1、原始问题是利润最大化的生产计划问题,单位产品的利润（元/件）,产品产量（件）,总利润（元）,资源限量（吨）,单位产品消耗的资源（吨/件）,剩余的资源（吨）,消耗的资源（吨）,4 对偶的经济解释-影子价格,对偶问题,资源限量（吨）,资源价格（元/吨）,总利润（元）,对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、.、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）,原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=minw,1、资源影子价格的性质,影子价格是根据资源在生产中做出的贡献而做出的估价，这种估价不是资源的市场价格。,资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖
2、于资源的利用情况，是未知数。由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之变化。,最大利润的增量/第i种资源的增量,= 第i种资源的边际利润,即：,影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子价格一定等于0,注：,所以可根据影子价格来确定优先使用哪种资源来增加总利润。,影子价格是一种边际价格，它的值相当于在给定的生产条件下，bi每增加一个单位时，目标函数z（总利润）的增量。,可行域如图，点（3，3）是最优解，代入目标函数z*=15。,(1)如果第一个约束右端顶增加1，变为：,以第一章机械厂最大利润
3、问题为例解释,表示该约束的直线由移至，最优解不变，即设备B的边际价格为零。,图中表示该约束的直线将由移至，相应最优解的点变为（3.5，3），则z*=16，说明设备A的边际价格为1。,(2)若第二个约束右端项加1，变为,(3)若第三个约束的右端项加1，变为 ，,直线将移至，最优解的点变为（2.8，3.2），z*=15.2，即设备C影子价格为1/5。,隐含成本 表示生产一件产品所消耗的资源可以增加的利润,y1 y2ym,2、产品的隐含(机会)成本,增加单位资源可以增加的利润,生产一件产品消耗的资源,在纯市场经济条件下，当第i种资源的市场价格低于其影子价格时，可以买进这种资源；相反当市场价格高于影子
4、价格时，就可卖出这种资源。随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化，一直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。,隐含成本,利润,差额成本,3、产品的差额成本（Reduced Cost）,差额成本=隐含成本 - 利润, 即检验数的负值.,利润大于隐含成本时，有利可图，检验数为正，可以安排生产（进基）；否则不安排。但该项产品的生产活动并非无限制，而是增至其检验数为0而止。,检验数为0时，利润等隐含成本，表明通过生产此产品增加总利润的可能已不存在（某变量出基后不再进基） 。,4、互补松弛关系的经济解释,在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的
5、资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品隐含成本等于利润 （4）隐含成本大于利润的产品不安排生产,X*、Y*分别是原问题和对偶问题最优解的充要条件是 （1）若 yi*0，则 aij xj*=bi ；（2）若 aij xj*0，则 aij yi*=cj ；（4）若 aij yi* cj ，则 xj*=0.,综上所述，对线性规划问题的求解是确定资源的最优分配方案，而对于对偶问题的求解则是确定对资源的恰当估价，这种估价直接涉及资源的最有效利用。,如在一个大公司的内部，可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏。又如在社会上可对一些最紧缺的资源，借助影子价
6、格规定使用这种资源一单位时必须上交的利润额，以控制一些经济效益低的企业自觉地节省使用紧缺的资源，使有限资源发挥更大的经济效益。,5 对偶单纯形法,一.单纯形法的重新解释, （称为对偶可行条件）,X*是最大化原LP问题最优解的充要条件是同时满足, （称为原始可行条件）,因此，单纯形法是在保持原始可行下，经过迭代，逐步实现对偶从不可行向可行转化，一旦对偶可行，则达到最优解。根据对偶问题的对称性，可以在保持对偶可行下，经过迭代，逐步实现原始可行，以求得最优解。,定义：设X为原问题（1）的一个基本解，对应的基为B，它所对应的检验数向量,则称X为原问题（1）的一个正则解，对应的基矩阵B称为正则基。,St
7、ep5: 以ark为主元素作换基迭代运算，方法与单纯形法完全相同，得到新的单纯形表，返回步骤（2）。,二、 对偶单纯形法的计算步骤,对偶单纯形法的思路：,从一个正则解出发，用单纯形法迭代，迭代过程始终保持解的正则性，而使解的不可行性消失，所得的第一个可行解即为最优解。,Step1：给定一个初始正则解（所有检验数j 0），对应基为B，建立初始单纯形表；,Step2：检查b列元素，如果所有bi0，则已得到最优解，停止计算。否则转入下一步；,Step3：确定离基变量：设,Step5: 确定进基变量：设,则第r方程对应的原基变量为离基变量，第r 行为主行；,则xk为进基变量变量，第k列为主列；,Ste
8、p4: 检查第r 行系数，若所有arj0,则原问题无可行解，否则转入下一步；,注1： 对偶单纯形法与单纯形法的不同之点： 不要求模型中b0； 先确定离基变量xr，再确定进基变量xk .,注2：对偶单纯形法适用对象,（b无限制）,(3)进行灵敏度分析时，有时会用到此法.,(1) maxZ=CX(C0) (或minz=CX(C0),(2)当变量个数约束个数时，可先转化为其对偶问题，再用单纯形法或对偶单纯形法解之,例5.1 用对偶单纯形法求解下述线性规划问题,解 先将问题改写为求目标函数极大化，并化为如下形式有,列单纯形表，并用对偶单纯形法求解：,最优解：y1=1, y2= 0, y3=1/5; minw=15.,否,算 法 过 程,初始正则解,是则停止,得最优解,选离基变量,检查 是否无可 行解,是则停止,否,无最优解,选进基变量,计算检验数,
