1、,O,O,O,O,O,图2-21,平面的投影表示,三、一般位置平面,倾斜于三个投影面的平面，称为一般位置平面。,三个投影均是类似形。,投影特点：,b,B,A,C,o,o,投影面垂直面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面的平面称为投影面垂直面。,投影面垂直面分为三种：,铅垂面 (于H 面，于V 面和W 面),正垂面 (于V 面，于H 面和W 面),侧垂面 (于W 面，于H 面和V 面),一、投影面垂直面,1.铅垂面,投影特点：,H 投影积聚为-倾斜线； V 投影和 W 投影为类似形,空间分析：,O,c,b”,O,2.正垂面,O,V 投影积聚为-倾斜线； H 投影和W 投影为类似形。,投影特点：
2、,空间分析：,O,3.侧垂面,W 投影积聚为-倾斜线； H 投影和 V 投影为类似形。,投影特点：,空间分析：,O,表2-3,投影面垂直面的投影特性,投,影,图,及,及,及,具有积聚性，,且为一斜线。,具有积聚性，,且为一斜线。,具有积聚性，,且为一斜线。,为缩小,的类似形,为缩小,的类似形,的类似形,为缩小,名称,实,例,铅,垂,正,垂,侧,垂,面,面,面,特,性,投影面平行面,平行于某一投影面的平面称为投影面平行面。,投影面平行面分为三种：,水平面 (于H 面，于V 、W 面),正平面 (于V 面，于H 、W 面),侧平面 (于W 面，于H 、V 面),1.水平面,C,投影特点：,H 投影
3、反映实形； V 投影和 W 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OZ 轴。,O,2.正平面,投影特点：,V 投影反映实形； H 投影和 W 投影积聚为直线； 积聚投影都垂直于OY 轴。,O,3.侧平面,投影特点：,W 投影反映实形； H 投影和 V 投影积聚为直线； 积聚投影垂直于OX 轴。,O,表2-4,投影面平行面的投影特性,投,名称,特,性,OY,影,图,实,OX,例,水,平,正,平,侧,平,面,面,面,具有积聚性，,且,具有积聚性，,且,OY,具有积聚性，,且,OZ,具有积聚性，,且,OZ,具有积聚性，,且,具有积聚性，,且,OX,具有保真性,具有保真性,具有保真性,平面立体,曲面立体,立
4、体的分类,依据表面性质不同，立体可分为：平面立体和曲面立体。,平面立体：表面全是平面的立体。,曲面立体：表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体。,2-2 平面立体的构形及投影表示,二 、平面立体的构形 (转AutoCAD),一、AutoCAD2000的空间设计环境 (转AutoCAD),三、平面立体的投影,四、平面立体的投影分析,三、平面立体的投影平面立体的投影实质是关于其表面上点、线、面投影的集合，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的棱边，其投影以粗实线表示，反之，则以虚线示之。在投影图中，当多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。(一)棱柱的投影( 二)棱锥的投影,（a）
5、 投影特点,（b） 绘图过程,图2-23 棱柱的投影图,棱柱投影特点：一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形或复合矩形。,绘图步骤： .画投影图的对称线和中心线 .画底面的各投影 .添加棱线的各投影,（a） 投影特点,（b） 绘图过程,图2-24 棱锥的投影图,棱锥投影特点：一个投影为复合多边形，而其余两投影则为三角形或复合三角形,绘图步骤 .画投影图的对称线及中心线 .画锥底的各投影 .作锥顶的各投影 .添加各棱线的投影,四、平面立体的投影分析无论在空间还是在投影图中，立体与其表面的几何要素的关系都是非常密切的，尤其对平面立体更是如此。探讨几何要素的投影是为了更好地解决立体的投影问题。以
6、下将讨论几何要素间的相对投影特性。(一)直线上的点若KAB,则有：1.从属性 kab , kab , kab2.定比性ak:kb = ak: kb= ak: kb= AK:KB例2-5 判断点K与直线的相对位置。（二）两直线的相对位置（三）平面上的点和直线（四）直线与平面的相对位置（五）两平面的相对位置,（a）,（b）,图2-25 直线上点的投影,从属性点在直线上，则点的投影在直线的同面投影上，且点的投影符合点的投影规律。,定比性点分线段之比投影后不变。,= ak / kb ,AK / KB= ak / kb,= a”k” / k”b”,例1 已知C 点在直线AB 上，据c ，求c 、c” 。
7、,a,b,b,a,a”,b”,例2 求点C ，使AC :CB =1:4 。,c,c”,a,b,b,a,a”,b”,分析,作图,图2-26,判断点是否属于直线,结论：点K不属于AB直线,例3 判断点K 是否在AB 直线上。,O,X,a,b,b,a,k,k,(二）两直线的相对位置两直线的基本位置关系有平行、相交、交叉（异面），而垂直则是内含于基本关系中的一种特殊情况。1.两直线平行平行两直线的同面投影均相互平行。2.两直线相交相交两直线的同面投影均相交，且其投影的交点必满足点的投影规律。 3.两直线交叉交叉两直线既不满足平行两直线的投影规律，也不满足相交两直线 的规律。 例2-6 判断两直线AB和
8、CD的相对位置。例2-7 判断两直线和的相对位置。4.两直线垂直直角投影定理： 若两直线垂直且其一直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍然垂直。（证明略）,O,图2-27 平行两直线,例1 过点E（e、e）作直线AB。,O,X,e,e,a,b,b,a,若使 EF AB，,须 ef ab ；,efab 。,分析:,作图:,O,图2-28 相交两直线,O,1(2),图2-29 交叉两直线,O,图2-30,判断两直线的相对位置,结论：两直线交叉,O,结论：两直线交叉,图2-31,判断两直线的相对位置,角度的投影一般不等于原空间实角； 在直角中：如两直角边同时平行某一投影面，则在该投影面上的投
9、影必反映直角关系；如有一条直角边平行某一投影面，则在该投影面上的投影也反映直角关系-直角投影定理。,直角投影定理,C,A,B,已知：AB为水平线，BAC 为直角，则bac 仍为直角。,证明：, ABAC， ABAa , AB平面ACca ，, ABH面， ab AB ab平面ACca有abac 。,abAB,abOX,直角,有ABac ；,bac 仍为直角,X,投影图,直角投影定理,已知：AB为水平线，BAC 为直角，则bac 仍为直角。,X,反之：若abOX，bac 为直角，则空间BAC 为直角。,直角投影定理,反之：若abOX，bac 为直角，则空间BAC 为直角。,ab平面aACc ，
10、有abAC ；,AB平面ACca ,有ABAC 。,AB为水平线,ABab,X,O,图2-32,一边为水平线的直角的投影,已知：AC为水平线，BAC 为直角，则bac 仍为直角。,反之：若acOX，bac 为直角，则空间BAC 为直角。,判断下列几组直线是否垂直：,a,( a ),( d ),( c ),( b ),例1 已知ABV，试过点E 作直线EK 与AB 垂直相交。,k,k,分析：,AB 为正平线， 正面投影反映垂直关系。,作图过程：,(三）平面上的直线和点1.平面上的直线直线属于平面应满足下列条件之一：（1）过平面上的两点。（2）过平面内一点且平行于平面内一直线。2.平面上的点若点属
11、于平面内一直线，则该点属于该平面。 例2-8 平面内点线的作图及判断问题。,图2-33,平面上的直线和点,O,O,图2-34,平面上的点、线的作图及判断,已知直线MN属于平面ABC，求MN的正面投影mn；判断点K是否属于平面ABC。,K,AB,(四）直线与平面的相对位置直线与平面间的基本位置关系有平行和相交，而垂直又是相交的特殊情况。1.直线与平面平行直线平行于平面的几何条件为：直线平行于平面内一直线。如果直线与投影面的垂直面平行，那么，在相应的投影面上，两者的投影也平行。2.直线与平面相交核心问题为求交点。3.直线与平面垂直直线垂直于平面的几何条件为：直线同时垂直于平面内相交两直线。如果直线
12、与投影面的垂直面垂直，那么，在相应的投影面上，两者的投影也垂直；而在其它投影面上，该直线的投影应平行于相关的投影轴。,O,图2-35,直线与平面平行,例1 含点（1，1）作平面与直线AB（ab，ab）平行。,只要含点作直线与AB 平行 ，则含此直线所作的任意平面均符合题意。,1.作1 3 ab ；13 ab ；,3,3,2,2,作图：,2.任作12 ，12 。,则平面平行于直线AB 。,分析：,例2 判断直线AB 与平面是否平行。,只要判断能否在平面内找到一条与AB 直线平行的直线即可，有则平行，否则不平行。,1.在平面内取直线D ， 使1d ab ；,a,b,a,b,1,1,作图：,2.连接
13、1d ；,1d 与ab 不平行， 平面 与直线AB 不平行。,分析：,X,O,2,3,2,3,d,d,O,图2-36,直线与平面相交,利用积聚性投影作图,k,k,例1 求直线AB 与平面CDE 的交点。,分析：,K,k,作图：,从属性,利用积聚性投影作图,k,k,可见性判别：,方法1：,利用重影点,2,1,1,2,( ),kb 可见，线段描粗； k2 不可见，画细虚线。,例1 求直线AB 与平面CDE 的交点。,2在前,方法2,利用积聚性投影作图,k,k,可见性判别：,方法2：,根据空间位置关系,前，可见,界,V 投影投射方向,K,k,例1 求直线AB 与平面CDE 的交点。,解题完毕,O,图
14、2-37,直线与平面垂直,(五）两平面的相对位置两平面间的基本位置关系有平行及相交，而垂直则是相交关系的特殊情况。1.两平面平行两平面平行的几何条件为：一平面上的相交两直线分别平行于另一平面上的相交两直线。如果两平行平面垂直于某一投影面，则它们在该投影面上的积聚投影也平行。2.两平面相交核心问题为求交线。3.两平面垂直两平面垂直的几何条件为：一平面过另一平面的垂线。如果两平面垂直且同时垂直于某投影面，那么，它们在该投影面上的积聚投影也垂直。,O,图2-38,两平面平行,特殊位置平面的平行,两投影面垂直面平行，在它们所垂直的投影面上，它们的积聚性投影相互平行。,p,Q,P Q,p q,0,举例
15、含点A1 作平面平行定平面（A2 B2 A2 C2 ）。,b1,c1,c1,b1,只要含点A1 作相交直线分别与A2B2 和A2C2 平行即可。,1.作a1b1 a2 b2 ；a1b1 a 2 b 2 ；,作图：,则平面(A1B1A1C1)与平面（A2B2A2C2）平行。,分析：,2.作a1c1 a2 c2 ；a1c1 a2 c2 ；,O,图2-39,两平面相交,例3 求两平面ABC 与DEF 的交线。,利用积聚性投影作图,分析：,DEF 为铅垂面，交线的H 投影已知；根据从属性，求交线的V 投影。,a,b,c,k,l,l,k,K,L,k,l,利用积聚性投影作图,判别可见性：,根据空间位置关系
16、判别。,前，可见,后，不可见,界,例3 求ABC 与DEF 两平面的交线。,k,l,l,k,解题完毕,V 面投影 投射方向,O,图2-40,两平面垂直,2-3 回转立体的构形及投影表示,二 、圆柱的构形命令及投影,一、概述,三、圆锥的构形命令及投影,四、圆球的构形命令及投影,一、概述（一）回转体（面）的形成（二）有关术语（三）回转体的构形方法（转AutoCAD）（四）回转面的构形方法（转AutoCAD),（一）回转体（面）的形成,O,O,顶圆,素线,赤道圆,喉圆,纬圆,底圆,母线,轴线,图2-41,回转面的术语,三、回转体及其表面上的点和线,(一) 回转体的形成方法,二、圆柱的构形命令及投影（
17、一）圆柱的形成（二）圆柱的构形命令（转AutoCAD）（三）投影分析一个投影为圆，其余二投影均为矩形。规定：回转体对某投影面的转向轮廓线，只能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出。（四）投影绘制一般应先画出相关的对称轴线及圆的中心线，然后绘制圆投影，最后再绘制其它投影。（五）表面上定点,（一）圆柱的形成,(二) 圆柱体,三、回转体及其表面上的点和线,以轴线为铅垂线的圆柱体为例,投影图：,空间分析：,各面投影特点：,(1)圆柱面：一个圆周与两个矩形；,(2)上下底面：一个圆与两条直线。,V,三、回转体及其表面上的点和线,圆柱体的投影特点：,1.在与轴线垂直的投影面上，圆柱体的投影为圆。,
18、2.在与轴线平行的两个投影面上，圆柱体的投影为全等的矩形。,注意：,1.圆与矩形需要用细点画线画出对称中心线；矩形的对称中心线是轴线的投影，圆的圆心是轴线的积聚性投影。,2.圆柱面有积聚性，在其有积聚性的投影（圆周）上，任何一点都是相应位置直素线的投影。,(二) 圆柱体,图2-42,圆柱的投影,图2-43,在圆柱表面上定点,已知圆柱表面上的点M及N正面投影m和n，求它们的其余两投影。,三、圆锥的构形命令及投影（一）圆锥的形成（二）圆锥的构形命令（转AutoCAD）（三）投影分析一个投影为圆，其余二投影均为等腰三角形。（四）投影绘制一般应先画出相关的对称轴线及圆的中心线，然后绘制圆投影，最后再绘
19、制其它投影。（五）表面上定点1.纬圆法2.素线法,（二）圆锥的形成,三、回转体及其表面上的点和线,(三) 圆锥体,以轴线为铅垂线的圆锥体为例,投影图：,空间分析：,各面投影特点：,(1)圆锥面：一个圆与两个等腰三角形；,(2)底面：一个圆与两条直线。,V,三、回转体及其表面上的点和线,圆锥体的投影特点：,1.在与轴线垂直的投影面上，圆锥体的投影为圆。,2.在与轴线平行的两个投影面上，圆锥体的投影为全等的等腰三角形。,注意：,1.圆与等腰三角形需要用细点画线画出对称中心线，等腰三角形的对称中心线是轴线的投影。,2.圆是锥面的投影，也是底面的投影；圆的圆心既是轴线的积聚性投影，也是锥顶的投影。,(
20、三) 圆锥体,图2-44,圆锥的投影,m,n,已知圆锥表面上点M及N的正面投影m和n，求它们的其余两投影。,图2-45,在圆锥表面上定点,纬圆法：求M投影,素线法：求N投影,三、回转体及其表面上的点和线,例已知圆锥面上的点A的正面投影，求其余两面投影。,a”,(a),a,m,m,m”,作图：(1)过(a )作直素线sm ;,分析：圆锥面的投影没有积聚性，a在圆内的某点处，但A必过圆锥面内的一条素线;(a )不可见，则点A必在后半个圆锥面上；A点在左半个圆锥面上，故a”可见。,(2)求出sm和s”m”；,(3)在sm和s”m”上求得a和a”。,(三) 圆锥体,例6 已知圆锥面上的点A的水平投影，
21、求其余两面投影。,三、回转体及其表面上的点和线,a,m,(a”),m,PV,a,PW,作图：(1)以s为圆心，sa 的距离为半径作纬圆，找到纬圆与圆锥最左素线的交点m，并求其正面投影m ;,分析：A在圆锥面上，则过A必存在圆锥面内的一个纬圆;A在前半个圆锥面上，则a 可见；A点在右半个圆锥面上，故a”不可见。,(2)作过M点的水平面P 的迹线；,(3)在平面P的迹线上求得a与a” 。,(三) 圆锥体,四、圆球的构形命令及投影（一）圆球的形成（二）圆球的构形命令（转AutoCAD）（三）投影分析三投影均为圆，且直径等于球的直径。（四）投影绘制一般应先画出相关的中心线，然后绘制圆投影。（五）表面上
22、定点方法：纬圆法,（三）圆球的形成,三、回转体及其表面上的点和线,(四) 圆球体,投影图：,空间分析：,圆球面：,三个全等的圆,V,2,3,3,1,2,2,“,“,1,2,3,1,1,图2-46,圆球的投影,m,图2-47,在圆球表面上定点,已知圆球表面上点M的正面投影m，求它的其余两投影。,(四) 平面立体表面上的点,平面立体表面上取点的方法与平面内取点方法完全相同。,点的可见性由点所属面的可见性决定。,例1 已知点K及无名点的正面投影，求其余两面投影。,K,分析：k 可见，则点K 位于左棱面SAB上；另一点未标注可见性，则该点可能位于右棱面或后棱面上。,k,例1 已知点K及无名点的正面投影，求其余两面投影。,作图：(1)求取过K 直线SM 的投影 ;,m,m,(2)按投影规律找到k 和k” ;,k,k”,(3)过无名点正面投影做一平行线，并求取其水平投影；,n,n,( ),(5)第二种可能性。,(4)根据投影规律找到无名点的水平投影和侧面投影；,本 章 结 束,
