1、第三章 晶格振动与晶体热学性质习 题1原子质量为 m,间距为 a,恢复力常数为 的一维简单晶格，频率为 的格波，求)cos(qnatAun（1） 该波的总能量，（2） 每个原子的时间平均总能量。解答（1） 格波的总能量为各原子能量的总和。其中第 n 个原子的动能为,)(212tumn而该原子与第 n+1 个原子之间的势能为21)(2nu若只为考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为 ,)(2)(21nnnn utmE将 cospaAu代入上式得 ,2sin)12(sin421)(in22221 qatAqtE 设 T 为原子振动周期，利用 1)(si02dt可得 dtqantTAdtqnatTA
2、qann 221021022 si(si4)(si1 = A N+ .24m2si2式中 N 为原子总数。（2） 每个原子的时间平均总能量为2sin412qaE再利用色散关系 2sin4)co1(qam便得到每个原子的时间平均能量 21AmNE2一维复式格子，原子质量都为 m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同,力常数不同,分别为 和 ，晶格常数为 a,求原子的运动方程及色12散关系.解答图 3.2 一维双原子分子链此题实际是一双原子分子链.设相邻分子间两原子的力常数为 ，间距为 b;2一个分子内两原子力常数 ;晶格常数为 a;第 n-1,n,n+1,n+2 个原子的位移分1别为 .第
3、 n-1 与第 n+1 个原子属于同一原子,第 n 与 n+1 第个原211,nnu子属于同一个原子,于是第 n 和第 n+1 个原子受的力分别为，)()(1112 nn uf.21 nu其运动方程分别为)()(11122 nnn udtm)()(121212 nnnut设格波的解分别为 tqnaitaqinAeeun212)(.titbiBBn 212)(1代入运动方程，得)()(12iqaem. 21AAeiqa整理得0)()( ,21221 Bmeeiqaiqa由于 A 和 B 不可能同时为零。因此其系数行列式必定为零。即.0)()( 2112 1221 meemiqaiqa解上式可得2
4、12121 21122212 sin)(4)( i)(6)( qam由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为,2121212 si)()(A光学格波的色散关系为.21212120 sin)(4)( qam3由正负离子构成的一维原子链，离子间距为 a,质量都为 m,电荷交替变化，即第 n 个离子的电荷 .原子间的互作用势是两种作用势之和，其一，neq)(近邻原子的短程作用,力系数为 ，其二,所有离子间的库仑作用.证明（1） 库仑力对力常数的贡献为2 .32)1(ape（2） 色散关系,1320 )cos()(sinppqaq其中.3220,4aem（3） 时,格波为软模。75.,qa解
5、答（1） 设离子链沿水平方向，第 n 个离子右端的第 n+p 个离子与第 n 个离子间的库仑力为 .)(1)2, npnpuaef上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向，指向右端，考虑到, 可将上式展成 级数,取一级近似得paunp )(npuauef nnp21)(,第 n 个离子左端的第 n-p 个离子与第 n 个离子间的库仑力为2, )()pnpuaef取一级近似得 。auf pnpn )(1)(2,第 个离子和第 个离子对第 个离子间的库仑作用合力为 )()1232, npnpnp uuaef 可见库仑力对常数的贡献为 3)1(2pe（2） 第 个离子的运动方程为n1,1_)2(pn
6、nnfuudtm设格波解,)(tqapnipnAe,tiu则由离子的运动方程得 .)cos1()21sin4)()co( )2()123321323ppp iqaipiqai pqaaeqmeaeme令 ，可得320, 3120 )cos()in pqap当 ，有qa1301133332872)2(2)(751mm记 )(13则有4)(720由此知，当 时， 由于格波的频率 ，因此 75.0)3(0210说明此振动模式对应的恢复力系数 ，相当于弹簧振子系统的弹簧丧失了弹性.所以称 的振动模式为软模.04.证明一维单原子链的运动方程,在长波近似下,可以化成弹性波方程 22xuvt解答根据固体物理
7、教程(3.4)式,第 个原子的运动方程为 )2(12nnnuudtm因为 niqane1所以第 n 个原子的运动方程化为.niqai udtum)2(2在长波近似下:,2)(1,0iieqaiqa运动方程又化为 nniqain uqudtum)()( 22 在长波近似下,当 为有限整数时,l1100iqlanqemui上式说明,在长波近似下,邻近(在半波长范围内)的若干原子以相同的振幅,相同的位相做集体运动,因此(1)式可统一写成.lnlnuqadt)(22第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动,正是由这些原子的整体的运动所构成,这些原子偏离子平衡位置的位移 ,即是宏观上的质点位移 u ,从
8、宏观上lnu看,原子的位置可视为准连续的,原子的分离 可视为连续坐标 x,即al)(Aeeutqxitalnqin )()(1 于是,212)(xun(2)式化成,22xvt其中 ,是用微观参数表示的弹性波的波速.ma5.设有一长度为 L 的一价正负离子构成的一维晶格,正负离子间距为 ,正负离子a的质量分别为 和 ,近邻两离子的互作用势为 , nrbeu2)(式中 e 为电子电荷, b 和 n 为参量常数,求(1)参数 b 与 e,n 及 的关系,a(2)恢复力系数 ,(3) 时的光学波的频率 ,0q0(4)长声学波的速度 ,Av假设光学支格波为一常数,且 对光学支采用爱因斯坦近似,对声学0波
9、采用德拜近似，求晶格热容。解答(1)若只计及近邻离子的互作用,平衡时,近邻两离子的互作用势以取极小值,即要求 .0)(ardu由此得到.neb12(2)恢复力系数.322)1()(anedru(3)光学波频率的一般表达式参见固体物理教程(3.21)式. 212122120 sin)(6)()()( qamMmM对于本题, , , , .所以 的光学波频率aq 21 0.320 )(ne(4)由固体物理教程(3.25)式可知,长声学波的频率.qMmaA)(21 对于本题 。A)(2长声学波的速度。)(12maneqvA(5)按照爱因斯坦模型,光学波的热振动能.1/00TkBeLE光学波对热容的贡
10、献,2/20 )1(TEBVo EekadC其中 是爱因斯坦温度,其定义为EBk0按照德拜模型，声学波的模式密度.AvLD)(电学波的热振动能 .20/1TkvedEBATkADBA TxDed/01其中 , ,TkxBBDk和 分别为德拜频率和德拜温度，德拜频率 可由下式DDDADAvLddaL00)(求得.vAD声学波对热容的贡献.TxABTkAV DDBo edvLkeddTEC/0220/ )1(1)(TxABDvLk/022)(在高温情况下, ,上式化成e1 TxBVA DedLknmaC/0222 )1()(.Be212)(先求出高温时的 ,再求 更容易.AEVAC在甚低温条件下,
11、 ,)/(TD解答设原子的质量为 ,第 个原子对平衡位置的位移为 第 和第 个原Mnnumn子对平衡位置的位移分别为 与 (m=1,2,3)，则第 和第 个原子un对第 个原子的作用力为n.)2()()(, nmnmnmnm uuuuf 第 个原子受力的总合为.11, )2(mnmnnnfF因此第 个原子的运动方程为 .12 )2(mnmnn uudtM将格波的试解 )(tqnainAeu代入运动方程得12 )2(miqmaiqae11)cos(.12in4mqa由此得格波的色散关系为.122simM7采用德拜模型把晶体中的格波看成弹性波,在三维晶体内任意传播方向可存在三支弹性波（两支横波，一
12、支纵波） ，设波矢为 q 的第 i 支弹性波的波动方程为u (r,t)=A cos(qr- ). (1)qi,qi, t任一原子的位移是所有格波引起的位移的迭加，即u(r,t)= . (2)cos(),(qi,qi, trtr原子位移平方的长时间平均值),(),(),(q,iqi,2 tttru. , ,i,2 )(i qii trur由于 的数目非常大,为 （ 是原子总数）数量级，而且取)()(, tutrqiqi 2N正事负的几率相等，因此上式对( )的求和项与对( )的求和项相比,i qi,是一小量，可以略去,于是得),(2truqi,2),(tr由于 为 t 的周期函数，其长时间平均值
13、等于一个周期内的时间平均值，),(ruqi因此上式右边中的 可用 在一周期内的时间平均值代替，在绝对零),(2tru),(2tr度下，所有的热振动模式均未被激发，即只有零点振动,且一个频率为 的零点振动的能量.210E弹性波 动能的时间平均值为),(truqidttrudrTcVqiqi02, )(21CvTqi trA)(sin02,2 .2,41qic式中 是晶体质量密度, 是其体积, T 为弹性波的振动周期.V由于动能与弹性势能的时间平均值相等，它们均为总能量的一半，所以有，.412410, EATqicqi于是得到.ccqi V202,位移 的平方的时间平均值为),(truqi Tqi
14、i dtrA02,2, )(cos1.2,i由以上两式得 .ccqi VEtru),(202此为绝对零度下一个振动模动对原子位移均方值的贡献，将其代入（3）式得 qi,22, ),()(trtrqicV1qi,20E.qicV,12把上述求和化为对 的积分，得 DdEtrucqi 002, )()(.VDc0再将德拜模式密度 32)(pv代入上式得 Ddtrupqi 0322,4)(.328pv若晶体共有 N 个原子,则上式的德拜频率.pcDV31268采用德拜模型，求出 时原子的均方位移，并讨论高低温极限情况。0T解答在 时，上题中的（3）式仍成立，即仍有0T duDtrutruqiqi 0
15、2,22, )(),()(但频率为 的格波能量为.12)(/TkBeE而其动能平均值为,12)()( /TkBeT动能 又可以表示为.241)(AVc由以上两式可得.12)(2/TkccBeEA频率为 的格波所引起的原子的均方位移是.12)(21)( /2TkcBeVEAu由于（1）与上题中（6）式相似，可得所有格波引起的原子的均方位移， Ddvtrp0322 )(),(，DBeTkp0/321再令 ，TkxB并利用 ，BD，3361cpkNVv得xdekTVtruDBcqi )12(9),(/0322。MNTxB)(/032式中 为晶体的总质量c在高温情况下， ，xex1xdekTMNtru
16、DB)12(9),(/0322。32/0329DBTBkTMNx可见，在高温下，原子的均方位移与温度 T 的一次方或正比.在甚低温条件下, ,积分)/(D是一常数， 0/0 )12)12( CxdexdeTD于是,3229),(DBkTMCNtru即在甚低温条件下，原子的均方位移与温度 T 的平方成正比.9求出一维简单格的模式密度 .)(解答一维简单晶格的色散关系曲线如图 33 所示,由色散曲线的对称性可以看出, 区间对应两个同样大小的波矢区间 . 区间对应有 个振动模式,单位d dqa2aL波矢区间对应有 个振动模式, 范围则包含2LL2个振动模式,单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,
17、根据这一定义可得模式密度为 .dqL图 3.3 一维简单晶格的色散关系由色散关系得.dqamad2cos1得下式代入前式,得到模式密度.20221)(sin)( aLqaLD10.设三维晶格一支光学波在 q=0 附近,色散关系为 ,证明该长光20)(Aq学波的模式密度.021023,)(4)( AVDc解答解答一:固体物理教程(3.117)式可知,第 支格波的模式密度,SqcdVD3)2(其中 是第 支格波的等频面,因为已知光学波在 q=0 附近的等频面是一球面S,所以AqqScdVD21)(3.231034)()(Aqcc解法二:考虑 q 空间中的无穷小间隔 dq, 与此对应的频率间隔为 设
18、 分别d)(,qD表示单位频率间隔内和单位波矢间隔内的振动方式数,由这两种间隔内所含的振动方式数相等得.dqDd24)()(由固体物理教程(3.36)式知,3)2(cVq及在 q=0 附近 .Aqd2,0由以上诸式得 21010312 )()(4)(4)( VqdDc .021023,(AVc11.设固体的熔点 对应原子的振幅等于原子间距 的 10%的振动,推证,对于一mTa维简单晶体,接近熔点时原子的振动频率,2150MkamB其中 是原子质量.M解答当质量的的原子以频率 及等于原子间距 的 10%的振幅振动时,由本章率a1 题可知,其振动能为 .22101aMAE在熔点 时,原子的能量可按
19、能量均分定理处理,即一个一维原子的平均能量为mT, 于是有Bk,mBTkaM210由此得 .21512.设一长度为 的一维简单晶格,原子质量为 m 间距为 ,原子间的互作用势可La表示成 .试由简谐近似求)cos()(aAaU(1)色散关系;(2)模式密度 ;)(D(3)晶格热容(列出积分表达式).解答(1)根据已知条件,可求得原子间的弹性恢复力系数.2022aAdUra将上式代入固体物理教程一维简单晶格的(3.7)式,得到色散关系,)2sin(0q其中 .10mAa(2)在本章第 9 题,我们曾求得一维简单晶格的模式密度,在此,再对这一问题进行求解,根据固体物理教程 （3.7）式知,一维简单
20、晶格简正振动格波的色散关系为,)2sin(qam此式表明 为 q 的偶函数,设 分别表示单位频率间隔内和 q 空间中单)(,D位间隔的振动方式数,考虑到振动方式总数为原子总数 N 可得,aNdqdD)()(0由 为常数得)(qDaNaqd2)(因此 .)(Nq再由aadqDdqDd000 )(2)()(得 ,)(2)(q又,2120210 )()sin(12)cos( aqamadq式中.0由此得.12201)()(2)( aNdqD2120)(a(3)频第为 的格波的热振动能为.1/TkBe整个晶格的热振动能.0/)(TkBdDE则晶格的热容.DBTkBV ekaLdTC0 202/2113
21、.对一维简单格子,按德拜模型,求出晶格热容,并讨论高低温极限.解答按照德拜模型,格波的色散关系为 .由图 3.4 色散曲线的对称性可以看出, vq区间对应两个大小的波矢区间 dq. 区间对应有 个振动模式,单位波矢区d a2aL间对应有 个振动模式, 范围则包含2LddqLdz2个振动模式,单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为.vdzD)(图 3.4 一维简单格子德拜模型色散关系再利用 ,0)(aLNdD式中 为原子总数, 为晶格常数,得N.v0根椐固体物理教程 （3.119）式得其热容量 DBTkBVedDkC0 2/21)(.DBTkB0 2/2)(作变量变
22、换,TkxB得 ,xVDedvLC/022)1(其中 .BDk在高温时, 是小量,上式中被积函数x1)(2xe因此,晶格的高温热容量 .BVNkaLC在甚低温时, ., 是的被积函数按二项式定理展成级数)/(TD.1222)1()( nxxx eee则积分,32)1( 21002 nnnxx deed由此得到低温时晶格的热容量.vTkLCBV214.对二维简单格子,按德拜模型,求出晶格热容,并讨论高低温极限.解答德拜模型考虑的格波是弹性波,波速为 的格波的色散关系是 .在二维波矢vq空间内,格波的等频线是一个个圆周,如图 3.5 所示,在区间内波速为 的格波数目)(dq)(dqv,22)(SS
23、z式中 是二维晶格的总面积,由此可得波速为 的格波的模式密度v.2)(vd图 3.5 二维波矢空间考虑到二维介质有两支格波,一支纵波,一支横波,所以,格波总的模式密度,2)(pvSD式中,221TLpvv其中 是纵波速度, 是横波速度,格波的振动能L.mBTkpevdSE0/21晶格的热容量.mBTkBpVedkvSC0 2/22 1积分上限 由下式NdvSdDmp2)(020 求出,由此得到,pmS214式中 为原子个数,作变量变换N,TkxB晶格热容量 ,TxpVDedvSC/0222)1(其中 .BmDk当温度较高时, ,xex1. T BDBpxBpVD NkTkvSdkvSC/0 2
24、2322)(可见德拜模型的高温热容与经典理论是一致的.当温度甚低时, .积分)/(D,)3(61)1(103023 nnnxx deed则有 ,ATCV式中 .23)(6pBvSk由此可见,在甚低温下,二维晶格的热容量与温度的平方成正比,15.试用德拜模型,求 时,晶格的零点振动能.KT0解答频率为的 零点振动能为 , 因此 晶格总的零点振动能为21.DdE0)(21根据德拜模型,对三维晶体有,32)(pcvV因此.432016mpcvE再利用 ,DpcmVN2,BDk又可得 .DBmNkE896132016.对三维晶体,利用德拜模型,求(1)高温时 范围内的声子总数,并证明晶格热振动能与声子
25、总数成正比.D(2)甚低温时 范围内的声子总数,并证明晶格热容与声子总数成正比.0解答(1)频率为 的格波的声子数.1)(/TkBen高温时 ,TkBkB,0/于是 .TknB)(声子总数 为 .NdDn)(0对于德拜模型,模式密度.32)(pcvV则高温时声子总数 .TNpDc32可见,在高温时,声子总数与温度 成正比.高温时,晶格的热振动能.TvkVvdTkevdVE pDBcpBcTkpcDDB 30320/321 上式说明,在高温时,热振动能与温度 也成正比,因此在高温时晶格的热振动能与声子总数成正比.(2)声子总数. DBD TkpcevdVdnN0/320 1)(取变量变换 ,Tk
26、xB则在甚低温下,303220/32 )1(1ATevdxkVevdVNpBcTkpcDB其中 102320232 mxpBcxpBc dvkevA.321332)(pBcmpBcVkV由德拜定律可知,在甚低温下固体比热与温度 成正比,由此得到，在甚低温下3T固体比热与声子总数成正比.17.按德拜近似,证明高温时的晶格热容.2013TNkCDBV解答由固体物理教程式(3.132)可知.TxpBcVDedvk/024324)1(在高温时, ,则在整个积分范围内 x 为小量,因此可将上式中被积函数化T简为 . 121)24()()1( 2342244 xexex将上式代入 的表示式,得VC5332
27、4601TvTkVCDDpBc.233241pBc将 pcBDvVNk3126代入上式得 .203TCDv18.晶体的自由能可写成 ,)()2FU若 ,求证TfFD2,TfVPD)1(0式中 为格林爱森常数解答根据 ,VFP得 TfVUD2fdTVDTfnUD1.fVTD式中 为格林爱森常数,再由ndD1,TfTf DD,TfTf DD1得.TfTf DDD1将此结果代入 P 的表示式,便得.TfVUD1019.证明 ,cD式中 为格林爱森常数. 解答由格林爱森常数 的定义式,nVd1得 .对确定的晶体, 可视为常量,因此上式直接积分得,Cnc1由此得 ,cV.cD再利用德拜温度 的定义式,B
28、Dk得 .cBDVC上式表明 .c20.证明 ,vVDCdPn1其中 P 为压强, 为体膨胀系数.V解答由上题结果 cBDkC可得 ,cnVn11,KpdPTcD)(式中 为体积弹性模量参见固体物理教程(2.11)再利用TcVK(3.158)式 ,cVCK得 .Vc因此 .VcDCKdPn121.设某离子晶体中相邻两离子的互作用势能,92)(rbeUb 为待定常数,平衡间距 ,求线膨胀系数 .m100*3L解答根据固体物理教程 （3.148）式,线膨胀系数 可近似表示为L.20rkBL式中 , .02rdU031rd由平衡条件 ,91020ber得 .8291eb于是 ,30213022890
29、 rebredrU.40212043 5610r 将以上结果及下列数据:,cm80*CGSE,106.4e=1.381*10 erg/KBk代入 的表示式,得L2106820 )*.4(6354ekrBL.)1*.15K22.证明晶体自由能的经典极限为.iBiBTknVUF)(解答根据固体物理教程式(3.153),晶体自由能为.i TkBi Bienk)1(21)( /.i TkBiB BiTkVU)()( /在经典极限时, ,因而有i,021TkBi.eBii/将此两式代入 F 的表示式,便得.iBiBTknVU1)(23.按照爱因斯坦模型,求出单原子晶体的熵,并求出高低温极限情况下的表达式
30、.解答由 固体物理教程式(3.153)可知,晶体自由能为.i TkBi BienkVUF)1(21)( /利用熵 与自由能 F 的关系 ,SVFS可得 .i TkTkBiB Biene)1(/设单原子晶体有 N 个原子,按照爱因斯坦模型,有,N3321于是 .)1(/TkTkBBBeneS再引入爱因斯坦特征温度 ,即E,BEk并作变量变换,TkxEB则进一步得到)1(/3/TTEBEeneNS)(xxBk在高温时, , , ,可得1xeex. EBEBB TnNkTnNknkS 1313)(3甚低温是, , , ,可得1xxxe.TEBBkekS/3从高低温极限可以看出,温度越低晶格系统的熵越小,当温度趋于 时,晶格系K0统的熵趋于 0.这些结论与经典理论一致.其中 02)1(xedC是一常数，晶格的热容 .VAOVC
