1、 第 1 课 时 数 列 的 概 念 1null数列的概念null数列是按一定的null序排列的一列数null在函数意义下null数列是定义域为正整数N*或其子集 1null 2null 3null n的函数 f(n)null数列的一般形式为 a1null a2null null annull简记为 annull其中 an是数列 an的第 nullnull 2null数列的通null公式 一个数列 an的 null 之间的函数关系null如果可用一个公式 an f(n)来表示null我们就把这个公式叫做这个数列的通null公式null 3null在数列 an中null前 n null和 Snn
2、ull通null an的关系为null =na =21nn4null求 数列的通null公式的其它方法 null 公式法null等差数列null等比数列采用首nullnull公差 (公比 )确定的方法null null null察null纳法null先null察哪些因素随null数 n 的变化而变化null哪些因素null变null初步null纳出公式null再取 n 的特珠值进行检验null最后用数学null纳法对null纳出的结果加null证明null null 递推关系法null先null察数列相邻null间 的递推关系null将它们一般化null得到的数列普遍的递推关系null再通过n
3、ull数方法由递推关系求出通null公式 . 例 1. 根据下面各数列 的前 n null的值null写出数列的一个通null公式null null null 312 null 534 nullnull 758 null 9716 null null 1null 2null 6null 13null 23null 36null null null 1null 1null 2null 2null 3null 3null 解 null null an (null 1)n )12)(12( 12 + nn n null an )673(21 2 + nn null提示null a2null a1 1
4、null a3null a2 4null a4null a3 7null a5null a4 10null null annull annull 1 1null 3(nnull 2)=3nnull 5null各式相加得 )673(21)43)(1(211)53(1074112 +=+=+=nnnnnan Lnull 将 1null 1null 2null 2null 3null 3null 变形为 ,2 13,2 02,211 + ,2 06,2 15,2 04 L+ null 4 )1(122 2)1(111+=+=nnnnna典 型 例 题 基 础 过 关 变 式 训 练 1.某数列 an
5、的前四null为 0null 2 null 0null 2 null则null下各式null null an 22 1null (null 1)n null an n)( 11 + null an )(0 )(2 为奇数为偶数nn 其中可作为 an的通null公式的是 null null Anullnull Bnullnullnull Cnullnullnull Dnullnullnullnull 解 null D 例 2. 已知数列 an的前 n null和 Snnull求通nullnull null Sn 3nnull 2 null Sn n2null 3nnull 1 解 null an
6、 Snnull Snnull 1 (n2) a1 S1 解得null an= )1(1)2(32 1nnnnull an+=)2(22)1(5nnn变 式 训 练 2null 已知数列 an的前 n null的和 Sn满足关系式 lg(Snnull 1) nnull (n N*)null则数列 an的通null公式为 null 解 null ,110101)1lg( += nnnnn SSnS null n 1 时null a1 S1 11nullnull n2 时null an Snnull Snnull 1 10nnull 10nnull 1 910 nnull 1null故 an = )
7、2(109)1(111 nnn 例 3. 根据下面数列 an的首null和递推关系null探求其通null公式null null a1 1null an 2annull 1null 1 (n2) null a1 1null an 11 3 + nna (n2) null a1 1null an 11 nann (n2) 解 null null an 2annull 1null 1 (annull 1) 2(annull 1null 1)(n2)null a1null 1 2null故null a1null 1 2nnullnull an 2nnull 1null null annull ann
8、ull annull 1nullnullnull annull 1null annull 2nullnull nullnull a3null a2nullnullnull a2null a1null null a1 3nnull 1null 3nnull 2null null 33null3null 1 )13(21 n null (3)null nnaann 11=null an = 12111232211 nnnnaaaaaaaaannnnnn Lnnn 112123 = L变 式 训 练 3.已知数列 an中null a1 1null annull 1 22 +nnaa (n N*)nu
9、ll求该数列的通null公式null解 null 方 法 一 null由 annull 1 22 +nnaa 得21111=+ nn aanullnull na1 是null 111=a 为首nullnull 21 为公差的等差数列null nullna1 1null (nnull 1)21 ,即 an 12+n 方 法 二 null 求出前 5 nullnullnull纳猜想出 an 12+n null然后用数学null纳证明null 例 4. 已知函数 )(xf 2xnull 2null xnull数列 an满足 )(log2 naf null 2nnull求数列 an通null公式nul
10、l 解 null naf nanan 222)(log 2log2log2 = naann 21 = 得 nnan += 12变 式 训 练 4.知数列 an的首null a1 5null前 n null和为 Sn且 Snnull 1 2Snnull nnull 5null n N*nullnull (1) 证明数列 annull 1是等比数列null (2) null f (x) a1xnull a2x2null null anxnnull求函数 f (x)在点 x 1 处导数 f 1 (1)null 解 null (1) 由已知 Snnull 1 2Snnull nnull 5nullnu
11、ll n2 时null Sn 2Snnull 1null nnull 4null两式相nullnull得null Snnull 1null Sn 2(Snnull Snnull 1)null 1null即 annull 1 2annull 1 从而 annull 1null 1 2(annull 1) null n 1 时null S2 2S1null 1null 5nullnull a1null a2 2a1null 6, 又 a1 5nullnull a2 11 null 111+nnaa 2null即 annull 1是null a1null 1 6 为首nullnull 2 为公比的等
12、比数列 . (2) 由 (1)知 an 32nnull 1 null )(xf a1xnull a2x2null null anxn null )( xf a1null 2a2xnull null nanxnnull 1 从而 )1(f a1null 2a2null null nan (32null 1)null 2(322null 1)null null n(32nnull 1) 3(2null 222null null n2n)null (1null 2null null n) 3n2nnull 1null (2null null 2n)null 2 )1( +nn 3(nnull 1)2
13、nnull 1null 2 )1( +nn null 6 1null根据数列的前几nullnull写出它的一个通null公式null关键在于找出这些nullnullnull数之间的关系null常用的方法有null察法、通null法null转化为特殊数列法等 . 2null由 Sn求 an时null用公式 an Snnull Snnull 1要注意 n2 这个条件null a1应由 a1 S1来确定null最后看二者能否统一null 3null由递推公式求通null公式的常null形式有null annull 1null an f(n)nullnnaa 1+ f(n)null annull 1 pannull qnull分别用累加法、累乘法、迭null法null或换元法nullnull null 纳 小 结
