1、第四章 扭转,材料力学,扭转,41 扭转的概念及实例 42 外力偶矩的计算 43 扭矩及扭矩图 44 薄壁圆筒的扭转、剪应力互等定理和剪切胡克定律 45 圆轴扭转时的应力与变形 46 圆轴扭转时的强度、刚度条件 47 密圈螺旋弹簧的应力和变形 48 非圆截面杆扭转的概念本章习题,第四章 扭转 (Torsion),扭转,汽车传动轴,41 扭转的概念及实例,扭转,扭转,汽车方向盘,扭转,扭转,构件的受力特点：在垂直于杆件轴线的两个平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶。,扭转变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。,轴(shaft)：以扭转为主要变形的直杆称为轴。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻
2、杆等。,扭转,外力偶矩Me （external moment）：,其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）,其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）,1PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PS,传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系为：,功率为力偶在单位时间内作的功：,其中：,4-2 外力偶矩的计算,扭转,2 截面法求扭矩,1 扭矩(torsional moment)：内力偶矩，记作“T”。,43 扭矩及扭矩图,3 扭矩的符号规定：右手螺旋法则（ screw theorem of right hand ）,右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-
3、),扭转,扭转,4 扭矩图(torque diagram) ：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图形。, |T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。, 扭矩变化规律,作扭矩图的步骤： 求支座反力； 分段求控制截面的扭矩值； 作扭矩图。,E D C B A,m4 m3 m2 m1,E D C B A,m4 m3 m2 m1,扭转,扭转,薄壁圆筒 (cylinder of thin wall):,一、 薄壁圆筒的扭转：,1 实验前：,纵向线：ab、cd 圆周线：ac、bd,4-4 薄壁圆筒的扭转、剪应力互等定理和剪切胡克定律,dx,R,扭转,2 实验后：,（2）各纵向线均倾斜了同一微小角
4、度 。,（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动，两端截面有相对扭转角 。,扭转,（1）无正应力,3 与 的关系：,取微小矩形单元体如图所示：,（2）横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,扭转,4 薄壁圆筒剪应力 ：,T,R,扭转,二、剪应力互等定理（pairing principle of shear stresses） ：,在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两个面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,
5、纯剪切(pure shear)应力状态单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力。,扭转,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，剪应力与剪应变成正比。,三、剪切虎克定律(Hookes law in shear) ：,各向同性材料：,p,G 材料的剪切弹性模量(shear modulus),扭转,四、剪切应变能(strain energy in shear),单元体微功：,剪切应变能密度：,剪切应变能：,（T为常量）,扭转,一、等直圆杆扭转实验观察：,各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一微小角度 。,平面假设(plane assumption
6、)：横截面变形后仍为平面，只是刚性地绕杆轴线转动。,4-5 圆轴扭转时的应力与变形,扭转,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力,1 变形几何关系(geometry relation of deformation)：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。,扭转角沿轴线方向变化率,扭转,T,2 物理关系(physics relation)：,剪切胡克定律：,扭转,3 静力学关系(static mechanics relation )：,Ip为横截面的极惯性矩 。,扭转,应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,扭转,例4-3 判别下面截面上剪应力分布是否正
7、确。,扭转,三、等直圆杆扭转时的变形,GIp截面的抗扭刚度(torsional rigidity),2. 单位扭转角 (unit torsional angle)：,1. 相对扭转角 (relative torsional angle)：,扭转,一、等直圆杆扭转时的破坏现象,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,4-6 圆轴扭转时的强度、刚度条件,扭转,(a),(d),扭转,n,t,转角 符号规定： 轴正向转至截面外法线逆时针为正；反之为负。,扭转,扭转,Wt 抗扭截面模量(section modulus in torsion) ；mm3或m3。,实心圆截面
8、：,空心圆截面：,二、强度条件：,扭转,等截面圆轴：,( 称为许用剪应力),(1) 校核强度：,(2) 设计截面尺寸：,(3) 计算许可载荷：,强度条件：,扭转,三、刚度条件：, 称为许用单位扭转角。,(1)校核刚度：,(2)设计截面尺寸：,(3)计算许可载荷：,扭转,例4-4 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。,解：(1)求扭矩及扭矩图,(2)计算剪应力强度,(3)此轴满足强度要求。,D3 =135,D2=75,D1=70,A,B,C,m,m,解:,扭转,扭转,扭转,例4-6 长为l =2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m
9、的作用，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解: (1)杆的外径,扭转,D 0.0226m,(2) 校核刚度,扭转,40Nm,x,T,(3)右端面转角：,例4-7 某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率P1=500马力，输出功率分别P2=200马力及P3=300马力，已知：G=80GPa ， =70MPa， =1/m，试求： (1)AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ (2)若全轴选同一直径，应为多少？ (3)主动轮与从动轮如何安排合理？,扭转,解: (1)作扭矩图,(
10、2)强度条件：,扭转,扭转,(3)刚度条件,扭转,(4)全轴选同一直径,(5)轴上绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为75mm。,扭转,解:,(a),(b),扭转,一、弹簧杆横截面上的应力,=,+,F,FS,T,4-7 密圈螺旋弹簧的应力和变形,D,扭转,弹簧杆的强度条件:,弹簧指数,曲度系数。,考虑弹簧曲率及1并非均匀分布的影响：,扭转,二、弹簧的变形,外力功：,应变能：,扭转,非圆截面等直杆：平面假设不成立，即各截面发生翘曲(warping)不保持平面。因此，须由弹性力学方法求解。,4-8 非圆截面杆扭转的概念,扭转,自由扭
11、转(unrestricted torsion)： 杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。横截面上没有正应力，只有剪应力。,约束扭转(restricted torsion)： 杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。横截面上既有正应力，也有剪应力。,杆件扭转时，横截面上边缘各点的剪应力都与截面边界相切。 截面凸角处的剪应力等于零。,扭转,一、矩形截面杆上的剪应力:,1.剪应力分布：横截面边缘各点的剪应力形成与边界向切的环流。,2.最大剪应力：在长边的中点,3.单位扭转角,其中：,In相当极惯性矩,一、选择题,1、剪应力互等定理的运用条件是 。A、纯
12、剪切应力状态； B、平衡应力状态；C、线弹性范围； D、各向同性材料。,2、当剪应力超过材料的剪切比例极限时，剪切虎克定律与剪应力互等定理 。A、前者成立，后者不成立； B、前者不成立，后者成立；C、都成立； D、都不成立。,B,B,本 章 习 题,扭转,3、根据圆轴扭转的平面假设，可以认为圆转扭转时其横截面 。 A、形状尺寸不变，直径仍为直线； B、形状尺寸改变，直径仍为直线； C、形状尺寸不变，直径不保持直线； D、形状尺寸改变，直径不保持直线。,4、一圆轴用碳钢制作，校核其扭转刚度时，发现单位长度扭转角超过了许用值。为保证此轴的扭转刚度，采用措施 最有效。 A、改用合金钢材料； B、增加
13、表面光洁度； C、增加轴的直径； D、减小轴的长度。,A,C,扭转,5、低碳钢试件扭转破坏是 。 A、沿横截面拉断； B、沿45o螺旋面拉断； C、沿横截面剪断； D、沿45o螺旋面剪断。,6、根据 可得出结论：矩形截面杆受扭时，横截面上边缘各点的剪应力必平行于截面周边，且角点处剪应力为零。 A、平面假设； B、剪应力互等定理； C、各向同性假设； D、剪切虎克定律。,A,B,扭转,7、在横截面面积相等的条件下， 截面杆的抗扭强度最高。 A、正方形； B、矩形； C、实心圆形； D、空心圆形。,8、剪应力互等定理与剪切胡克定律的正确适用范围是（ ） A、都只有比例极限范围内成立 B、超过比例极
14、限时都成立 C、剪应力互等定理在比例极限范围内成立，剪切胡克定律不受比例极限限制 D、剪切胡克定律在比例极限范围内成立，剪应力互等定理不受比例极限限制,D,D,扭转,1、内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上距离圆心15mm的A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。,扭转,解：,二、计算题,2、圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由900变为880。若杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭转角；若材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩Me。,扭转,解：由,3、一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管，承受扭矩T=180 kNm 。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。,扭转,解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得：,(2) 利用精确的扭转理论可求得：,4、已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 60时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。,扭转,解：,5、传动轴传递外力偶矩Me5kNm，材料的=30MPa，G=80GPa，=0.50/m，试选择轴的直径d。,扭转,解：（1）强度条件：,（2）刚度条件：,故轴的直径d95mm。,本 章 结 束 ！,
