1、习题一解答1、 填空 （3）设有行列式 231870456312D含因子 45312a的项为 答： 14038625)(4312a或 0865)(34124 a（5）设 3281)(xxf， 0)(f的根为 解：根据课本第 23 页例 8 得到)2()(2)(2)( xxxf0f的根为 ,1 （6）设 32,是方程 03qp的三个根，则行列式13221xx= 解：根据条件 )()(3213 xxqpx，比较系数得到0321x，q；再根据条件 x13， qpx23， qpx3；原行列式= 321x2 0)(2p（7）设 )(321434iJaD，则 43241AA= 解： 43214AA相当于
2、)(iJ中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为 0.（8）设)(iJacdbacD，则 43241AA= 解 将 D按第四列展开得到 43241cAadA= cdbaa，第四列的元素全变成 1，此时第四列与第二列对应成比例，所以43241AA=0.=a，bbnnn 212112，则 1211212112120mmmnnnnaDabcb ；12112212112120()mmnnmnnnaDabbc 证 因为任何一个行列式根据性质 5 可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成： 121212mmmaa =120ma = 12m行列式 D， 的变换和行列式 的变换完全相同，同样假设行列
3、式1变成212112121200mmnnnnnaccb 23a 第 次 按 第 1行 展 开 (变 成 第 1行 )第 次 按 第 行 展 开 变 成 第 行第 m次 按 第 行 展 开 12ma12nnbab 12121221212100mmnnnnnmaDbcc 23ma 第 次 按 第 1行 展 开 (变 成 第 1行 、 第 n+列 )第 次 按 第 行 展 开 变 成 第 行 、 第 列第 -次 按 第 行 展 开 变 成 第 行 、 第 1列第 次 按 第 行 展 开= = abmn)1(或将 2D的第 (1)n列连续经过 n次对换（依次和其前面的列对换）而成为第 1 列，第 2列
4、连续经过 次对换而成为第 2 列，如此下去，第 ()nm列连续经过 次对换而成为第 m列， D共经过 mn次列对换而变成 1，所以 2= abmn)1(。7、计算下列行列式：（1） xaxaDn ， （2） )(ijnaD其中 jiij2（3） jijijn即),(（4） 112222112 000000dcdcbabDnn （5） nDbababa100 解（1）第 2 行、第 3 行、第 )1(n和第 行全加到第 1 行后，第 1 行提出 ()xn得nD=(1)xa11xax a第 行 乘 以 (-)加 到 其 他 每 一 行 (1)xna00xa = )1()(1nxa. （2） nDn
5、 2322第 行 乘 以 (-1)加 到 其 他 每 一 行 201200n = 1(-)A= )!（(3) nD= 014321545013 32 2201 13 nn= 111120 第 列 加 到其 他 每 一 列0221002230 n= nA1)(= 1)(n（4）将 D2按第一行展开第 行减去第 )(n行、第 )(行减去第 2行、第 4 行减去第 3 行、第 3 行减去第 2 行、第 2 行减去第 1 行得nD2= 12221 00000dcdban + 12)(nb 0000002222 cdcban= niiinn cbaDaDcbda 1)()(211)(21 )( （5）
6、nDbaba100010 + babab1000 ，其中 baba1001 第 列 乘 以 (-)加 到 第 2列 ;第 2列 乘 以 加 到 第 3列第 n列 乘 以 b加 到 第 n列 aa100100 = na于是 1nbD= )(21nD= )(321nnbDaa= baba12习题二解答8 题 设 A201，求 (kA为正整数）解 记201,E，则0AE，2200E10kkA1202kk20 题 设 2， nxaaxf10)(， ,0为正整数，证明)(0)()(1fff证 因为 kk210， naEaf 10)( ，所以naaf 21210)(= nn2210)(21ff21 题设
7、4P， 201， AP1，求 10。解 因为 1A， = 1， 42，所以10A= 24024= 211= 10102223、填空选择题：（1） A为 n阶方阵， *A为其伴随阵， 3A，则*5)4(解 因 E31*,所以13*,nnAAA)1(3)1(54*15)4(1（7）设 均为 阶方阵， BE可逆，则 BA可逆，且1)(BE= A； 1)(ABE； AC1)()(； ED)()1解法一：题目只说 均为 n阶方阵，没有说 可逆，于是)(,DB全错 .解法二： 因 ABE可逆，设其逆矩阵为 P，则 EPAB)(，于是PEA.因为)(B)(1= )()(PAE= B= EAPBPAE)(所以
8、 BAE可逆，且 1)(B= 1)(24、设 0k， （ 为正整数） ，证明 12( kA .证 EAAEAEA kkk 1321212)( 所以 121k .推论：设 均为 n阶方阵，若 0k，则 0E， nAR)(26、设 均为 阶方阵，且 2B， A，证明 可逆，并求其逆.证 由 EBA得 A，代入 2得到 2)(E= EA，于是 232， E2/)3(，所以 A可逆， 2/)3(127、若对任意的 1n矩阵 X，均有 X=0，证明 A必为零矩阵.证 A= mnmnaa 21212，因为对任意的 1n矩阵 X，均有AX=0，于是分别取 X= 0、1、 0，代入 A=0 得到，0121ma
9、，0212ma，21mnna.所以A为零矩阵28、设 A为 阶方阵，证明 0A的充分必要条件是 0A.证 若 0，则 0；反过来设 A= nnnaa 212112，若A nnnaa 212112=0则 02121na ， 02 ， 0221nnaa ，于是 0习题三解答第 97 页 2 选择题（4）设 21,线性相关， 32,线性无关，则（ ）)(A321,线性相关. )(B321,线性无关.C能由 32,线性表示. )(D能 21,由线性表示.解 因为 1线性相关，所以 3,线性相关，又因为32,线性无关；于是 1能由 32,线性表示. 答： )(C（5）设向量 能由向量组 m,21线性表示
10、但不能由向量组（）： 121,m线性表示，记向量组（）： ，则（ ）.)(Am不能由（）线性表示，也不能由（）线性表示，B不能由（）线性表示，但能由（）线性表示，)(C能由（）线性表示，也能由（）线性表示Dm能由（）线性表示，但不能由（）线性表示.解 因为向量 能由向量组 m,21线性表示，所以存在R,121，使 = 1+ + 1；因为 不能由向量组 m线性表示，于是 0，m= 12+ 1m+ ，即 m能由（ ）线性表示.假若 能由（）线性表示，则存在 Rk121, ，使 m= 1k+2k+ 1mk代入 =+ 2+ mm 1得到 能由（）线性表示. 矛盾，故选择 )(B7、设向量 能由向量组
11、m,21线性表示，且表示唯一，证明m,21线性无关 .证 设 1+ 2+ =0， 即 0= 1+ 2+ m （1 ）因为向量 能由向量组 n,21 线性表示，即 = 1k+ 2+ k （2）（1）+ （2）得 = )(1k+ )(2k+)(mk 表示唯一得到 1k， 22k， mk, ，于是 m,21 全为零，故 n,321线性无关.8、设向量组 21,3线性相关， 32,4线性无关，证明：（1） 能由 线性表示；（2） 不能由 21,3线性表示证（1）因为 3,4线性无关，所以 32,线性无关，而2,3线性相关，故 1能由 32,线性表示，即存在 Rk32,使 1=k+ ；（2）假若 4能由
12、 21,3线性表示，则存在 321,，使 4=1+ + 3；将 = 2k+ 代入 4= 1+ 2+ 3得到 4能由 23,线性表示，于是 3,4线性相关，与条件 ,4线性无关矛盾. 故 4不能由 21,线性表示.12、设 n维单位坐标向量组 n ,21能由 维向量组 n ,21线性表示，证明向量组 n ,21线性无关.证 因为 维向量组 ,能由单位坐标向量组 n ,21线性表示，根据条件向量组 n,21与向量组 n ,21等价.向量组n ,21的秩为 .故向量组 n ,21的秩为 ，因此向量组线性无关 .13、设 n ,21是 维向量组，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一 n维向量都能由它
13、们线性表示 .证 设 n ,21线性无关， 为任一 n维向量. 向量组 n ,21，一定线性相关，于是 能由 n ,21线性表示；反过来 若任一 维向量都能由 n ,21线性表示，则 n维单位坐标向量组 n ,21能由 维向量组 线性表示，根据第 12题向量组 线性无关 .14、设向量组（）： s,21的秩为 1r，向量组（ ）：t,21的秩为 2r，向量组（）： s ,1， t,21的秩为 3r，证明2321,maxrr.证不妨设向量组（）的最大线性无关组为 1,21r，向量组（ ）的最大线性无关组为 .向量组（ ）能由其最大线性无关组 1,21r线性表示，向量组（）能由其最大线性无关组线性
14、表示，于是向量组（）能由向量组 1,21r，线性表示.故 213r1,21r是 s ,2， t,中 1r个线性无关的向量，于是r3，同样可以证明 r3，因此 32max.故 21321,maxrr.15、设 A是 sm矩阵， B是 t矩阵，证明： )()|(BRAR.证 设 = ,21s， = ,21t，则 |= s,21,21t根据第 14 题得到 )()|(BRAR16、设 A， B都是 nm矩阵，证明 )()(BRA证 设 = ,21n， = ,21n，则 A+ B=,21n而且 1能由n21线性表示.根据第 14 题，得到 )()(RBR17、设 A是 sm矩阵， B是 ns矩阵，证明
15、： ,(minA证 设 A= msmsaa 212112， B= s 21， A= m 21，于是m21= mssaa 2121 = smmsaa 212121即 m ,2能由 ,21线性表示，因此 )(ARB.同样可以证明 )(BRA故 )(in)(BRA.习题四解答：6（4 ） 求 25344211xx的通解解 )|(BA 007/5/97/5161，42)|(R，方程组有无穷多个解，解空间的维数是 2，同解方程组为4433243179516xxxx，原方程组的通解为1212123467759,006xkkR7、当 为何值时，非齐次线性方程组 2321x有解？并求其通解.解 A= 212第
16、一行除以 2 后加到第二行、第三行；第一行除以 )2(. 1510.0.2 )1(2005.1. .当 2或 时， 3)(AR，非齐次线性方程组有解.当 1时， 005.1. 01，原方程组同解于0132x, 32x,通解Rk,10.当 2时， A 00351 021，原方程组同解于231x, 31x,通解Rk,102.8、 当 为何值时，非齐次线性方程组 2321x（1 ）有唯一解；（2）无解；（3 ）有无穷多解？此时求其通解 .解 A= 21第二行减去第一行；第三行减去第一行的倍. 2101 )1()1(201.当 2且 时， 3)(AR，有唯一解.当 时， )(AR，无解.当 1时， 3
17、1)(，有无穷多解. A 0011，原方程组同解于1321x, 32x,通解 Rkkx2121,00 .9、当 ba,为何值时,非齐次线性方程组 4321bxa（1）有唯一解; （2）无解 ;（3 ）有无穷多解？此时求其通解.解 A= 4123ba11003ba 210ba 2)(0.当 a且 时， 3)(AR，有唯一解.当 0时，或者当 1,2ba时， )(AR，无解.当 1,2ba时， 3)(AR，有无穷多解.A 001，原方程组同解于 231x， 321x，通解Rkx,102.10、设向量组 102a, 51, 43, cb1试问：当 cba,满足什么条件时（1） 能由 1, 2, 3线
18、性表示,且表示式唯一； （2） 不能由 , , 线性表示,（3） 能由 1, 2, 3线性表示,且表示式不唯一，并求出一般表示式.分析：非齐次线性方程组 1x+ 23x= ，即 cxbxa321450（1）只有一个解 能由 , , 线性表示, 且表示式唯一；（2）无解 不能由 1, 2, 3线性表示,第二行、第三行分别减去第一行（3）有无穷多解 能由 1, 2, 3线性表示, 且表示式不唯一，并求出一般表示式.解 A= cba45102210540522bbccaaa14 ()(1)205cbab 当 时， 3)(AR， 能由 1, 2, 3线性表示,且表示式唯一.当 且 1时， 不能由 ,
19、, 线性表示 .当 2a， 时， )(，有无穷多解. A1045c原方程组同解于 54231cx， 5.02.321cxk，一般表示式= 1)4(2kc+ 23)(Rk,.11、 设 *是非齐次线性方程组 xA的一个解， rn,21是对应的齐次线性方程组 0xA的一个基础解系 .证明 （1 ） *，rn ,21线性无关；（2） *， rn*,21线性无关.证 （1）假设 ， rn,21线性相关，由条件 rn,21线性无关，则 *能由 rn,2线性表示，即存在 rnk,21 ，使 *=rnkk21，而 rn ,21是 0xA的解，则 也是 0xA的解. 矛盾，故 ， ,21线性无关.（2）设 *
20、k )*()*()(21 rnrnkk ，即(21 rn+ =0，由 *， rn,21线性无关得， ,0,02121 rnrnkkk，即 rnk,21 全为零，所以*， r*,1线性无关.12、设非齐次线性方程组 xA的系数矩阵的秩为 r，121,rn是它的 1rn个线性无关的解.证明它的通解为2rkkx，其中 121rnk证 21,rn 是 xA的 个线性无关的解，则 12，13， , rn是 0的 r个线性无关的解，因此 12， 3，, rn为 xA的一个基础解系， x的通解为 x)(k)(13k+ )(11 rnk= 12132)( rnrnkkk = 1其中 321rnkk ， 12r
21、nk13、 设四元非齐次线性方程组 xA的系数矩阵的秩为 2，已知 32,4,12是它的三个解向量，求该方程组 xA的通解.解 2,rn， 0xA的基础解系中只有 2 个线性无关的解向量，而 321021， 213是 0xA的 2 个线性无关的解向量，于是 0xA的通解为 1k，方程组 的通解 1x2k14、设三元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 1，已知它的三个解向量 1， 2， 3满足 1+ 2= 3， 2+ 3= 0， 3+ 1= 0，求它的通解解 n， )(AR， 的基础解系中只有两个解向量.因为13= 210= 23， 12= 01= 0是 两个线性无关的解；1= 5.该三元非齐次线性
22、方程组的通解 x5.123k0115、 设 A， B是 n阶方阵，且 0AB，证明 nBRA)(证 （1）当 R)(时， ， 可逆，则 11，即 0，0)(BR，此时 .（2）当 nrA)(时， 0AX的基础解系中只有 rn个线性无关的解向量，即 X的解向量组的秩为 rn.设 nXXB21，由0AB得， n,21为 的 个解向量，所以 )(R向量组n,21的秩 r.故 BRA)(.17、设 13baA， 是三阶非零矩阵，且 0AB，求解 由 0B、 知 )(BR、 3)(BRA，于是 2)(R，)1(231abaA， 1或 0b，此时 2)(， 1)(3)(AB，)(BR18、设 A是 nm矩阵，证明 )(AR分析 若能够证明 0XA与 0同解，则 )(AR证 设 0X成立，则 一定成立.若 A，则 ，于是 XAX)(,2 0，即 0故 X与 0同解， )(AR
