1、1.4 线性规划的应用,第1部分 LP的数学模型,一、使用线性规划方法处理实际问题 必须具备的条件(建模条件)：,优化条件-问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示。 选择条件-有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案。,3）限制条件-达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来。此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，有可能建立数学关系，即这些变量之间是内部相关的。,二、建模步骤：, 第一步：设置要求解的决策变量。决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事
2、倍功半。 第二步：找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示。当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，以避免“遗漏”或“重复”所造成的错误。, 第三步：明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，确定对函数是取极大还是取极小的要求。决策变量的非负要求可以根据问题的实际意义加以确定。讨论：这三步的顺序可以颠倒吗？为什么？,三、 经济管理领域中 几类典型的LP问题,经济管理领域中有大量的实际问题可以归结为线性规划问题来研究，这些问题背景不同，表现各异，但数学模型却有着完全相同的形式。尽可能多地掌握一些典型的模型不仅有助于深刻理解线性规
3、划本身的理论和方法，而且有利于灵活地处理千差万别的实际问题，提高解决实际问题的能力。,（一） 生产组织与计划问题,1. 产品计划问题 2. 产品配套问题,1、产品计划问题,问题的一般提法：用若干种原材料（资源）生产某几种产品，原材料（或资源）供应有一定限制，要求制定一个产品生产计划，使其在一定数量的资源限制条件下能得到最大的收益。,如果用，单位产品所需资源数（如原材料、人力、时间等）、所得利润及可供应的资源总量已知，如表所示，问应如何组织生产才能使利润最大？,产品计划问题有关信息表,设定产品计划生产数，可列出这类问题的数学模型如下：,一般的产品计划问题举例 例1-8：,某工厂生产A、B两种产品
4、，均需经过两道工序，每生产一吨产品A需要经第一道工序加工2小时，第二道工序加工3小时；每生产一吨产品B需要经第一道工序加工3小时，第二道工序加工4小时。可供利用的第一道工序为12小时，第二道工序为24小时。生产产品B的同时产出副产品C，每生产一吨产品B，可同时得到2吨产品C而毋需外加任何费用；副产品C一部分可以盈利，剩下的只能报废。出售产品A每吨能盈利400元、产品B每吨能盈利1000元，每销售一吨副产品C能盈利300元，而剩余要报废的则每吨损失200元。经市场预测，在计划期内产品C最大销量为5吨。试列出线性规划模型，决定A、B两种产品的产量，使工厂总的利润最大。,信息整理:,利润与产量的关系
5、图：,数学模型：,设：x1产品A的产量， x2产品B的产量，x3产品C的销售量，x4产品C的报废量。依题意，可得,讨论,如果仅设：x1产品A的产量；x2产品B的产量； 是否可行？,虽然产品C的产量为2x2, 但无法解决分段线性的问题，而且最大销量为5吨的条件没法利用。,2、产品配套问题,例1-9 某产品由两个零件I和三个零件II组成，每个零件均可由三个车间各自生产，但各车间的生产效率和总工时限制各不相同，表中给出了有关信息。试确定各车间生产每种零件的工作时间，使生产产品的件数最多。,例1-9有关信息表,其中：xij表示第i个车间生产第j个零件的时间注意Z是非线性表达式！,处理：,于是得到该问题
6、的LP模型为：,讨论,如果设第i个车间生产第j个零件的件数为xij,那么线性规划模型又会怎样变化？,(二) 合理下料问题,在加工业中，经常遇到这类问题。问题的一般提法是：已知某种尺寸的棒料或板材，需要将其切割成一定数量既定规格的几种零件毛坯，问应如何选取合理的下料方法，使得既满足对截出毛坯的数量要求，又使所用的原材料最少（或废料最少）？,解决这类问题一般有两个步骤：,步骤一、按照一定的思路设法列出所有的排料方案（也称下料方案或排料图），当方案很多，甚至无法一一列出时，通常应先确定一些筛选原则，把明显不合理的方案删除，仅仅考虑剩余的为数不太多的方案； 步骤二、设xi表示按第种方案下料的棒料根数（
7、或板材块数）i=1,2,n，按照问题的要求建立LP模型。,例1-10 某厂接受了一批加工定货，客户要求加工100套钢架，每套由长2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一根组成。现在仅有一批长7.4米的棒料毛坯，问应如何下料，使所用的棒料根数最少？,最简单的处理方法：从一根棒料上截取2.9米、2.1米和1.5米的棒料各一根，正好配成一套钢架，100套钢架总共需要100根棒料毛坯。每根棒料毛坯剩下0.9米的料头,100根毛坯总共剩90米料头。这是最好的办法吗？,合理套裁肯定会有更好的效果。 先设法列出所有的下料方案，思路如图。,原料(7.4m棒料),1. 如果先截规格1（2.9m）,如果先截规格2或
8、规格3，也可以用同样的方法来分析。,排列下料方案思路图,设xi为按第i种方案下料的棒料根数，建立LP模型如下：,（三） 合理配料问题,问题的一般提法：由多种原料配置成含有m种成分的产品，已知产品中所含各成分的需要量及每种原料的价格，同时知道各种原料中所含m种成分的数量，要求给出使产品成本最低的配料方案。如：伙食问题（也称营养问题）、饲料配比问题、化工产品中的混合问题等都属于这类问题。,例1-11 营养问题,要求制定既经济又合乎健康标准的食谱。 一个简单的例子：现准备采购甲、乙两种食品，表中给出了已知价格及相关的营养成分。最右栏给出了按营养学标准每人每天的最低需要量。问应如何采购食品才能在保证营
9、养要求的前提下花费最省？,营养问题已知数据表,设x1、x2分别为甲、乙两种食品的采购量，则购买两种食品的总费用为Z=1.2x1+1.9x2，依题意可列出下面的线性规划：,营养问题适用范围：& 运动员集训队食谱设计；& 幼儿园、医院等特殊群体的营养配餐；& 机关、学校、企业等企事业单位团体伙食设计；& 家庭食谱设计； 课程设计选题建议1：为所在班级同学设计不同要求的食谱,对不同对象的营养要求 从营养学资料和通过医生咨询得到； 各种食品的价格 通过不同季节的市场调查获取； 一些特殊要求，比如饮食习惯、偏好等 可通过适当处理，转化为约束条件加入模型；,资料获取渠道及特殊要求的处理建议：,例1-12（
10、饲料配比问题）某配合饲料厂生产以鸡饲料为主的配合饲料，现准备研制一种新的肉用仔鸡专用饲料，所用原料的营养成分和饲养标准见下表，希望这种新饲料能满足肉用仔鸡的喂养需要又使总成本尽可能低，应如何设计配比方案？,已知各种原料的购进价1公斤分别为:0.314(玉米)、054(豆饼)、0.22（麦麸）、1.20（鱼粉）、0.40（骨粉）、0.50（鸡促进素）元。,设每100公斤饲料中配给的玉米、豆饼、麦麸、鱼粉、骨粉、鸡促进素分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6公斤，则 饲料配比即为x1：x2：x3：x4：x5：x6； 于是，可建立下面的线性规划：,是否可以将约束条件两边分别扩大一个倍数再进行计算？
11、,（四） 运输问题,运输问题大体上可以分为四种类型：1、产销平衡的运输问题（也称物资调运问题）2、产销不平衡的运输问题3、作物布局问题一般提法是：在若干块土地上种植若干种作物，已知各块土地的面积、作物计划播种面积及单产，问如何安排种植计划，使总产量最高？,4、工厂布局问题,一般提法；设有n个原料产地A1、A2、A n生产某种原料分别为ai个单位，同时又分别需要成品bi个单位（i=1，2，n），而一个单位成品需c个单位原料制成。若在Ai地设加工厂，则产品加工费用为di元/单位，在Ai地设厂对生产规划有一定的限制生产成品的数量最多为li个单位，最少为fi个单位。原料的单位运价及成品的单位运价均为已
12、知，问应在何地设厂、生产多少成品才能既满足需要又使生产费用（包括原料和成品运费、成品加工费）最省？,例1-13 某油田通过输油管道向港口输送原油，中间有4个泵站，每段管道上的输送能力如图所示，已知泵站没有储存能力，求这个系统的最大输送能力。,（五）最大流量问题,设从各点往其它点的输送量如下表所示,依题意： 目标函数为输送原油的总量； 约束条件有两类: 一类是管道上的流量约束； 另一类是每个中间泵站上的平衡约束，即中间泵站上的原油流入量和流出量相等 根据上述分析建立线性规划模型如下：,第四次作业：P45: 3(1) , 3(3),1.5 线性规划的应用,第2部分 LP的电子表格模型,例1 超级食
13、品公司的广告组合问题,超级食品公司的副总裁克莱略希文先生正面临一个棘手的挑战：如何才能将自己公司的早餐食品“脆卷”大规模地挤入早点谷类食品市场，这个市场已经有相当多的供应商了。,他已经雇佣了一家第一流的广告公司G&J公司来帮助设计出全国性的促销活动，以便使尽可能多的消费者了解公司的新产品“脆卷”。超级食品公司将根据该广告公司提供的策划服务付给一定的酬金（不超过100万美元），并且预备了400万美元的广告费。,G&J公司认为，该产品最有效的三种广告媒体是：,（1）星期六上午儿童节目的电视广告； （2）食品与家庭导向杂志上的广告； （3）主要报纸星期天增刊上的广告；,公司对该活动总的绩效测度：公司
14、的最终目标是利润最大化，但利润最大化与产品消费者感知程度之间的直接关系很难确定。因此，大家一致同意用期望的消费者感知量来代替利润作为对该问题的总的绩效测度。,期望消费者感知量的单位值表示一定量广告的正面影响，而该正面影响是由广告所接触的人数、构成以及因看到广告而导致购买行为的可能性决定的。,表31超级食品公司广告混合问题的数据表,星期六上午的儿童节目广告已经所剩无几，只有5个广告时段的长度合适。,单位广告所获得的消费者感知量,建模步骤：,（1）收集数据对应Excel中的数据单元格；,（2）决策变量对应Excel中的可变单元格；,（3）约束条件对应Excel中的输出单元格；,（4）绩效测度对应E
15、xcel中的目标单元格；,思考：每一步具体怎么做？,（1）收集数据 表3.1给出了该问题的主要数据，为计算方便采用1000美元为单位，将数据输入到电子表格中。,（2）决策变量 定义三个决策变量： 决策1：TV电视上的广告时段数 决策2：M杂志上的广告数目 决策3：SS星期天增刊上的广告数目,（3）约束条件对应Excel中的输出单元格；,广告总费用300TV+150M+100SS4000 (广告预算不超过400万美元) 策划总成本90TV30M40SS 1000 (策划预算不超过100万美元) 总的电视广告时段的数目5（可购买的广告时段数）,（4）绩效测度 期望消费者感知量130TV+60M+5
16、0SS,建模总结,最大化 消费者感知量130TV+60M+50SS 约束条件 广告费用：300TV+150M+100SS4000 策划成本：90TV+30M+40SS 1000 电视广告时段的数目：TV 5,最优解：,例2 超级食品公司案例的进一步研究,不采用任何电视广告； 在杂志上刊登20处广告； 在星期天增刊上刊登10处广告；,克来略与公司总裁大卫斯隆认为，不采用任何电视广告有些出乎意外。大卫认为，在整个问题求解过程中忘记把一些关于目标观众的重要信息提供给管理科学小组。因为该产品是迎合儿童的早餐谷类食品，目标观众应该是儿童及其家长。这正是G&J广告公司建议在星期六上午的儿童节目中做广告的原
17、因。,因此，克来略为此次活动定了两个目标：,目标1：必须至少有500万儿童看到该广告。 目标2：必须至少有500万儿童的家长看到该广告。,这两个目标实际上是广告活动收益的最低可接受水平。,收益1：向儿童促销该早餐食品。 收益2：向儿童家长促销该早餐食品。,为了建立相应的收益约束，管理科学小组要求G&J公司估计出每一单位的各种活动能给每一种收益创造的贡献，以所能接触的各类人的数量作为衡量测度。,克来略坚信商家优惠券（从广告上剪下，购买时享受一定的优惠）所能起到的促销作用。因此，每年她都会为实行这些优惠券，而从营销预算中分配出一部分资金。今年，分配给优惠券的预算还有149万美元。考虑到“脆卷”产品
18、对公司的重要性，她决定将剩余的可用优惠券全部用于新产品的促销。,修正超级食品公司的Excel模型,1.决策变量：,决策1：TV=电视上的广告时段数目 决策2：M=杂志上的广告数目 决策3：SS=星期天增刊上的广告数目,2.约束条件：,增加1：接触到广告的儿童数量5百万； 增加2：接触到广告的儿童家长的数量5百万； 增加3：优惠券的总资金数=149万美元,修正后的模型总结：,最大化 消费者感知量=130TV60M50SS,1.资源约束：300TV+150M+100SS4000 (广告预算，单位：千美元)90TV+30M+40SS1000 (策划预算，单位：千美元)TV5 (可获得TV广告时段),
19、2.收益约束：1.2TV+0.1M5 (儿童数量，单位：百万人)0.5TV+0.2M+0.2SS 5 (儿童家长，单位：百万人),3.确定需求约束：40M+120SS=1490 (单位：千美元),4.非负约束：TV0，M0，SS0,5.模型求解结果:,在电视上作3处广告； 在杂志上刊登14处广告； 在星期天增刊上刊登7.75处广告（第8个广告仅能在75的报纸上刊出）,尽管在新的方案中，期望的消费者感知量仅有1617.5单位，比原计划的1700单位还少，但克莱略和大卫都认为新方案将会更好地实现本次活动所期望达到的管理目标。这个案例反映了在运用线性规划解决问题时存在的一个普遍问题，那就是线性规划模
20、型必须不断完善。在使用模型的过程中，随着经验的不断积累，再次或多次修正模型，将是很常见的事情。通过这些调整可以使模型更好地反映管理方面所要考虑的事项。,优化模型的构建必须准确地从管理的角度来反映实际问题，否则模型就没有价值。,例3 资源分配问题,资源分配问题是将有限的资源分配到各种活动中去的线性规划问题。这类问题的共性是在线性规划模型中每一个函数限制均为资源限制，并且，每一种有限资源都可以表示成如下形式：,使用的资源量可用的资源量,数据采集,1. 可用的每一种有限资源的数量。 2. 对于每一种资源与活动的组合，单位活动所消耗的资源量必须首先估计出来。 3.每一种活动对总的绩效测度的单位贡献。,
21、资源分配问题梦大发展公司案例梦大发展公司是商务房地产开发项目的主要投资商。目前该公司有机会在三个建设项目中投资：(1) 项目1高层办公楼； （2）项目2宾馆； （3）项目3购物中心。 从长期来看，这三个项目都是极其有利可图的，因此梦大公司的管理层希望能尽量多地在几个或所有的项目中投资。他们同意将公司目前及今后三年获得的资金用来进行投资。问题是公司如何在盈利预测的基础上确定投资组合，以取得最多的利润。,每个项目都要求投资者在四个不同的时期投资：在当前预付定金，在1，2，3年后分别追加投资。下表给出了四个时期每个项目可以从所有投资者那里获得的总的投资资金。因此，按投资者投资项目的一定百分比，投资者
22、就必须支付表中所示资金的对应百分比的数目。假如梦大公司投资项目1的10，那就意味着他必须现在提供400万美元，在今后的三年中分别投入600万美元、900万美元和100万美元。,因为每个项目都要在几年后才能盈利，且盈利过程会持续多年，因此评价时就必须考虑货币的时间价值。这可以通过将未来的现金流出和现金流入折现，并将现金流相加，计算出项目的净现值。,公司目前有2500万美元的资金可供使用，预计一年以后，又可获得2000万美元，两年后可获得2000万美元，三年后有1500万美元资金可供投资。那么，梦大公司要在每个项目中投资多少百分比，才能使其投资获得最大的总的净现值呢？,建模过程与步骤：,1.活动：
23、,活动1：投资项目1高层办公楼； 活动2：投资项目2宾馆； 活动3：投资项目3购物中心；,2.资源：,资源1：现在可获得的总投资资金； 资源2：一年后可获得的累计投资基金； 资源3：二年后可获得的累计投资基金； 资源4：三年后可获得的累计投资基金；,累计资金数量及每个项目投资1的资金额,3.决策：,决策1：P1=项目1中的投资比例； 决策2：P2=项目2中的投资比例； 决策3：P3=项目3中的投资比例；,4.约束条件：,约束1：现期的总投资25；（可获得的；百万美元）即 0.4P1+0.8P2+0.9P325 约束2：一年后的总投资45 ； （可获得的；百万美元）即 P1+1.6P2+1.4P
24、345 约束3：二年后的总投资65； （可获得的；百万美元）即 1.9P1+2.4P2+1.6P365 约束4：二年后的总投资80； （可获得的；百万美元）即 2P1+3.1P2+2.2P380,5.绩效测度：,Max 净现值NPV=0.45P1+0.7P2+0.5P3,6.建模总结：,模型求解：,项目1不投资； 在项目2中投资16.505； 在项目3中投资13.107；,资源分配问题的建模步骤总结：,1.任何线性规划问题都是要寻找各种活动水平的最佳组合，因此首先必须确认问题的活动类型，问题的决策也就是决定各种活动的水平。,2.明确合适的绩效测度以求解问题（通常为利润或利润的替代测度）,4.明
25、确分配给各种活动的有限资源。,5.对于每一种资源，明确可获得的数量以及各种活动的单位使用量，将数据输入数据单元格中。,6.指定可变单元格来显示活动水平的决策变量。,7.在资源总数栏中输入使用的总量，用SUMPRODUCT函数计算。,8.指派目标单元格以显示总的绩效测度，使用SUMPRODUCT函数计算总的绩效测度。,3.估计每一种活动对于总绩效测度的单位贡献，将这些贡献值输入参数表中的数据单元格中。,例4 联邦航空公司人员安排问题案例,联邦航空公司正准备增加其中心机场的往来航班，因此需要雇佣更多的客户代理商，但不知道到底要雇佣多少数量的代理商。管理层意识到在向公司的客户提供令人满意的服务水平的
26、同时还必须进行成本控制。因此，必须在成本与收益之间寻求满意的平衡。每天的不同时段需要为客户提供的服务水平不同，因此不同时段在岗位上的代理数目也不同。公司与代理商协会的协议规定，每一代理商工作8小时为一班，各班的时间安排如下：,建模过程与步骤：,1.活动分析：,活动对应于各轮班； 活动的水平就是分派到那一轮班的代理商的数目； 活动的一个单位是指分派到该轮班的一个代理商。,2.收益分析：,收益对应于时段； 在每一时段里，活动的收益就是代理商提供给客户的服务； 收益的水平由那段时间在岗位的代理商的数目来衡量的。,3. 数据整理：,4. 决策变量：,S1=分派到轮班1的代理商 （从6 AM开始） S2
27、=分派到轮班2的代理商 （从8 AM开始） S3=分派到轮班3的代理商 （从中午开始） S4=分派到轮班4的代理商 （从4 PM开始） S5=分派到轮班5的代理商 （从10 PM开始）,5. 约束条件：,每个时段中代理商的总数最低可接受水平,约束1： 68 AM之间的代理商总数S148 约束2： 810 AM之间的代理商总数S1S279 约束3： 1012 AM之间的代理商总数S1+S265 约束4： 02 PM之间的代理商总数S1+S2+S387 约束5： 24 PM之间的代理商总数S2+S364 约束6： 46 PM之间的代理商总数S3+S473 约束7： 68 PM之间的代理商总数S3+
28、S482 约束8： 810 PM之间的代理商总数S443 约束9： 1012 PM之间的代理商总数S4+S552 约束10：06 AM之间的代理商总数S515,6. 绩效测度：Min (所有代理商每天总的人员成本),7. 建模总结：,3.7 管理视角的建模,线性规划问题的建模与分析有助于管理者作出决策，这就意味着模型必须准确地从管理的角度来反映问题。 总绩效的测度必须是管理层想要实现的目标； 当管理层限制活动可使用的资源时，这些限制就成为模型中的资源约束； 当管理层指定从活动中必须获得的收益的最低水平时，这些管理目标将以收益约束的形式加入到模型中； 如果管理层对某些特定数量指定了确定的需求，那就需要确定需求的约束。,调研建模与管理层沟通彻底理解管理层对问题的看法确保数学模型准确地反映管理实际,Page44,选择题讨论 判断题讨论,
