1、排列组合二项式、概率统计排列组合与概率主要思想:明确任务,确定方案,该分类就分类,改分步就分步,分类用加法,分步用除法,分类太多可做反面【排列组合】1、分类必须要有统一的标准,每种类型的方案都能独立完成任务;每个步骤的方案不能独立完成任务,但是不可缺少;-“类类独立,步步相关” ;一般处理一个问题都是“先设计后操作”2、排列组合的共性:都是在 个不同元素中选 个,区别:安排所选元素时有顺序的要求与影响,就是nm排列 ;没有顺序影响就是组合 ; ; mnAnC(1)2(1)Anm!()nmC组合数性质: 11012,nmmn nn nCC3、排列组合常见方法:特殊元素(位置)用优先法 :把有限制
2、条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),对于这类问题一 1般采取特殊元素(位置)优先安排的方法。如:6 人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法?相邻问题用捆绑法 :对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”:即将这几个元素看 2作一个整体,视为一个元素,与其他元素进行排列,然后相邻元素内部再进行排列。注意:内部有无顺序的考虑如:5 个男生和 3 个女生排成一排,3 个女生必须排在一起,有多少种不同排法?相离问题用插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插 3入已排好的元素位置之间和两端的空中。即是说:谁不相邻谁去插查别人的空的插
3、空原则如:7 人排成一排,甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法?定序问题用除法 (也可以用位置选择法):对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法。解题 4方法是:先将 n 个元素进行全排列有 种, 个元素的全排列有种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一定,则有种 排列方法。如:高矮不同的 7 人排成一排,甲、乙、丙 3 人从左到右由高到低有多少种排法?分排问题用直排法 : 5对于把几个元素分成若干排的排列问题,若没有其他特殊要求,可采取统一成一排的方法求解如:9 个人坐成三排,第一排 2
4、人,第二排 3 人,第三排 4 人,则不同的坐法共有多少种?复杂问题用间接法 6对于某些比较复杂的或抽象的排列问题,可以采用转化思想,从问题的反面去考虑,先求出无限制条件的方法种数,然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。如:从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,则不同的挑选方法共有?排列、组合综合问题用先选后排的策略 7如:将 4 名教师分派到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分派方案共有多少种?排列组合二项式、概率统计关于分堆和分配问题 8不同元素分堆:注意平均分堆的处理,分配按正常方式分;相同元素分
5、堆:不管怎么分分堆方法都是唯一的,分配只能有隔板法和位置法处理如:有 10 个三好学生名额,分配到 6 个班,每班至少 1 个名额,共有多少种不同的分配方案?【典型问题】1、从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有 2、某城市有甲、乙、丙、丁四个城区,分布如图所示,现用五种不同的颜色涂在该城市地图上,要求相邻区域的颜色不相同,不同的涂色方案共有多少种? 【染色问题处理】3、从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人
6、参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有 4、四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是 【可重复排列用乘法原理处理】5、书架上有 5 本书,再放 3 本,其不同的方法种数为 【方法的选择 逐一插空法】 6、从 6 名短跑运动员中选 4 人参加 4100 m 接力,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有 种参赛方法【分类思想】7、小红把英语单词 error 中的字母顺序写错了,则他可能出现错误的种数有 【位置处理方案】【概率统计】等可能事件的概率 :如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是 ,如果某个事
7、件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 .n1 nmP()互斥事件 :不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B),对立事件 :两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件; . 1 1)P()(互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. 2相互独立事件 :事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(AB)
8、=P(A)P(B). 独立重复试验 :若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率: .knkn)(1PC()注意: 对任何两个事件都有 () ()()PABABAB离散型随机变量 :如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若 是一个随机变量,a,b 是常数.则 也是一个随机变量.设离散型随机变量ba可能取的值为: , 取每一个值 的概率 ,则表称为随机变量 ,21ix ),21(ixiipxP)
9、(排列组合二项式、概率统计 的概率分布,简称 的分布列. 有性质 ;,21,01ip .2 i期望的含义 :一般地,若离散型随机变量 的概率分布为右图,则称 为 的数学期望或平均数、 npxpxE21均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.随机变量 的数学期望:ba baEE)(方差、标准差的定义 :当已知随机变量 的分布列为 时,则称),21()(kpxPk为 的方差. 显然 ,故 为 npxpxED2212 )()()( 0D.D的根方差或标准差.随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动,集中与离散的程度. 越小,稳定性越高,波动越小.D随机
10、变量 的方差 .(a、b 均为常数)baDa2)()特殊分布列 : 二项分布 :(基础)如果在一次试验中某事件发生的概率是 P, ( 的身份)那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是: 其中 knqpCk)P( pqn1,0我们称这样的随机变量 服从二项分布,记作 B(n,p) ,其中 n,p 为参数,并记.knCpqb(;,p)二项分布的判断与应用是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复,且每次试验只有两种结果且概率不变,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布. ,EpDq几何分布 :“ ”表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,
11、如果把 k 次试验时事件 A 发生记k为 ,事 A 不发生记为 ,那么 .根据相互独立事件的概率乘k q)P(A,k)AP(k)(k121法运算公式: 于是得到随机变量 的概率分布列.k)P(k121 ,3pq我们称 服从几何分布,并记 ,其中p)g(,21.k,pE12qD正态分布 :正态分布曲线: , (总体平均数) , (总体标准差)2()1(),(,)2xfxeE2排列组合二项式、概率统计正态分布曲线性质:曲线在 轴上方,与 轴不相交; 曲线关于直线 对称 曲线在 时位于最高点 1 xx 2 x 3 x当 时,曲线上升,当 时,曲线下降,并且当曲线向左右无限延伸时,以 轴为渐近线,向
12、4 它无限靠近。当 一定时, 越大,曲线越矮胖,表示总体分布越分散; 越小时,曲线越瘦高,表示总体分布越 5 集中标准正态分布:当 时, ,称为标准正态分布,记为:0,121(),(,)xfxe(0,1)N、标准正态分布的概率运算:(注重图像中的意义:对应区域的面积) 1 00(),(xpx 2 00()(),x 3 1221(,)()xPx,2,1N0)Fx二项式定理 : .nrnnn baCbabaCba 01)( 展开式具有以下特点: 项数:共有 项; 系数:依次为组合数 1 2 ;,210nrnC每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开. 3二项
13、展开式的通项: 展开式中的第 项为: .ba)( 1r ),(1ZrbaCTrnr 二项式系数的性质.在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;二项展开式的中间项二项式系数最大.当 n 是偶数时,中间项是第 项;当 n 是奇数时,中间项为两项,即第 项和第 项12n 21n12n系数和问题:二项式系数之和: ,奇数项偶数项二项式系数和各占一半 012nC 1n项系数之和:令 中所有未知数取 ,得到的值。()nab自己查阅了解抽样方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点【典型问题】1、 (2x+ ) 4 的展开式中 x3 的系数是 2、 (2x 3 ) 7 的展开式中常数项是
14、 13、已知 的展开式中,第 6 项和第 7 项的二项式系数最大,则 ()n n4、已知(x +x ) n的展开式中各项系数的和是 128,则展开式中 x5 的系数是 2315、如果在( + ) n的展开式中,前三项系数成等差数列,求展开式中的有理项.46、一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已知 B 层中每个个体被排列组合二项式、概率统计抽到的概率都为 12,则总体中的个体数为 .7、某学院的 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。已知该学院的 A 专业有 3
15、80 名学生,B 专业有 420 名学生,则在该学院的 C 专业应抽取_名学生。 答案 408、某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是96,106,样本数据分组为96,98) ,98 ,100),100,102),102,104),104,106,已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 ( A ).A.90 B.75 C. 60 D.459、已知随机变量 服从正态分布 2()N, , 4)0.8P ,则 (0)P ( A )A 0.16B 0.32C 0.68D,10、在某项测量中,测量结果 服从正态分布 N(1, 2) (0) ,若 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 在(0,2)内取值的概率为 0.8 11、随机变量 服从正态分布 ,如果 ,则(,)()0.43()0.341