1、特征根法求解二阶常系数线性微分方程关于二阶常系数线性微分方程的解法：1线性齐次方程 的通解0cyba解法 先解特征方程 的根设特征根为 ，分以2r acbr242,1下三种情况：（1） 当 时，特征方程有两个相异的实根 ，则042acb cr22,1方程的通解为xrxrCy21e（2）当 时，特征方程有重根 ，则方程的通解为042acbabxrye21（3）当 时，特征方程有一对共轭的复根2c，abcar 2i42i2,1 则方程的通解为 xCyxsinoe1定理 若 为齐次方程 的两个解，则21,y0cba21yy亦是齐次方程的解，其中 是任意常数又若 为线性无关时，则21,C,是齐次方程的
2、通解21yCy2线性非齐次方程 的通解)(xfcyba定理 设 是非齐次线性方程的一个特解，而 是相应的线性齐次方程的通解，则其和*y y*为线性非齐次方程的通解具体解法：（1）先求 的特解 )(xfcyba *y（2）再求对应线性齐次方程的通解 ，根据定理相加即可 *y例题 1 用特征根法求微分方程 的通解04y解：特征方程为 r2+4r+4=0所以， （r+2） 2=0得重根 r1=r2=-2，所以，方程的一般解为 y=(c1+c2x)e-2x例题 2 用特征根法求微分方程 y+3y+2y=0 的一般解解：特征方程的解 r1=-1，r 2=-2 一般解xxeCy21例题 3 用特征根法求微
3、分方程 的一般解02542xdttx解 微分方程的特征方程为4r220r250 即(2 x5)20 其根为 故微分方程的通解为51 即ttxeCx2teC251)(例题 4 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 y3y4y0 y|x00 y|x05解：微分方程的特征方程为r23r40 即( r4)(r1)0 其根为 r11 r24 故微分方程的通解为yC1exC2e4x 由 y|x00 y|x05 得 21解之得 C11 C21 因此所求特解为yexe4x例题 5 求微分方程的通解 2yyy2ex解 微分方程的特征方程为2r2r10 其根为 r21 故对应的齐次方程的通解为 xeCY因为 f(
4、x)2ex 1 不是特征方程的根 故原方程的特解设为y*Aex 代入原方程得2AexAexAex2ex 解得 A1 从而 y*ex 因此 原方程的通解为xC21历年考题：07-08 下求微分方程 y+4y5y0 的一般解解：微分方程的特征方程为r2+4r-50 其根为 r11 r2-5 故微分方程的通解为yC1exC2e-5x09-10 下用特征根法求微分方程 y4y5y0 的一般解解：微分方程的特征方程为r24r50 其根为 r12i r22i 故微分方程的通解为ye2x(C1cos xC2sin x) 10-11 下求微分方程的通解 y2y+ycosx+ex微分方程的特征方程为r22r+10 其根为 r21 故对应的齐次方程的通解为1 xxYCe设 y2y+yex 的特解为 y*1Ax2ex 代入原方程解得 A1/2 从而 y*11/2x2ex 设 y2y+y cosx 的特解为 y*2Bcosx+Csinx 代入原方程得解出 B=0，C=-1/2从而 y*2-1/2sinx因此 原方程的通解为 2121+sinxxxYCee
