1、1第三章 力矩与平面力偶系教学内容及基本要求：力对点之矩，合力矩定理。力偶，力偶矩，平面力偶的等效条件。平面力偶系的合成和平衡条件。正确理解并熟练计算力对点的矩，理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和等效条件，掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。重点：力对点的矩的计算，力偶矩的概念、平面力偶性质和力偶等效条件。学时分配：223-1 力偶与力偶矩一、力对点的矩举例：用扳手转动螺母拧动螺母的作用不仅与力的大小有关，而且与点F到力的作用线的垂直距离O有关。因此可用两者的乘d积 来度量，同时，力使扳手绕点 转动的方向不同，作用效果也不同。由此可见，力 使物体F绕点 转动
2、的效果，完全由O下列两个因素决定：（1） 力的大小与力臂的乘积 ；d（2） 力使物体绕点 转动的方向。这两个因素用一个代数量包括无遗，称为力对点的矩(Moment of force about a point)，简称力矩(Moment) 。推广到普遍情形。如图所示，平面上作用一力 ，在同平面内任取一点 ，称为矩心FO(Center of moment)。点 到力的作用线的垂直距离 称为力臂，则在平面问题中力对点的矩d的定义如下：力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积。它的正负按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向为正，反之为负。力 对点 的矩以符号 表示，即FOFOmdFO力
3、 对点 的矩的大小也可由三角形 面积的两倍来表示，即AB2力矩的单位是 或 。Nk综上所述可知：（1） 力 对点 之矩不仅取决于力 的大小，同时还与矩心的位置有关；FOF（2） 力 对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变。因为此时力和力臂的大小均未改变；（3） 力的作用线通过矩心时，力矩等于零；（4） 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。例-1、正平行六面体 ，重为 ，边长 ，今ABCDNP10cmADcB80,6将其斜放，使它的底面与水平面成 角。试求其重力对棱 的力矩。3ldAO FBBFAO d3解： 时0365,4tanmNOAPmA 6120.50cos当 与地面垂直时，
4、力 经过 点，CPAP此时 00436,9二、力偶与力偶矩实例：作用一对等值反向的平行力，合力虽然等于零，但由于不共线而不能相互平衡，能使物体改变转动状态。由两个大小相等、作用线不重合的反向平行力组成的力系，称为力偶(Couple)。记为 。力偶中两力所在的平面叫做力偶作用面，两力作用线间的垂直距离叫力,F偶臂，用 表示。d如何度量力偶对物体的作用效应呢？显然可用力偶中两个力对矩心的力矩之和来度量。如图，在力偶平面内任取一点 为矩心，设 点与力 作用线的距离为 ，则OFd力偶的两个力对于 点之矩的和为dxFmO F由此可见，力偶对矩心 点的力矩只与力 和力偶臂 的大小有关，而与矩心的位置无关。
5、即力偶对物体的转动效应只取决于力的大小和二力之间的垂直距离（力偶臂） 。因此，在力学上以 乘积作为度量力偶对物体的转动效应的物理量，称为d力偶矩(Moment of a couple)，以符号 或 表示，即,FmCDOPBAFFFFFFDA FBFC dD Fx dOB A4dFm,式中的正负号表示力偶的转动方向，即逆时针方向转动时为正；顺时针转动时为负。由此可见，在平面内，力偶矩是代数量。力偶矩也可用三角形面积表示 ABCm2力偶矩的单位也是 或 。Nk综上所述，力偶对物体的作用效应，取决于下列三要素：（1） 力偶矩的大小；（2） 力偶的转向；（3） 力偶的作用面。以上三要素称为力偶的三要素
6、(Three elements of a couple)。三、力偶的等效力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。力偶只能跟力偶所平衡。即力偶不能与力平衡，只能与另一个力偶等效。而力偶以物体的转动效应又完全取决于力偶矩，且与矩心的位置无关。故在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等，转动方向相同，则两力偶必等效。称为平面力偶的等效定理。综上所述，可得下列两个重要推论：（1） 力偶可在其作用面内任意移转，而不影响它对物体的效应。（2） 在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶矩的大小和力的大小而不影晌它对物体的效应。注意：以上结论不适用于变形效应的研究，如下图的力偶 ，如
7、变换为力偶1,F矩相等的力偶 ，尽管对梁的平衡无影晌，但对梁的变形效应肯定有影晌。2,F3-2 平面力偶系的合成与平衡Fd = d =d dFmFF1F21F2F5作用在物体上同平面内的许多力偶称为平面力偶系(Coplanar couple system)，如多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件被加工的平面上就是受到平面力偶系的作用。设有同一平面内的两个力偶 和 ，它们的力偶臂各为 和 ，其力1,F2, 1d2偶矩分别为 和 。1m2 2211,dm在力偶的作用面内任取一线段 ，在不改变力偶矩的条件下，将各力偶的AB臂都化为 ，于是得到与原力偶等效的两个力偶 和 ， 和 的大小可d1,P2,1P2
8、由下式算出： dm21,然后移转各力偶使其力偶臂都与 重合（如图） 。再将作用于 点的各力合成，这些ABA力沿同一直线作用，可得合力 ，其大小为R21P同样，可将作用于 点的各力合成为一个合力 ，它与力 大小相等，方向相R反，且不在同一条直线上。因此力 和 组成一个力偶 。此即为两个力偶的R,合力偶，其力偶矩为 212121 mdPdPM若作用在同一平面内有 个力偶，则其合力偶矩应为ninm21由上可知，平面力偶系的合成结果是一个合力偶，合力偶矩等于各已知力偶矩的代数和。若平面力偶系平衡，则合力偶矩必须等于零，即 0i1F2P1 Rd1 A Ad2 d B d B1 12P6反之，若力偶矩为零
9、，则平面力偶系平衡。 由此可见，平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。例 3-2、刚架上作用一力偶，力偶矩的大小为 ，转向如图所示。若刚架重量不计，m试求支座 的约束反力。BA,解：以刚架为研究对象，受力如图 022mABRa解得 aRBA70.例 3-3、图示一曲棒，其上作用两个力偶，试求其合力偶。若令此合力偶的两力分别作用在 两点，问这两力的方向应该怎样选取，能使力的大小为最小。设棒的直, a mA A Ra B B R 045 AFA1FN50200mm N150N1502F2FC D 200mm 1B7径大小忽略不计。解： 与 ； 与 分别构成力偶。设其力偶矩
10、分别为 ，合力偶为1F2F 21,mM则 NmM2.45sin2.015.00即合力偶矩大小为 ，转向为顺时针方向。N要使组成合力偶的 的大小最小，力偶臂应为最长，即为 连线BAF, AB在 中BC034265.tan故 与铅直线的夹角为 ，指向分别为斜向上和斜向下。AF, 例 3-4、圆盘上有一销钉 ，套在摇杆的光滑滑槽内带动摇杆转动。圆盘上作用C一力偶，力偶矩的大小 ，转向如图所示。当摇杆上作用一顺时针方向的mN10力偶时，机构在图示位置处于平衡。求此力偶的力偶矩大小 。已知 ，2mcmOC20圆盘和摇杆的重量均不计。解：首先以圆盘为研究对象，受力如图 1.03sin2.03sin,01 OCDNm而解得：再以摇杆为研究对象，受力如图 4.03sin2.0i/,2OCAANm而C ARCN2m1m2A O 03O R7解得： mN402
