1、问题 34 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题一、考情分析通过近几年各地高考试题可以发现,对圆的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.二、经验分享1.对于圆与圆锥曲线的相交问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。2. 垂直问题的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:联立方程组消去 成 y,得到
2、一个二次方程，设交点，韦达定理 代人垂直的数量积坐标公式整理求解。3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。三、知识拓展以 MN 为直径的圆经过点 P，则 MN，可转化为 0PN四、题型分析(一) 圆与椭圆的结合点1.1 圆的几何性质与椭圆相联系【例 1】 【2017 届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆 的中心在原点,离心率为 ,其右焦点是C2圆 ： 的圆心E2(1)xy（1）求椭圆 的标准方程；C（2）如图,过椭圆 上且位于 轴左侧的一点 作圆 的两条切线,分别交 轴于点 、 试推断是yPEyMN否存在点 ,使 ？若存在,求出点 的坐标；若不存在,请说明理由P14|3MNP【分析】(1)由
3、已知条件分别求出 的值,而 ,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点 满足ac22bacP题意,设点 （ ）, , ,利用条件求出直线 方程,根据圆心 到直线0(,)xy0()m(0)NnPM(1,0)E的距离为 ,求出 与点 坐标之间的关系,同理求出 与点 坐标之间的 关系,利用韦达定理求出P1P的表达式,算出 ,求出 点坐标.mnM【解析】 （1）设椭圆方程 ,半焦距为 ,21(0)xyabc因为椭圆的右焦点是圆 的圆心,则 ,Ec因为椭圆的离心率为 ,则 ,即 ,2a2从而 ,故椭圆 的方程为 221bacC21xy（2）设点 （ ）, , ,0(,)Pxy0()Mm(0)Nn则直线 的方
4、程为 ,即 ,M0x00yxym因为圆心 到直线 的距离为 1,(1,0)EP即 ,200|()ymx即 ,即 ,20()()yxmy20x200()myx同理 200()xn由此可知, , 为方程 的两个实根,m20()xyx所以 , ,02yn0n2|()4MNm2004()yxx2004()yx因为点 在椭圆 上,则 ,即 ,0(,)PxyC201xy2200x则 ,2 20084()4|()MNx 20()x令 ,201()3x则 ,9因为 ,则 , ,即 ,0x012200xy102y故存在点 满足题设条件(,)P【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距
5、、半径构成直角三角形 (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题【小试牛刀】已知椭圆 的离心率为 ,其左顶点 在圆 上.2:10xyWab32A2:16Oxy（）求椭圆 的方程；（）若点 为椭圆 上不同于点 的点,直线 与圆 的另一个交点为 ,是否存在点 ,使得PAPOQP？若存在,求出点 的坐标；若不存在,说明理由.3QA【答案】 （I） ；（II）不存在,理由见解析.2164xy【解析】 （I）因为椭圆 的左顶点 在圆 上,令 ,得 ,所以 .又离心率为WA2:16Oxy0y4xa,所以 ,所以 ,所以 .3232cea3c224bac所以 的方程为 .1
6、64xy（II）设点 , ,设直线 的方程为 ,1P2QAP4ykx与椭圆方程联立得 ,2416ykx化简得到 ,因为-4 为方程的一个根,22214360kxk所以 ,所以12x124所以 284kAP因为圆心到直线 的距离为 ,241kd所以 .2226816AQk因为 ,1PAQP代入得到 ,222 2843114kkAPk显然 ,所以不存在直线 ,使得 .231kAP3Q1.2 利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系【例 2】已知椭圆 C： 24xy.（1）求椭圆 的离心率；（2）设 O为原点,若点 A在椭圆 上,点 B在直线 2y上,且 OAB,试判断直线 A与圆2xy的位置关系,并证
7、明你的结论.【分析】 （1）把椭圆 C： 24xy化为标准方程,确定 2a,b,利用 ace求得离心率；（2）设点),(0yxA, (tB,其中 0,由 OBA,即 0,用 x、 0y表示 t,当 tx0或 t0分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判断直线 AB与圆 2y的位置关系. 【解析】 （1）由题意椭圆 C的标准方程为 124yx,所以 42a, 2b,从而 2422bac,所以 2ace.（2）直线 AB与圆 2yx相切,证明如下：设点 ),(0yxA, 2(tB,其中 0x,因为 O,所以 0,即 0ytx,解得 0t,当 tx0时, 20ty,代入
8、椭圆 C的方程得 2t,此时直线 AB与圆 22yx相切.当 t0时,直线 AB的方程为 )(20txy,即 0)()(000tty,圆心到直线 的距离为 2020)()(|txyd,又 420, 0xyt,故 2168|4|2| 020200xxyd.故此直线 AB与圆 22y相切.【小试牛刀】已知椭圆 2:Eab过点 0,2,且离心率 2e(1)求椭圆 E的方程； (2)设直线 :1lxmyR交椭圆 E于 A,B两点,判断点 94G,0与以线段 AB为直径的圆的位置关系,并说明理由【解析】解法一：（1）由已知得 22bca,解得 2abc,所以椭圆 E的方程为214xy（2）设点 1,Ax
9、y, 2B, A的中点为 0,Hxy由 214xmy,得 230m,所以 12my, 123,从而 02y,所以 222000000955214416GHxyyy,24AB2222111m221124myy2012y,故 22015546ABGHym22 2315706m,所以 2ABGH故点 9,04G在以 AB为直径的圆外解法二：（1）同解法一（2）设点 1,xy, 2,则 19,4Gxy, 29,4Bxy由 24mxy,得 230my,所以 12, 12y,从而 121294GABxy 121254y21212556myy22316m270,所以 cos,0GAB又 A,GB不共线,所以
10、 AGB为锐角故点 9,4在以 为直径的圆外(二) 圆与双曲线的结合点2.1 利用圆的性质解决双曲线的相关问题由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.【例 3】 【黑龙江省齐齐哈尔市 2019 届高三第一次模拟】已知半圆 ： ， 、 分别为半圆与 轴的左、右交点，直线 过点 且与 轴垂直，点 在直线 上，纵坐标为 ，若在半圆 上存在点 使，则 的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【分析】根据题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T，分析可得在 Rt PBT 中，| BT| |PB|
11、 |t|，分 p 在 x 轴上方、下方和 x 轴上三种情况讨论，分析| BT|的最值，即可得 t 的范围，综合可得答案【解析】根据题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T，则| PB| t|，由于 BP 与 x 轴垂直，且 BPQ ，则在 Rt PBT 中，|BT| |PB| |t|，当 P 在 x 轴上方时， PT 与半圆有公共点 Q， PT 与半圆相切时，| BT|有最大值 3，此时 t 有最大值 ，当 P 在 x 轴下方时，当 Q 与 A 重合时，| BT|有最大值 2，| t|有最大值 ，则 t 取得最小值 ，t0 时， P 与 B 重合，不符合题意，则 t 的取值范围为 ，0） ；故选：
12、 A【小试牛刀】 【福建省厦门市 2019 届高中毕业班第一次（3 月)质量检查】已知双曲线的一 个焦点为 ，点 是 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以 为直径的圆过 且交 的左支于 两点，若 ， 的面积为 8，则 的渐近线方程为（ ）A BC D【答案】B【解析】设双曲线的另一个焦点为 ，由双曲线的对称性，四边形 是矩形，所以 ，即，由 ，得： ，所以 ，所以 ，所以 ， ，所以 ，的渐近线方程为 .故选 B2.2 圆的切线与双曲线相联系 【例 4】已知双曲线 12byax的左右焦点分别为 12F、,O为双曲线的中心, P是双曲线右支上的点,21FP的内切圆的圆心为 I,且圆 与 x轴相切
13、于点 A,过 2作直线 I的垂线,垂足为 B,若 e为双曲线的离心率,则( )A. |OAeB B. |OBe C. | D. |OA与 |关系不确定【答案】C【解析】设内切圆在 1PF上的切点为 N, 2PF上的切点为 M, 12F上的切点为 , 的坐标为 (m,0), 12 1(DM)Am(c)aPFN,即 A,延长 2BF交 1P于S, B是角平分线和垂线, B是 2S的中点, O是 12的中点, B是中位线,112(PF)a2O, a, |A.【小试牛刀】已知点 1、 2为双曲线 C： 012byx的左、右 焦点,过 2F作垂直于 x轴的直线,在x轴上方交双曲线 C于点 M,且 302
14、1F圆 O的方程是 2byx（1）求双曲线 的方程；（2）过双曲线 上任意一点 P作该双曲线两 条渐近线的垂线,垂足分别为 1P、 2,求 21P的值；（3）过圆 O上任意一点 0y,xQ作圆 的切线 l交双曲线 C于 A、 B两点, 中点为 M,求证：ABM【解析】 （1）设 2,F的坐标分别为 220(1,)(,)by因为点 在双曲线 C上,所以 20y,即 20,所以 2Fb 在 21RtMF中, 0123, 2MFb,所以 21b 由双曲线的定义可知： 2故双曲线 C的方程为： 21yx （2）由条件可知：两条渐近线分别为 12:0;:0lxylxy 设双曲线 上的点 0(,)Qxy,
15、设两渐近线的夹角为 ,则则点 到两条渐近线的距离分别为 0012| ,|33xyxyPP因为 0(,)xy在双曲线 C：2yx上,所以 20xy又 1cos3,所以20002 1cos393xyxyxy（3）由题意,即证： OAB.设 12(),()Axy,切线 l的方程为： 02xy 当 0时,切线 的方程代入双曲线 C中,化简得：22200()4(4)yxy所以：20121220(4),()xyx又2212 012 0101000) 8()xyy y 所以 当 0y时,易知上述结论也成立 所以 综上, OAB,所以 (三) 圆与抛物线的结合点3.1 圆的性质与抛物线相结合【例 5】一个酒杯
16、的轴 截面是开口向上的抛物线的一段弧,它的口宽是的 4 10,杯深 20,在杯内放一玻璃球,当玻璃球的半径 r 最大取 时,才能使玻璃球触及杯底【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系,酒杯所在抛物线的方程设为2(0)xpy,因为过点 (210,),所以2(10),1p,即2(02)xy.玻璃球触及杯底,就是小球的截面圆2xyr与抛物线 xy有且仅有一个交点,即原点.由2(xyr与2xy消去 得： 0或 .因为有且仅有一个交点,即原点,所以 20,1r即半径 r 最大取 1. 【小试牛刀】 【广东省 2019 届天河区普通高中毕业班综合测试（二)】已知抛物线 C： 的焦点为 F，准线 l 与
17、 x 轴的交点为 A， M 是抛物线 C 上的点，且 轴，若以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2，则 ( )A2 B C4 D【答案】B【解析】把 代入 可得 ，不妨设 M 在第一象限，则 ，又 ， 直线 AM 的方程为 ，即 ，原点 O 到直线 AP 的距离 ，以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2，解得 故选： B3.2 抛物线的性质与圆的相联系【例 6】已知椭圆 离心率为 ,焦距为 ,抛物线 的210xyCab： 6322:0Cxpy焦点 是椭圆 的顶点.F1（）求 与 的标准方程；2（）设过点 的直线 交 于 两点,若 的右顶点 在以 为直径的圆内,求直线 的
18、斜率的取l2CPQ1CAPQl值范围.【分析】 （）椭圆 的焦距为 , ,得椭圆的标准方程,得到抛物线焦点,可得抛物线方程；1c36a（）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得 , , 在以 为直径的圆内kx421421xAPQ,得结果.0AQP【解析】 （）设椭圆 的焦距为 ,依题意有 , ,解得 , ,故椭圆 的标准1C2c2c63a3a1b1C方程为 ,又抛物线 开口向上,故 是椭圆的 上顶点, ,23xy2:0xpyF1C0,F故抛物线 的标准 方程为 .p 2C24（）由题意可设直线的方程为： ,设点 , ,联立 得1ykx1Pxy2Q214ykx,由韦达定理得 , .240xk124
19、12在以 为直径的圆内APQ1212030APQxxy212121638xx.4460kk【小试牛刀】已知抛物线 C： 2(0)ypx的焦点为 F,直线 4y与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且 5|4QFP.（I）求 C 的方程；（II）过 F 的直线 l与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相较于 M,N 两点,且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l的方程.【解析】 （I）设 ()0,4Qx,代入 2ypx=,得 0 088, .2pPQFxp=+=由题设得8524pp+=,解得 -（舍去）或 , C 的方程为 24y；（II）由题设知 l与坐标轴
20、不垂直,故可设 l的方程为 ()10xmy+,代入 24yx=得 20m-=设 ()()12,AxyB则12,y4=-故 AB的中点为 ()()222121, 41DABy+-+又 l的斜率为 ,ml-的方程为 23xym+将上式代入 24yx=,并整理得 230m=设()()34,M则 ()23434,3ym-+故 MN的中点为2 342211,EMNy+-=+=由于 垂直平分线 AB,故 ,四点在同一圆上等价于 12AEBN=,从而2211,44ABDEN+=即 () ()()2222 2 4411 mmm+,化简得20m-,解得 或 =-所求直线 l的方程为 10xy-=或 10xy-=
21、四、迁移运用1 【江西省南昌市 2019 届高三第一次模拟】过双曲线 的左焦点 作圆 的切线交双曲线的右支于点 ，且切点为 ，已知 为坐标原点， 为线段 的中点（ 点在切点 的右侧） ，若 的周长为 ，则双曲线的渐近线的方程为( )A B C D【答案】B【解析】解：连 OT，则 OT F1T，在直角三角形 OTF1中，| F1T| b连 PF2， M 为线段 F1P 的中点， O 为坐标原点 OM PF2，| MO| MT| PF2（ PF1 F1T） （ PF2 PF1）+ bb a又| MO|+|MT|+|TO|= ，即| MO|+|MT|=3a故| MO|= , |MT|= ,由勾股定
22、理可得： ，即渐近线方程为：故选：B2 【山东省淄博市 2018-2019 学年度高三 3 月模拟】已知直线 与双曲线交于 两点，以 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为A B C2 D【答案】D【解析】由题意可得图像如下图所示： 为双曲线的左焦点为圆的直径 根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 为矩形又 ，可得：本题正确选项：3 【河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底】双曲线 的两顶点为 ， ，虚轴两端点为 ， ，两焦点为 ， ，若以 为直径的圆内切于菱形 ，则双曲线的离心率是（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意可得 ， ， ， ， ，且 ，菱形
23、的边长为 ，由以 为直径的圆内切于菱形 ，切点分别为 A， B， C， D由面积相等，可得 ，即为 ，即有 ，由 ，可得 ，解得 ，可得 ，或 (舍去)故选： C4 【广东省潮州市 2019 届高三上学期期末】已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为、 ，且双曲线 C 与圆 在第一象限相交于点 A，且 ，则双曲线 C 的离心率是 A B C D【答案】A【解析】双曲线 C 与圆 在第一象限相交于点 A，可得 ，由 ，可得 ， ，由 ，可得 ，即为 ，即有 ，即有 故选： A5.【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考】已知抛物线上一点 到焦点的距离为 ， 分别为抛物
24、线与圆 上的动点，则 的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】由抛物线 焦点在 轴上，准线方程 ，则点 到焦点的距离为 ，则 ，所以抛物线方程： ，设 ，圆 ，圆心为 ，半径为 1，则 ，当 时， 取得最小值，最小值为 ，故选 D.6 【辽宁省沈阳市郊联体 2019 届高三上学期期末】已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 e，过原点斜率为 k 的直线与椭圆交于 A、 B 两点， M、 N 分别为线段 AF、 BF 的中点，以 MN 为直径的圆过原点 O，若 ，则 e 的取值范围是 A B C D【答案】D【解析】记线段 MN 与 x 轴交点为 C 的中点为 M， BF 的中点为 N， ，、
25、 B 为椭圆上关于原点对称的两点，原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上，设 ， ，易得 由 ，可得得 ， 直线 AB 斜率为 ，由于 ，离心率 e 的取值范围为故选： D7 【山东省临沂市 2019 届高三 2 月教学质量检测】 是双曲线 的左、右焦点，直线 l 为双曲线 C 的一条渐近线， 关于直线 l 的对称点为 ，且点 在以 F2为圆心、以半虚轴长 b 为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率为A B C2 D【答案】B【解析】因为直线 l 为双曲线 C 的一条渐近线，则直线 因为 是双曲线 的左、右焦点所以 （-c，0） ， （c，0）因为 关于直线 l 的对称点为 ，设 为（x，y）则
26、 解得所以 为（ ）因为 是以 为圆心，以半虚轴长 b 为半径的圆，则圆的方程为 将以 的（ ）代入圆的方程得化简整理得 ，所以 所以选 B8 【河南省中原名校（即豫南九校)2018 届高三第六次质量考评】已知抛物线 2:4Cyx的焦点为 F，过点 F且斜率为 1 的直线与抛物线 C交于点 ,AB，以线段 为直径的圆 E上存在点 ,PQ，使得以 为直径的圆过点 2,Dt，则实数 t的取值范围为（ ）A ,3 B 1,3C 7 D 27,【答案】D【解析】由题得直线 AB 的方程为 01yx即 y=x-1,设 A12,xyB，联立 2121221 664yxx所以 1212123y，|AB|=
27、23648所以 AB 为直径的圆 E 的圆心为（3,2） ，半径为 4.所以该圆 E 的方程为 2216xy.所以点 D 恒在圆 E 外，圆 E 上存在点 P,Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D(-2,t)，即圆 E 上存在点 P,Q，使得 DPDQ，显然当 DP,DQ 与圆 E 相切时，PDQ 最大，此时应满足PDQ 2，所以 2243Pt，整理得 2430t.解之得7t，故选 D.9 【河北省石家庄市 2018 届高三下学期一模】已知 1F， 2分别为双曲线21(0,)xyab的左焦点和右焦点，过 2F的直线 l与双曲线的右支交于 A， B两点， 12AF的内切圆半径为 1r， 12B的
28、内切圆半径为 r，若 12r，则直线 l的斜率为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D【解析】设 12AF的内切圆圆心为 1,I ， 12BF的内切圆圆心为 2,I，边 121AF、 、 上的切点分别为 MNE、 、 ， 易见 1E、 横坐标相等，则 AMNEN， ， ， 由12a，即 2MANa（ ） ， 得 12a， 即 12a ，记 I 的横坐标为 0x ，则 0（ ， ） ，于是 00xcx（ ） ，得 0x， 同理内心 I 的横坐标也为a，则有 12I轴，设直线的倾斜角为 ，则 2129OFII， ， 则2 12tn,tanta92tanr rFOrEE，2 212ta,t
29、.tan.1t故选 D.10 【河南省郑州市 2018 届高三毕业年级第二次质量预测】如图，已知抛物线 1C的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上，且过点 24， ，圆 2:430Cxy,过圆心 2的直线 l与抛物线和圆分别交于,PQMN,则 Q的最小值为( )A. 23 B. 42 C. 12 D. 52【答案】A【解析】由题意抛物线过定点（2，4） ，得抛物线方程 28yx，焦点为 F(2,0).圆的标准方程为21xy，所以圆心为（2，0） ，半径 r=1.由于直线过焦点，所以有 121FPQ，又4PNQM1445PFQPF= 245 425523QFP，当且仅当 2PFQ时等号成立。选 A.1
30、1 【湖北七市（州）教研协作体 2018 年 3 月高三联考】已知圆 E： 22pxyr与抛物线 C： 2(0)ypx相交于 A， B两点，分别以点 A， B为切点作圆 的切线.若切线恰好都经过抛物线C的焦点 F，则 sinE（ ）A. 512 B. 312 C. 21 D. 【答案】A【解析】由题得设 A,xy， 222sinAFprE，联立圆 E 和抛物线得： 22304pxr，代入点 A 得22304Apxr,又 AF 为圆的切线，故222AFE，由抛物线得定义可知：AF= 2Ax，故22Apprx化简得： 2Arpx，将点 A 代入圆得： 42rrp 2251r，而222sinFrEp
31、= 35，故 51sinAEF故选 A12 【福建省 2019 届适应性练习】椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，线段 的中点为 ，圆 过点 ，且与 交于 ， 是等腰直角三角形，则圆 的标准方程是_【答案】【解析】如图设 A（a，0） ，可得 a1，c1，b 2a 21，线段 AF 的中点为 B（ ，0） ，圆 F 的圆心为 F（1，0） ，半径 r|BF| ，设 D（m，n） ， （m0，n0） ，E（m，n） ，由BDE 为等腰直角三角形，可得 kBD1，即 1，即 nm ，由 D 在圆 F：（x1） 2+y2（ ） 2上，可得（m1） 2+（m ） 2（ ） 2，化简可得（m1） （2m1+
32、a）0，解得 m1 或 m （舍去） ，则 n ，将 D（1， ）代入椭圆方程，可得1，化简可得 a2 或 （舍去） ，则圆 F 的标准方程为（x1） 2+y2 ，故答案为：（x1） 2+y2 13 【福建省龙岩市 2019 届高三下学期教学质量检查】已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，过点 作直线与抛物线交于 两点若以 为直径的圆过点 ，则 的值为_【答案】4【解析】假设 k 存在，设 AB 方程为： y k（ x1） ，与抛物线 y24 x 联立得 k2（ x22 x+1）4 x，即 k2x2（2 k2+4） x+k20 设两交点为 A（ x2， y2） ， B（ x1， y1
33、） ，以 为直径的圆过点 , QBA90，（ x12） （ x1+2）+ y120， x12+y124， x12+4x110（ x10） ， x1 2， x1x21， x2 2，| AF| BF|（ x2+1）（ x1+1）4，故答案为：414 【北京市顺义区 2019 届高三期末】已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点， P是以 ， 为直径的圆与该双曲线的一个交点，且 ，则双曲线的离心率是_【答案】【解析】设 ，由于 P 是以 为直径的圆与该双曲线的一个交点则 是直角三角形， ，由 ，则 ， ，故答案为：15 【河南省许昌高级中学 2019 届高三复习诊 断（二)】已知抛物线 的焦点为 ，过点
34、 且斜率为1 的直线与抛物线 交于点 ，以线段 为直径的圆 上存在点 ，使得以 为直径的圆过点 ，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】由题意可得，直线 的方程为 ，联立方程组 ，可得 ，设 ，则 ， ，设 ，则 ， ，又 ，所以圆 是以 为圆心，4 为半径的圆，所以点 恒在圆 外圆 上存在点 ，使得以 为直径的圆过点 ，即圆 上存在点 ，使得 ，设过 点的两直线分别切圆 于 点，要满足题意，则 ，所以 ，整理得 ，解得 ，故实数 的取值范围为16 【宁夏吴忠市 2019 届高三下学期第一次模拟】在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 ，在 轴上，离心率为 .过 的直线 交 于 ， 两
35、点，且 的周长为 .（1）求椭圆 的方程；（2）圆 与 轴正半轴相交于两点 ， （点 在点 的左侧） ，过点 任作一条直线与椭圆 相交于 ， 两点，连接 ， ，求证 .【解析】(1)设椭圆 C 的方程为 (ab0)因为离心率为 ，所以 ，解得 ，即.又PQF 2的周长为|PQ|PF 2|QF 2|(|PF 1|PF 2|)(|QF 1|QF 2|)2a2a4a，所以又PQF 2的周长为，即 a2 ，b2，所以椭圆 C 的方程为 .(2)把 y0 代入 (y2) 2 ,解得 x1 或 x4，因为点 在点 的左侧，即点 M(1，0)，N(4，0)当 ABx 轴时，由椭圆的对称性可知ANMBNM.当
36、 AB 与 x 轴不垂直时，可设直线 AB 的方程为 yk(x1)联立 (k22)x 22k 2xk 280.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .因为 y1k(x 11)，y 2k(x 21)，所以 kANk BN .因为(x 11)(x 24)(x 21)(x 14)2x 1x25(x 1x 2)8 8，所以 kANk BN0，所以ANMBNM，综上所述，ANMBNM.17已知 的左、右焦点分别为 , ,点 在椭圆上,210xyab12F、 15P,且 的面积为 4.21tanPF12F（1）求椭圆的方程；（2）点 是椭圆上任意一点, 分别是椭圆的左
37、、右顶点,直线 与直线 分别交M12A、 12MA， 352x于 两点,试证：以 为直径的圆交 轴于定点,并求该定点的坐标.EFEFx【答案】 （1） ；（2）证明见解析, 或 .2194xy351,02351,02【解析】 （1）因为 ,所以 , .21tanPF21sin5PF21cos5PF由题意得 ,解得 .2221 2545PFPFA124从而 ,结合 ,得 ,2463aac24b故椭圆的方程为 .2194xy（2）由（1）得 , ,130A2设 ,则直线 的方程为 ,0Mxy103yx它与直线 的交点的坐标为 ,35205,2Ex直线 的方程为 ,它与直线 的交点的坐标为 ,2A0
38、3yx3035,32yFx再设以 为直径的圆交 轴于点 ,则 ,从而 ,即EFx0QmEF1QEFkA0352m,即 ,解得 .03521yxmA2209354yx351故以 为直径的圆交 轴于定点,该定点的坐标为 或 .EF ,02,0218已知 椭圆 ： 的左焦点为 ,其左、右顶点为 、 ,椭圆与 轴正半轴的交D210yxbFACy点为 , 的外接圆的圆心 在直线 上.BFCA,Pmn0xy（I）求椭圆 的方程；（II）已知直线 ： , 是椭圆 上的动点, ,垂足为 ,是否存在点 ,使得 为l2xNDNMlNFMA等腰三角形？若存在,求出点 的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(I) ；
39、(II) 或 .21xy214,3620,【解析】 （I）由题意知,圆心 既在 的垂直平分线上,也在 的垂直平分线上,PFCBC设 的坐标为 ,则 的垂直平分线方程为 F,0c12cx因为 的中点坐标为 , 的斜率为BC12bBCb所以 的垂直平分线的方程为 12yx联立解得: ,12cx2bcy即 ,cmcn因为 在直线 上,所以 （4 分）,P0xy210cb即 1bc因为 ,所以0b再由 求得22c21c所以椭圆 的方程为 （7 分）Dxy（II）若 ,即FNM221y解得 , (显然不符合条件,舍去).0x21此时所以满足条件的点 的坐标为 .20,综上,存在点 或 ,使得 为等腰三角
40、形N214,36,2FMNA19已知椭圆 的右焦点为 ,点 在椭圆上.)0(2bayx )01(2)3102,(H（1）求椭圆的方程；（2）点 在圆 上,且 在第一象限,过 作 的切线交椭圆于 两点,问：M22yxM22byxQP的周长是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. QPF【答案】 （1） ；（2） 1892yx6【解析】 （1）由题意得 , ,椭圆的方程为 .19402bac92ba1892yx（2）由题意,设 的方程为 ,PQ)0,(mkxy 与圆 相切, ,即 ,82yx21| 21k得 ,1892yxmk 079)9(22mkx设 ,则 ,)(),(21xQP 2212
41、1 98,98kxkx 又22222121221 986794)18(4)(| kmmk , ,21121212 )9()(8)()(| xxyxPF 1123)(3| xPF同理 , ,222393|Q 2212 986)6| kxQPF （定值）.986| kmP20已知椭圆 的焦距为 2,左、右顶点分别为 , 是椭圆上一点,记直线)0(1:2bayxC BAP的斜率为 ,且有 .PBA,21k21（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与椭圆 交于 两点,以 为直径的圆经过原点,且线段 的)0(:mxyl CNMMN垂直平分线在 轴上的截距为 ,求直线 的方程.21l【答案】 （1） ；（2
42、） 2xy1yx【解析】 （1）依题意, , ,0AaB设 ,则有 ,即 ,Pxy21yb22()bax, ,222122kxaxax 1ba, ,2,cbc2,1b即椭圆 的方程为 ；C2y（2）设 , 的中点为 ,12,MxN、 M0Qxy联立 得到 ,2ykm224kxm2216101k, , , 1224mx12xk202xk021myxk因为以 为直径的圆经过原点,所以 , , ,MNOMNurg12x220x, ,2 2110kxx22140kmk化简得 23m将式代入得到 代入式得到 ,2k21由于线段 的垂直平分线经过点 , ,MN(0)20yxk将代入得到 21km联立得 或 1,因为 ,所以 , .3212k所以直线 的方程为 .lyx
