1、实用标准文案精彩文档特征方程法求解递推关系中的数列通项一、 （一阶线性递推式）设已知数列 na的项满足 dcaban11,其中 ,10c求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌 握的解法特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 ,dcx称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理 1：设上述递推关系式的特征方程的根为 0x，则当 10a时，na为常数 列，即 0101,;baxann 时当 ，其中 nb是以 c为公 比的等比数列，即 011,xbcn.证明：因为
2、由特征方程得 .10cdx作 换元 ,0xabn则 .)(1001 nnnn cxacdcaxb当 0ax时， b，数列 b是以 为公比的等比数列，故 ;1ncb当 1时， 1， n为 0 数列，故 .N,1an（证毕）下面列举两例，说明定理 1 的应用.例 1已知数列 na满足： ,4,231nn 求 .na解：作方程 .,230xx则当 41a时， 1101b数列 nb是以 为公比的等比数列.实用标准文案精彩文档于是 .N,)31(223,)1(2)3(1 nbabnnnn 来源:学。科。网来源:Zxxk.Com例 2已知数列 na满足递推关系： ,)(1nian其中 i为虚数单位。当 1
3、取何值时，数列 na是常数数列？解：作方程 ,)32(ix则 .5360i要使 n为 常数，即则必须.5601ixa来源:学|科|网二、 （二阶线性递推式）定理 2：对于由递 推公式 nnqapa12，21,a给出的数列 na，方程 02qpx，叫做数列 的特征方程。来源:学,科,网若 21x是特征方程的两个根，当 21x时，数列 na的通项为12nnBAa，其中 A，B 由 ,a决定（即把 21,x和,，代入 121nnxa，得到关于 A、 B 的方程组） ；当 时，数列 n的通项为 1)(n，其中 A，B 由 21,a决定（即把 21,x和 ,，代入 1)(nnxa，得到关于 A、B 的方
4、程组）。例 3：已知数列 na满足 ),0(253,1221 Nnabnn ，求数列 n的通项公式。解法一（待定系数迭加法）来源:学科网由 025312nnaa，得)(，且 b12。实用标准文案精彩文档则数列 na1是以 ab为首项， 32为公比的等比数列，于是11)32(nba。把 n,代入， 得2，来源: 学N,n若 ，则 其中 特别地，1,1bn .N,)1(1nrpnabn 当存在 使 时，无穷数列 不存在.,0n0n（2）当特征方程有两个相异的根 、 （称作特征根）时，则12，1nca,N其中).(,)( 211221 anrp其 中例 3、已知数列 na满足性质：对于 且 求,32
5、4,N1nna,1的通项公式.na解:依定理作特征方程 变形得 其根为,324x,042x故特征方程有两个相异的根，使用定理 2 的第（2）部.2,1分，则有 .N,)21(3)( 11221 nrpacnn .N,)5(1nn.N,1)5(212 ncann实用标准文案精彩文档即.N,)5(24nan例 5已知数列 满足：对于 都有na,Nn.3251nna（1）若 求,1;（2）若 求3n（3）若 求,61a;（4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？na解：作特征方程 变形得.325x,02512x特征方程有两个相同的特征根 依定理 2 的第（1）部分解答(1) 对于 都有.,511a,N
6、n;na(2) 3 rpnabn)1(15353,82令 ，得 .故数列 从第 5 项开始都不存在，0nbna当 4， 时， .N17bn(3) ,561a.1a.,81)(1 Nnrpnbn 令 则 对于,0.7.0b,n实用标准文案精彩文档.N,7435811nnban(4)、显然当 时，数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第31（1）小题的解答过程知， 时，数列 是存在的，当51ana时，则有 令51a.N,815)(11 rpnbn则得 且 2.,0nbN,31当 （其中 且 N2）时，数列 从第 项开始便不51anna存在.于是知：当 在集合 或 且 2上取值时，无穷数列1a3,:
7、15Nn都不存在.na练习题：求下列数列的通项公式：1.在数列 中， ，求 。 （key：na,7,12a)3(21nan na）21)(32n2.在数列 中， 且 ，求 。 （key：n,5,21 214nn n）)4(3na3.在数列 中， ，求 。 （key：n,7,321a)3(321ann na）21n4.在数列 中， ，求 。 （key：na,2,31annna31n实用标准文案精彩文档）2)31(47nna5.在数列 中， ，求 。 （key：n,35,21a)4(12nna n）132na6.在数列 中， ，且 .求 .n,21bannqap12 1qpna（key： 时， ；
8、 时，q)(n）aban1)(17.在数列 中， （ 是非n ,21ba0)(12nnqapqp,0 常数）.求 .（key ： ( )； nabn）( )ban)1qp8.在数列 中， 给定， .求 .n21, 21nncaban(key: ；若 ，上式不能122)(can )(应用，此时， .)()1(12nnn aa附定理 3 的证明定理 3(分式递推问题)：如果数列 满足下列条件：已知 的值且na1a对于 ，都有 （其中 p、q、r、h 均为常数，且Nnhrapnn1） ，那么，可作特征方程 .arqph1,0 hxq（1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时，实用标准文案精彩文
9、档若 则 若 ，则 其中,1a;N,n1a,N,1nbn特别地，当存在 使 时，无穷.,)1(1rpbn ,00nb数列 不存在.a（2）当特征方程有两个相异的根 、 （称作特征根）时，则12， 其中1nca,N).(,N,)( 211221 anrpacn 其 中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换 ,nadn则 hrqpnn1an)(hdrqpn)(rpnn)(2 是特征方程的根， .0)(2qphrhq将该式代入式得 .N,)(1nrrdpnn将 代入特征方程可整理得 这与已知条件 矛盾.故rpx,qhqrph特征方程的根 于是 ,rp.0r实用标准文案精彩文档当 ，即 = 时，由式得
10、 故01d1da ,N,0nb.N,nan当 即 时，由、两式可得 此时可对式作11 .,dn如下变化：.1)(1 rpdrphrdnn 由 是方程 的两个相同的根可以求得hxq .2rhp,12prprh将此式代入式得.N,1nrdn令 则 故数列 是以 为公差.N,1ndbn .,1pbn nbrp的等差数列.,)1(nrpnbn其中.11ad当 时，0,Nnb.N,1nbdn当存在 使 时， 无意义.故此时，无穷,00n 000nna数列 是不存在的.na再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根 、 ，其中必有一个特征根不等于12实用标准文案精彩文档，不妨令 于是可作变换1a
11、.12a.N,21nacn故 ，将 代入再整理得21nchrqpnnN,)(2211 qrpan由第（1）部分的证明过程知 不是特征方程的根，故rpx.,2rp故 所以由式可得：.0,21N,21211 nrphqarpcnn特征方程 有两个相异根 、 方程hx12有两个相异根 、 ，而方程 与方程0)(2qphxr 12xrphq又是同解方程. 221,rphrp将上两式代入式得 N,2121211 ncrparpcnn 当 即 时，数列 是等比数列，公比为 .此时对于,011n rp21都有Nn .)()( 122121 nnn rparpc实用标准文案精彩文档当 即 时，上式也成立 .01c1a由 且 可知2n21.N,1nc所以 (证毕).,can注:当 时, 会退化为常数;当 时, 可化归qrphhaqn0rhraqpnn1为较易解的递推关系,在此不再赘述.
