1、立足基本图形，突出常规常法陈贤清 安庆一中 246004分析三年来高考中的立体几何解答题，可以发现大多数试题有如下三个明显的规律：一是都属于中档题、常规题，突出通性通法的考查；二是基本都采用了“一题两法”的命制方法，即同一个试题可以有传统的和空间向量的两种方法来解决；三是在大多数试题背后都可以看到一个“基本图形”的影子发现这些对我们的立体几何复习很有帮助立体几何中线与线、线与面、面与面的平行与垂直的判定和应用，以及空间角和距离的计算是必考的主干知识，我们可以通过重点分析“基本图形”中的这些位置关系和数量关系，加强对基本图形的识别和应用，突出基本方法的训练，做好立体几何的复习一、 一个基本图形基
2、本图形是指形如右图的三棱锥 P-ABC在三棱锥 P-ABC 中，PA面 ABC,ABBC则在此三棱锥中,有:面 PAB面 ABC;面 PAC面 ABC; 面 PAB面 PBC;有 PAAB,PABC,PAAC,BC PB,如果再作 ADPC 于 D,AEPB 于 E,将得到更多的垂直.有时条件是 PA、AB、AC 三线两两垂直，那就更好办了由于有众多的垂直关系, 一方面我们可以很清楚地看到所涉及的点在面上的射影，就可以很容易地作出直线与平面所成的角及二面角，为我们用几何方法求解空间角提供了方便另一方面，根据众多的垂直关系，我们也可以很方便地建立空间直角坐标系，从而为用向量法求解奠定了基础下面我
3、们通过对几道高考题的分析,来说明如何识别和应用这个基本图二、 三种应用模式1、直接识别与应用模式例 1:(2005 重庆高考)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB 侧面BB1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C 1 的一点，EAEB 1，已知AB= ，BB 1=2，BC=1 ，BCC 1= ，求：23（）异面直线 AB 与 EB1 的距离；（）二面角 AEB1A1 的平面角的正切值.分析：本题中 AB侧面 BB1C1C，EAEB 1，因此有 EBEB 1，所以 ABEB 1 就是我们所讲的基本图根据垂直关系，我们知道：(1)BE 就是异面直线 AB 与 EB1 的公垂线; (2)
4、EAEB 1，A 1B1EB 1，C1B1ABCA1E难点解析 所以 AE 与 A1B1 所成的角就是二面角 AEB1A1 的平面角,剩下来的就是根据条件进行计算另外,由 AB侧面 BB1C1C，我们以 B 为原点,BB 1、BA 分别为 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系也很容易写出各相关点的坐标解法一：（）因 AB面 BB1C1C，故 AB BE. 又 EB1EA，且 EA 在面 BCC1B1 内的射影为 EB.由三垂线定理的逆定理知 EB1BE，因此 BE 是异面直线 AB 与 EB1 的公垂线，在平行四边形 BCC1B1 中，设 EB=x，则 EB1= ，24x作 BDCC 1，交 CC
5、1 于 D，则 BD=BC .3sin在BEB 1 中，由面积关系得 .0)3(1,214222 xx即（负根舍去）3,x解 之 得 ,3cos1,32CEBCEx中在时当解之得 CE=2，故此时 E 与 C1 重合，由题意舍去 .x因此 x=1，即异面直线 AB 与 EB1 的距离为 1. （）过 E 作 EG/B1A1，则 GE面 BCC1B，故 GEEB 1 且 GE 在面 A1B1E内，又已知 AEEB 1 故AEG 是二面角 AEB1A1 的平面角.因 EG/B1A1/BA，AEG= BAE，故 .2tanEG解法二：（I）以 B 为原点， 、 分别为 y、 z 轴建立空间直角坐标系
6、. 1B由于 BC=1，BB 1=2，AB= ，BCC 1= ，23在三棱柱 ABCA1B1C1 中有B（0 ，0，0） ，A（0，0， ） ，B 1（0，2，0） ，),23(),21,3(C设 即得由 ,0,),0( 11EBAEaC1B1ABCA1Exzy)0,23(),23(0aa ,432)(4a.,043)023()0,213( ),1(),(,) 11 EBEB 即故舍 去或即得又 AB面 BCC1B1，故 ABBE. 因此 BE 是异面直线 AB、EB 1 的公垂线，则 ，故异面直线 AB、EB 1 的距离为 1.4|（II）由已知有 故二面角 AEB1A1 的平面角 的,11
7、EBAE大小为向量 的夹角 .AB与1.2tan,32|cos ),2,(),0,(11 即故因 ABE例 2：（2005 全国高考）已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，AB DC，底面 ABCD，PA=AD=DC= AB=1，M 是 PB 的中点 奎 屯王 新 敞新 疆PADB,90 21（）证明：面 PAD面 PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小分析：本题中的 P-ABD、P-ACD 就是我们所讲的基本图，建立空间直角坐标系，问题立即转化为坐标运算略解：因为 PAPD ，PAAB，ADAB，以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度
8、，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0） ，C（1，1，0） ，D（1，0，0） ，P（0，0，1） ，M（0，1， .)（）证明：因 .,),(),( DCACAAP所 以故A BCDP M又由题设知 ADDC，且 AP 与与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC面 PAD.又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD面 PCD 奎 屯王 新 敞新 疆（）解：因 ),120(),1(PBAC.5|,cos|2|PB所 以故由此得 AC 与 PB 所成的角为 .10arcos（）解：在 MC 上取一点 N（x，y，z） ，则存在 使,R,MCN.21,
9、1),20,1(),1,( zyMCzyxNC要使 540解 得即只 需 zxAA0),521(),521(, .,4MCBNBNA有此 时 能 使点 坐 标 为时可 知 当 为所求二面角的ANBMCAN 所 以得由 .,0,0平面角. 34|,|,.55BAB2cos(,).3|NAarcos().故 所 求 的 二 面 角 为2、添加辅助线得到基本图例：（2006 安徽 19）如图，P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点， ，P 在A平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （）证明 ；ABF（）求面 与面 所成二面角
10、的大小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D B C DEFPO分析：本题中底面虽为正六边形，但我们发现如果将 AD 与 BF 连接起来,考虑三棱锥 P-ABD由 P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O，我们可以得到众多的线面垂直与线线垂直这里的三棱锥 P-ABD 就是我们的基本图解法一：（）在正六边形 ABCDEF 中，ABF 为等腰三角形，P 在平面 ABC 内的射影为 O，PO平面 ABF，AO 为 PA 在平面 ABF 内的射影；O 为 BF 中点，AOBF，PABF 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （）PO平面 ABF，平面 PBF平面 A
11、BC；而 O 为 BF 中点，ABCDEF是正六边形 ，A、O、D 共线，且直线 ADBF，则 AD平面 PBF；又正六边形 ABCDEF 的边长为 1， ， ， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2A3DB过 O 在平面 POB 内作 OHPB 于 H，连 AH、DH，则 AHPB，DHPB，所以为所求二面角平面角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j AH在AHO 中，OH= ， = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7tan7O在DHO 中， ；321taDH而742821tanta()31AO解法二:建立坐标系(略).3、通过计算或证明得到基
12、本图例 4: (2006 广东高考) 如图 3 所示，在四面体 PABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10， AC=8，PB= .F 是线42段 PB 上一点， ，点 E 在线段 AB 上，34175CF且 EF PB.（）证明：PB平面 CEF；（）求二面角 BCEF 的大小.分析： 2210643PCAPPAC 是以PAC 为直角的直角三角形，同理可证PAB 是以PAB 为直PA CBFEF1角的直角三角形，PCB 是以PCB 为直角的直角三角形 奎 屯王 新 敞新 疆 ,故 PA平面 ABC因此 P-ABC 就是我们的基本形.又 30612|21BCASPBC而 PBCSF745
13、3|故 CFPB, 又已知 EFPB PB 平面 CEF（II）由（I）知 PBCE, PA平面 ABCAB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，故 ABCE在平面 PAB 内，过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1平面 ABC，EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影，EFEC故FEB 是二面角 BCEF 的平面角 奎 屯王 新 敞新 疆3560cottanAPE二面角 BCEF 的大小为 arctn说明:本题先通过计算得到垂直关系,而下题却要先通过证明才能得到垂直关系 .已知四棱锥 S-ABCD 底面 ABCD 是正方形,SD面 BD 且 SD=1,H 为SAC 的垂心,H 在底面上的射影 G 为DAC 的重心.(1) 求二面角 D-HA-B 的大小.(2) 求 C 到平面 ADH 的距离.分析:本题的基本形是 S-ADC,但底面 ABCD 的边长未知,可以由条件：H 在底面上的射影 G 为DAC 的重心得 HGSD,因此 H 也为SAC 的重心,得到SAC 为正三角形,AD=1,建立坐标系或直接求解即得.(1) 二面角 D-HA-B 为2)(,510arcosd
