1、第五章作业题解5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率.解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得， ，730)(XE70)(XVar由切比雪夫不等式，得 )210|73(|)9452( XPP.981225.2 设随机变量 服从参数为 的泊松分布, 使用切比雪夫不等式证明X.02P解：因为 ，所以 。)()(XE)(2XVar故由切比雪夫不等式，得 )|(|)20( PXP1122不等式得证.5.3 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量, 期望是10千克, 方
2、差是0.1千克 2. 求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率.解：设第 i 袋大米的重量为 Xi，(i =1,2,100)，则 100 袋大米的总重量为 。10iiX因为 ， ， 10)(iE1.0)iVar所以 ，10.)(Xr由中心极限定理知， 近似服从10X1,0N故 )|(|)9( PP1021|0| 98.01.21)6.3(25.4 一加法器同时收到 20 个噪声电压 ，设它们是相互独立的随机变量，,(2,0)iV并且都服从区间 上的均匀分布。记 ，求 的近似值。0,11kV(105)P解： ，由定理 1，得()5,()2(,20)kkEVDk10P55)(1)
3、(V)387.02)().)1(VP387.04.即有 (15)PV.5.5 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成, 在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1, 为了使整个系统起作用, 至少要有85个部件正常工作. 求整个系统起作用的概率解：设正常工作的部件数为 X，因为部件正常工作的概率为 ，9.01p所以 ，有 ，)9.0,1(BX90.1)(E)(XVar由中心极限定理知， 近似服从3),(N故所求的概率为 )3590(1)85(1)85( PXPP2.67.35.6 银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金. 这批债券共发放了500 张, 每张债券到期之日需付本息1000元
4、. 若持券人(一人一张) 于债券到期之日到银行领取本息的概率为0.4,问银行于该日应至少准备多少现金才能以99.9% 的把握满足持券人的兑换?解：设领取本息的人数为 X，则 。有)4.0,5(B，204.5)(XE1206.)(XVar由中心极限定理知， 近似服从11,N又设要准备现金 x 元，则满足兑换的概率为 )120/()0()0( xXPP依题意，要满足 ，即要).3(9.)12/(x.301/解之得 80.239510)2.(x故应准备 234000 元的现金。第五章大数定律和中心极限定理定义、定理、公式小结及补充：切比雪夫不等式设随机变量 有期望 和方差 ,则对于任给X)(E2)(
5、XD, 有 . 02|P（1）大数定律 X切比雪夫大数定律设随机变量 相互独立，均具有有限方差，且被12,n同一常数 C 所界： ( ),则对于任意的正数)iVarX1,2，有 .1)(1lim1niiniinEP特殊情形：若 具有相同的数学期望12,nX，则上式成为(),iE .1lim1niinP伯努利大数定律设 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数 ，有.1limPn伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 .0lipn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律
6、设 是相互独立同分布的随机变量序列，12,nX，则对于任意的正数 有()iE, .1lim1niinP列维林德伯格定理设随机变量 相互独立，服从同一分布，且2,nX具有相同的数学期望和方差：，则随机变量),21(0)(,)(2kDEkknXYnk1的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有 xtnknn deP.21lim)(li 21此定理也称为独立同分布的中心极限定理。（2）中心极限定理 ),(2nNX棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量 为具有参数 n, p(0p1)的二项分布，则对于nX任意实数 x,有 xtnn depP.21)1(lim2（3）二项定理 若当 ，则),(,不 变时 knpNMknknnkC1).(N超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理 若当 ，则0,p时 ekCnkn!)1( ).(n其中 k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。
