个)这种解法思维简明，可见少年班的同学智力的确不同凡响。上述解法可更简缩为如下的解法：假若我们借来 4 个桃子，这样桃
5、子数可连续 5 次均分成 5 堆，所以桃子数最少应该是554=3121(个)关于不定方程欧拉曾提出过如下的问题；有一个商人，用 1770 元去买马和牛。一匹马值 31 元，一头牛值 21元。求他各买了马和牛多少？有几种可能的答案？如果设买马和牛的头数分别为 x，y，则可得方程31x21y=1770因为 y 必须是正整数，所以 5x-3 必能被 21 整除。这时如果从 1 开始取 x 去检验，计算量是很大的。我们令 5x-3=21z(z 为整数)，代入(1)，得y84-x-2z，(2)再令 z3=5u，代入(3)与(2)，分别得x=4(5u3)u=21u12，(4)y=84(21u12)2(5u
6、3)=10231u(5)易见 y，z 均应为正整数，故 10231u0 且 5u-30，于是当 u=1 时，求出 x=9，y=71当 u=2 时，求出 x=30，y=40当 u=3 时，求出 x=51，y=9即总共有三种买马和牛的方法：买牛 71 头，马 9 匹；或买牛 40 头，马 30 匹；或买牛 9 头，马 51 匹。五猴分桃著名美籍华人科学家李政道在一次回国讲学期间，曾给中国科技大学少年班的同学出了这样一道古时的趣题：五只猴子采得一堆桃，它们约定次日早起来分。半夜里，一只猴子偷偷起来，把桃均分成五堆后，发现还多一个，它吃了这桃子，拿走了其中一堆。第二只猴子醒来，又把桃子均分成五堆后，还
7、是多了一个，它也吃了这个桃子，拿走了其中一堆。第三只，第四只，第五只猴子都依次如此做了。问桃子数最少有多少个？我们试列方程来求解：设原有桃子 x 个，第一只猴吃掉 1 个再拿走余下桃子的五分之一，解这个多重括号的方程要特别小心。经过化简、整理，得256x3125y=2101(1)这里只有一个方程，但有 x，y 两个变量，用什么方法来解这个方程呢？回溯五猴分桃的源头，最巧妙精采、最古老的方法当首推“辗转相除法”，这是约在距今 2200 年前古希腊学者欧几里得创立的。对于五猴分桃所得的方程(1)，我们先考虑：256x3125y=13125256 商等于 12，余 53；25653 商等于 4，余
8、44故有：3125=1225653， 256=45344，53=1449， 44=498，9181， 因而得：1=98=9(4449)=59445(5344) 44 553644553 6(256453)2953625629(312512 256)6 256256(-354)312529这样，方程 256x3125y=1 便有一组解：x=-354，y=29接着，用 c=2101 遍乘 256x3125y=1 各项便有：256(-743754)-3125(-60929)=2101，由此可知方程 256x3125y=2101 有一组解：x=-743754，y=-60929因为方程 axby=c 只
9、要有一组整数解x=x0，y=y 0，则一切整数解可表示成：xx 0bt，yy 0at故得 x 的解为：x=3125t743754故当 x 为最小正整数时，t=239于是满足题意的解为：x=31252397437543121这就是五猴分桃题中的总桃数。我们也可以用解不定方程的常规方法来解。把方程(1)改写为整数即可。容易看出 53 与 256 无公约数，因此 y=255 时满足要求。此时求出x=3121当然我们可以看出问题有无穷多解，上面求出的是满足条件的最小正整数解。科大少年班的一些同学是这样解的：因为桃子总数及每次剩下的桃子数都是 5 的倍数多 1(或者少 4)。又桃子数量在分的过程中被 5
10、 除过 5 次，因此总数应与 5n有关(其中n5)先检验 5n1：整数。因此 5n1 不可能。再检验 5n4(n5)：至此已可看出，当 n5 时，数字 5n4 都满足要求，其中最小的那个数是554=3121(个)这种解法思维简明，可见少年班的同学智力的确不同凡响。上述解法可更简缩为如下的解法：假若我们借来 4 个桃子，这样桃子数可连续 5 次均分成 5 堆，所以桃子数最少应该是554=3121(个)关于不定方程欧拉曾提出过如下的问题；有一个商人，用 1770 元去买马和牛。一匹马值 31 元，一头牛值 21元。求他各买了马和牛多少？有几种可能的答案？如果设买马和牛的头数分别为 x，y，则可得方
11、程31x21y=1770因为 y 必须是正整数，所以 5x-3 必能被 21 整除。这时如果从 1 开始取 x 去检验，计算量是很大的。我们令 5x-3=21z(z 为整数)，代入(1)，得y84-x-2z，(2)再令 z3=5u，代入(3)与(2)，分别得x=4(5u3)u=21u12，(4)y=84(21u12)2(5u3)=10231u(5)易见 y，z 均应为正整数，故 10231u0 且 5u-30，于是当 u=1 时，求出 x=9，y=71当 u=2 时，求出 x=30，y=40当 u=3 时，求出 x=51，y=9即总共有三种买马和牛的方法：买牛 71 头，马 9 匹；或买牛 40 头，马 30 匹；或买牛9 头，马 51 匹。
