1、航海学教案课 题 球面三角行 课时 3、4 授课日期教学目标1、掌握球面几何、球面三角形的基础知识；2、了解球面三角形的相关公式；3、了解解球面三角形的方法步骤。教学重、难点 重难点：球面几何、球面三角形的基础知识；教、学具预习要求 球面三角主备人 王明玲 副备人 班级 11 海员教师活动内容、方式 学生活动方式、 内容【复习】1、大圆及其特性；2、小圆及其特性；3、轴、极、极距、和极线的概念；4、球面角及其度量。【新课讲授】第一篇 球面三角和误差基础知识第一章 球面三角1.2 球面三角形一、球面三角基本公式 极三角形：设球面三角形 ABC 各边 a、b、c 的极分别为A、B、C（图 F3.5
2、） ，并设弧AA、BB、CC都小于 90，则由通过 A、B、C的大圆弧构成的球面三角形 ABC叫做原球面三角形的极三角形。 极三角形和原三角形有着非常密切的关系，这种关系存在着两通过相关知识的复习，将问题引入到本教学课题中。注意球面三角基本公式和平面三角基本公式的区别？条定理：定理 1：如果一球面三角形为另一球面三角形的极三角形，则另一球面三角形也为这一球面三角形的极三角形。 定理 2：极三角形的边和原三角形的对应角互补；极三角形的角和原三角形的对应边互补。 证明：B是 b 的极（图 F3.5） ，C是 c 的极，所以有： BE=CD=90 BE+CD=180 即BC+DE=180 但由定理
3、1, A 是BC的极，故有DE=A，将此式以及BC = a代人上式，便得到 a+A=180 （1.1） （1.1）式即定理 2 的前半的证明。定理 2 的后半不需证明；因为实际上，它只是定理 1 和定理 2 的前半的一个推论。 二、球面三角的边和角的基本性质 1球面三角形两边之和大于第三边。 证明：将球面三角形 ABC 的顶点和球心 O 连结起来（图F3.6） ，由立体几何得知：三面角的两个面角之和大于第三个面角，即AOB+BOCAOC 故 c+ab。 同理a+bc，a+ca。 推理：球面三角形两边之差小于第三边。通过对定理的讨论，活跃课堂气氛，调动主观能动性，扩展思维，得出答案掌握球面三角形
4、边和角的基本性质图 F3.6 球面三角形两边之和大于第三边2球面三角形三边之和大于 0而小于 360。 证明：因为 a，b，c 均为正，故 a+b+c0，又由立体几何得知凸多面角各面角之和小于 360，因此 AOB+BOC+COA360 0a+b+c360 3球面三角形三角之和大于 180 而小于 540 。 证明：由极三角形和原三角形的关系得： a+A = 180， b+B = 180，cC = 180， 即 A+B+C = 540(a+b+c) 但根据定理 2 有： 0abc360 所以上式化为 180A+B+C540 除了上述三个基本性质以外，还有两个重要的基本性质；对于这两个性质，我们
5、只写出结果，而不给出证明。 4若球面三角形的两边相等，则这两边的对角也相等。反之，若两角相等，则这两角的对边也相等。 5在球面三角形中，大角对大边，大边对大角。 三、球面三角的基本公式 下面我们要推导出六个基本公式，它们全是针对三个边都小于 90的球面三角形导出的，但是能够证明所得公式适用于任何球面三角形。 1边的余弦公式 取球面三角形 ABC，将各顶点与球心连结，可得一球心三面角 O-ABC（图 F3.7） 。 图 F3.7 推导余弦公式的图cosa=cosbcosc+sinb sinccosA （1.2） 先让学生参与基本性质的证明，然后采用启发式帮助学生理解记忆。了解球面三角边、角余弦正
6、弦公式。cosb=cosccosasincsinacosb （1.3） cosc=cosacosbsina sinbcosc （1.4） 2角的余弦公式 设球面三角形 ABC 的极三角形为 ABC，则按照（1.2）式有 cosA=cosBcosCsinBsinCcosa （1.5） 3正弦公式 取球面三角形 ABC，做球心三面角 O-ABC。过 C 点做 OAB 平面的垂线交此平面于 D（图 F3.8） ，再从 D 向 OA、OB 引垂线DE，DF。连接 CE 和 CF；由此得四个平面三角形OEC、OFC、CDE、CDF。因 CD 垂直于平面 OAB，DEOA，所以OACE；同理 OBCF，因此，四个平面三角形OEC、OFC、CDE、CDF 都是直角三角形，并且有CED=A，CFD=B。 图 F3.8 推导正弦公式的图从图 F3.8 可得 sina/sinA =(CF/OC)/(CD/CE)=(CFCE)/(OCCD) sinb/sinB =(CE/OC)/(CD/CF)=(CFCE)/(OCCD) sina/sinA= sinb/sinB= sinc/sinC（1.6） 【总结】略【布置作业】P10 4、5、7注意正弦余弦公式中对应的边、角，不可对错。课堂小结的内容是本节课的重点内容，应进一步巩固强化，使学生牢固掌握。教后记
