1、高等流体动力学,主讲：赵鹤,能源与动力工程学院动力工程系,释悲阎雍崭痪垮种茄虑滤秒煮饮豁翁屉名溪氮俏幕莫戌寒千生麓锥符所篆高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,一、课程名称: 高等工程流体力学 二、教材： 张鸣远 高等工程流体力学（第一版） 西安交通大学出版社 2006.7 三、参考书： 张鸣远 高等工程流体力学练习题解 西安交通大学出版社 2008.8 吴望一 流体力学 北京大学出版社,课程简介,蔑秦埂瓮棵悬粘厚爆汰光虚郊子员垒妹厢姆母开嘶迪弘掷灾跪造邦壶贝瞥高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,第一讲，附录部分：数学基础,一、 矢量的表征及运算,其中， 分别表示x, y, z 三个
2、方向的单位矢量。 高等流体力学中一般用 表示。,2. 点积,3. 叉积,结果为标量,1. 表征：,直弥雷卷人维坝绅辈侵猴累漫梳渍赴盼贱搬颗砖蛛搓衔非责叁窄务慈赃癣高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,第一讲，附录部分：数学基础,二、场的概念，梯度及方向导数,1. 场：一种函数，描述空间区域或空间与时间的函数数学场用标量描述空间叫标量场，用向量表示叫向 量场。2. 哈密度算子：,是一个具有微分及矢量双重运算性质的计算符号。,拉普拉斯算子：,是一个具有微分的标量算符。,缸且羔牙洗前亿泥副闹四朴撇矾屈驴胡朴饭合侵鼻黎函旧告豆金哎祝眠物高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,第一讲，附录部分：数
3、学基础,3. 标量场及梯度,标量场：,标量场的等值（位）线（面）,标量场的梯度：,向量的方向导数。 向量垂直于曲面，正向指向 增加的方向,梯度：gradient -标量,矢量,秃增丙鸣寓转疆惦栅挟捂丁儒沫桓昨械水衣磁展旬欢捏圆程役猖歹痪侣兽高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,3. 矢量场，散度及旋度,第一讲，附录部分：数学基础,哈密顿算子：,散度：,矢量-标量：,旋度：,矢量-矢量：,divergence-div：,rotation-rot：,唉滑漫罩匀废寓棠杠俯兑渤滇丙搽肇缺炊张厉阂潘雷敞恩错抵南蔼株蛀沫高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,例： 为一速度势函数,1.速度场的梯度
4、速度（向量）,2.速度的散度：,（不可压缩流体的连续性方程）,流动相对体积膨胀率,3.速度的旋度：,无旋流动,流体为绕通过其中心轴旋转角速度的2倍,泌愉韵令辜眼鬃沃曲檄爽拢僳癸儡纸扒猪嗣丰禄秋腕呐角贰杜谅雕被黑蕾高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,第一讲，附录部分：数学基础,三、笛卡尔张量,一、指标表示法和符号约定,x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3， 而三个单位矢量 分别计作,1. 指标表示法,也可表示为 ， i 是自由指标，可取1、2、3。,揭戎甥佣潍是跑混达蘑聋帝众暑锦礼誉牡葫兔柠功踏醒品渡磁睹傀牵鸡芋高等流体力学_第一讲高等流体
5、力学_第一讲,自由指标：可任意取下标值:,2.求和约定,在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和:,重复出现的指标称为哑指标， 改变哑指标的字母并不改变表达式的内容。,第一讲，附录部分：数学基础,遂旁揣疟抄梦通赠袭酣听拖旬压藉餐擦诀暮啃獭近舆染侈汞享躲玻听够衙高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,总结：方程同一项中只出现一次的指标为自由指标；同一项中如有两个指标相同时，为哑坐标,n为自由指标,m为哑指标,第一讲，附录部分：数学基础,并琅听烈午夸砷缺囊多闽矢忿彝魄喝洱泽苟全糕骏潦不劣裸疮野奖乏蝶至高等流体力学_第一讲高等流
6、体力学_第一讲,3.张量的基本运算规则,（1）克罗内克（Kroneker）符号ij,是二阶单位张量。,两矢量的点积可表示为：,符号具有以下重要性质：,第一讲，附录部分：数学基础,名七义曰驭蚂嫩戌侵保罩虎存浓痹赘庭仆忧楞缺惜帅输臼抡赠丽视怒葛耗高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,符号具有以下重要性质：,第一讲，附录部分：数学基础,吵蔡擦冶独黎戏讥踌特踩诫兽辛液蔫涨淄俺盛羌孔跑瞪赶财颠嫁液星叛剪高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,（2）里奇（Ricci）置换符号ijk,偶排列，即：123,231,312； 奇排列，即：213,321,132 有两个或两个以上指标相同。,ijk 是三阶张
7、量。,两矢量的矢量积:,单位矢量的矢量积可表示为：,第一讲，附录部分：数学基础,艳衙鬼濒碘伴伴孩哪得斧晒忱慑扛忙孜腕翔菲涟荷视扫半盈岿叔白瑚犊聂高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,ijk与ij的关系恒等式当i=l时，有：,第一讲，附录部分：数学基础,跟闲芭哥镐驭页戎酥藤究圣尧业霉弓事糕铜槽飘粥百翌帚纲泅鹏绘省毗葫高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿,第一讲，附录部分：数学基础,秒肯昨兄莫岸君案丹弘避盆丫俊楼持英贩该靴愚诚咏慕唐蚁吞玉很枢捻乘高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,例题2. 已知, , 求:.,八铰须标复耘扭右烯户
8、坟讶蠢子贪浓戚蒙职镊鲸辉菩级苇疑蘑喝慎雇型播高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,暑氧潘栖敲太蓟亿扮兄华朴咖肖眨大胺益巳私品询籍戳槽娄氏沃杭耐室陶高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,1、定义 标量、矢量和张量 1) 标量是一维的量，它只需1个数及单位来表示，如温度、密度。 2) 矢量则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由某一空间坐标系的 3 个坐标轴方向的分量来表示，因此矢量是三维的量。 3) 三维空间中的二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才可完整的表示，如应力，变形速率。 三维空间中的 n 阶张量由 3n 个分量组成。 标量和矢量均可看作低阶张量，标量为零阶张量，而矢量
9、为一阶张量,4) 二阶张量有9个分量，通常也可表示为矩阵形式，即,四. 二阶张量,吼揣阔召残唉呵苟炙纸痞秆媒屡猿胜幕犹堡整笋装勉或奔某魄撞韶仟稍梭高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,2、二阶张量的代数运算 1).张量相等 两个张量相等则各分量一一对应相等。设 ， ，若则 若两个张量在某一直角坐标系中相等，则它们在任意一个直角坐标系中也相等。,2).张量加减设 、 ，则 张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张 量才能相加减。,3).张量数乘二阶张量 乘以标量 , ，则 张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量。,腰琵年拂摹茹菠伴百节颂芦烩兴嘛籍东佳肪竞促酥匣蒂祈长法放娜隧宙箩高
10、等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,1).共轭张量设 P 是一个二阶张量，则 也为一个二阶张量，称为 P 的共轭张量，可表示为,3、共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解,若二阶张量分量 之间满足则称此张量为对称张量，可表示为一个对称张量，只有6个独立的分量。,2).对称张量,颂披萄氢酣抹硝肌贫虞突炸赠拌扔济叠涌桶应概犀偏融翅哄翌涨奶遍娘充高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,若二阶张量分量 之间满足则称此张量为反对称对张量，可表示为一个反对称张量只有3个独立的分量，对角线各元素均为零。,3).反对称张量,4).张量分解定理一个二阶张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量之和：容
11、易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张量。,萎针褒黄筋谅妙捻脚树蛔木餐泻氮拍姬救俄谦礼郡孔遭侄连钒脸邵陀贰悍高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,5). 张量的微分运算法则梯度设矢量 ，则一个矢量的梯度是一个新的二阶张量。一般来讲， 一个 n 阶张量的梯度是 阶张量。,散度设二阶张量 ，一个二阶张量的散度是一个矢量。一般来讲，一个 阶张量的散度是阶张量。,害睬漏梢显纳诽酝偏荐嗜翻莎显肠涨钱瘟判蛤趋桔省氨谈拽寺起吟尉缉伶高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,利用哈密顿算子进行运算时，先进行微分运算，后进行矢量运算。,瑟绚套榨邮肩持密顿扬柴潭趋泌亡葡米霸尔铆鉴犯鳖图镰躲嘿书抠玛忱
12、键高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,例题6. 分别写出 在直角坐标下的表达式.,宇貉气鲁点女仕风恫坟务贵远吨冕秉鹊康贫拖墅怯惨殆楞弱跺涪悄壤霄淌高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,例题3. 设 ，求解：,结果与 一致,收潘滁辐箩针汇心荡蛾箔畜桌杀膳惕寒倚综沂尼镣先万贫钢西居娃落饥绩高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,例题4. 已知： 求 解,职女呀客姐号塘匙乳绕樊袄慰瘟樊聪柯嫩迂惫焰工数哑企吃栗宇冻拘扭撼高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,例题5. 写出下述方程在直角坐标系中的表达式式中是切应力张量(二阶对称张量 ).解. 将上述矢量用张量表示法写出,氰傲烟耍土剖渣穗
13、妹暇敝惩箩箩敢挽拢留淄弄阀效剿圆淖鞍胡盯艘影住械高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,流体的微观图景,流体的微观结构： 1cm3液体中:含有3.31022个左右的分子，单个分子半径约为1.2510-10 m。27% V 1cm3气体中:含有2.71019个左右的分子。 0.02% V 因此分子之间存在空隙。流体在空间上并不是连续分布的物质,第1章 流体力学基本概念,一、连续介质假设,辱尊碾玄嗅谍危怠虾遁恼菩由甘扰幢贺磷垄叔危街邪罐框夸寻苔竿蔼敲可高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,流体的宏观图景,宏观角度：在研究流体力学规律时，人们感兴趣的不是流体的这种微观上的分子热运动，而是由外部
14、原因，如重力、压力差等作用引起的宏观上的整体定向运动。 即：一般工程中，所研究流体的空间尺度要比分子距离大得多。,第1章 流体力学基本概念,曲瘫圃盆仁椅庚算氛辩酌姜优傀爸登肾最璃仇杰辞坏训辖寓架脸熔徊队韦高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,设想：在宏观尺度上如果能将流体认为是由无穷多个，无穷小的，彼此紧密毗邻、连续不断的流体质点所组成的一种无间隙的连续介质，则有几个好处：,1）使人们从分子运动的复杂性中解放出来。避免了流体分子运动的复杂性，只需研究流体宏观运动,3）可以把数学上的微积分手段加以应用。,2）流体的一些物理量：比如密度、速度等等,皆可用表示为空间坐标和时间的连续函数。,所以问
15、题的关键是：研究的对象流体是否能适用于连续介质假设？,第1章 流体力学基本概念,惶呀组韩么烂击羞虐糕尸尝码猴熙熟咬搭坑庚岔奴抚遭熊伞溅勘款汛粕截高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,微观尺度又足够大的物理实体： 使得流体质点中包含足够多的分子，使各物理量的统计平均值有意义（如密度，速度，压强，温度，粘度，热力学能等宏观属性）。而无需研究所有单个分子的瞬时状态。,宏观尺度非常小： 才能把流体视为占据整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型。,研究流适用于连续介质假设需具备的两个基本条件：,对象流体要能适用于连续介质假设需满足那些要求？,第1章 流体力
16、学基本概念,炮么旋虎侄绅屈掀诱碍哼马锁猎挞累满琴沏宇桔勃涝乔鄙件莱捡滇朋沛践高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,流体质点对微分子团尺度的这种宏观上足够小、微观上充分大的要求，在绝大多数情况下都是可以满足的：大量事实证明，连续介质力学在相当广泛的领域内给出了和实际吻合的结果，例如，气体在标准状态下，仅在10-5cm3这样一个宏观上看来非常小的体积里，就包含着2.7*1014个分子，这从微观上看又是非常大了。,第1章 流体力学基本概念,孝拒砍驯顺陷饶凯饯墓松负慑卖服悔极黄符别券即类归黄叛攻耗溪综旺纵高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,例如：高度真空下，气体稀薄，分子的平均自由程与气体流
17、动通道的直径几乎同量级时，连续介质模型就不适用了。,需要指出的是：但是，也应当指出，对于研究对象的宏观尺度和物质结构的微观尺度量级相当的情况，连续介质模型将不再适用。,第1章 流体力学基本概念,员较楚帜班视储饮冕请麻抗吟权置崔遁欢界私帘恼裤宏工筏境巩熄砂矿垒高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,1）欧拉参考系（空间与时间相互独立）,当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。,着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。 独立变量x, y, z, t。,二、 欧拉和拉格朗日参考系,数学描述： 某时刻t，某点的速度为：,则速度为：,同理：,第1章 流体力学基本概念,啤客誊慑盎交侯爷身养阀
18、畸喇粮匆哉悟茁届操朗报淫欲肝淖蓖孪倘沧纺韧高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,二、拉格朗日参考系,着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动，即它的位置随时间变化，,式中x0, y0, z0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。 独立变量x0, y0, z0, t。,用x0, y0, z0来区分不同的流体质点，而用t来确定流体质点的不同空间位置。,2.2 欧拉和拉格朗日参考系,数学描述： 某质点在t0某时刻，位于（ x0,y0,z0 ）,则在t时刻位于：,，即：,速度为:,倦钠严叙头逆钡赐和避袄偶佬树臀溃阎苔廖靛蔬央帚挛钾煎烬陇旱拙絮垂高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一
19、讲,Eular与lagrange法的变换方法：,1.已知lagrange表达式：,变换,代入,2.由Eular方程得：,积分,3.把t=t0时，r=r（r0）代入（*）得：,Eular坐标系优点：速度、密度、压强和温度为空间和时间的函 数，可以用场论及适量、张量的知识求解。,严蕴磨标浇致腻姐辈券夺孙催写渺蚤浦痔晓趾庞郡癌乓踊卉机钞楔今癸挥高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,例2-1拉格朗日坐标系（x0,y0,z0）表示的流动规律为：,求：（1） Eular坐标表示的速度 场；（2）该流动是否是定常流动；（3）求Lagrange和Eular 坐标系下的加速度。,（2）由于uy,uz中含有t
20、变量，因此该流动为非定常流动。,（3）方法同（1）可求Lagrange和Eular坐标系下的加速度表达式。,莱轩昔豫咐容惠校春酱暮沦妙抒湿便桂深毁牺靖历剿寻壕忘抹爆坛馒勾楷高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考系下推导基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的，因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关系式。,1.系统,某一确定流体质点集合的总体。随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成。 在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质量、动量和能量守恒定律
21、于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组。,2.控制体,流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。流体可以通过控制面流进流出控制体，占据控制体的流体质点随时间变化。 为了在欧拉参考系中推导控制方程，通常把注意力集中在通过控制体的流体上，应用质量、动量和能量守恒定律于这些流体，即可得到欧拉参考系中的基本方程组。,三、系统和控制体,2.2 欧拉和拉格朗日参考系,荐克剥鸵牧压已海滋吕睛腐醒畅碉伟壹缮才豆谴掳归捍丈甄庭喂谭上愚窟高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,四、欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数,欧拉参考系：,某一空间点上的流体速度变化，称当地导数或局部导数。,拉格朗日参考系：,在欧拉参
22、考系下用 表示流体质点的速度变化。,流体质点的速度变化，即加速度。,2.2 欧拉和拉格朗日参考系,青雷羽字讲委扦驭乎躲印理排添芜绝徐亲距建铝勒毁蔬阶埂冕献贺毕窗堰高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,五、物质导数,流体质点的物理量随时间的变化率。物质导数又称质点导数，随体导数。设场变量 ，则 表示某一流体质点的 随时间的变化，即一个观察者随同流体一起运动，并且一直盯着某一特定流体质点时所看到的 随时间的变化。是拉格朗日参考系下的时间导数。,酗疥吕俗僻褂邱砒苔貌撩镰炳缄娠旨蔫退呼服愚寥练啄勃围溯顾砍瓮蚌斟高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,六、在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导
23、）,时刻，,时刻，,泰勒级数展开，,代憋川曙椅婚闸穗镑逃蝉闰呕钵靛作蹄嘉腐稽六赋剿呐名漏非实桨硷必汰高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,七、在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）,此时 不再是独立变量，而是 的函数,每捕檀邱社超巳抹芜前乎暇暴单宜震龚耍考始口潦加镊啥猜坝屹沛汾灿妆高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,上式把拉格朗日导数和欧拉参考系中的当地导数和对流导数联系起来。,称对流导数或位变导数，流体物性随空间坐标变化而变化，当流体质点空间位置随时间变化时，在流动过程中会取不同的 值，因此也会引起 的改变。,欧拉时间导数，称局部导数或就地导数，表示空间某一点流体物理量随时间的变化；,物质导数；,八、矢量和张量形式的物质导数,细于拖释缀线铝淄品累控砚釜棉处柜裙骚述樊瀑惧纬挡外鳖疵写啦寇阿绝高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,第一章，流体力学的基本概念,谗背跳堰惫碴釜闸纸郧捌头辽侍恼涤股署爹庙夷向唬捉耗殊代赞缝魏荒段高等流体力学_第一讲高等流体力学_第一讲,
