1、1第十三章 轴对称【轴对称知识要点】1轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线是它的对称轴轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴2轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线3线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上4关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标的特点点(x，y) 关于
2、 x 轴对称的点的坐标为(x，y) ；点(x，y) 关于 y 轴对称的点的坐标为(x，y) ；【温馨提示】1轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系22在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同【等腰三角形知识要点】1等腰三角形的性质性质 1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一 ”)2等腰三角形的判定方法如果一个
3、三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)3等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60判定方法 1：三个角都相等的三角形是等边三角形判定方法 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形4直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半【温馨提示】1 “等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立2在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于 30【方法技巧】31等腰三角形的性质是证明两个角相等的
4、重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角” 2等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边” 3利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边13.1 轴对称13.2 画轴对称图形专题一 轴对称图形1 【2012连云港】下列图案是轴对称图形的是（ ）2众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：_ （答案不唯一）3如图，阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，
5、使它们成为轴对称图形4专题二 轴对称的性质4如图，ABC 和ADE 关于直线 l 对称，下列结论：ABCADE；l 垂直平分 DB；C=E；BC 与 DE 的延长线的交点一定落在直线 l 上其中错误的有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个5如图，A=90，E 为 BC 上一点，A 点和 E 点关于 BD 对称，B 点、C 点关于 DE 对称，求 ABC 和C 的度数56如图，ABC 和A BC关于直线 m 对称（1）结合图形指出对称点（2）连接 A、A，直线 m 与线段 AA有什么关系？（3）延长线段 AC 与 AC，它们的交点与直线 m 有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点
6、呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流6专题三 灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AB 的垂直平分线 DE交于 BC 的延长线于 F，若F=30 ，DE=1，则 EF 的长是（ ）A3 B2 C D138如图，在ABC 中，BC=8，AB 的垂直平分线交 BC 于D，AC 的垂直平分线交 BC 与 E，则ADE 的周长等于_79如图，ADBC ，BD=DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，那么线段 AB、BD、DE 之间有什么数量关系？并加以证明专题四 利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10已知点 P（2，3）关于 y 轴
7、的对称点为 Q（a ，b） ，则a+b 的值是（ ）A1 B1 C5 D511已知 P1点关于 x 轴的对称点 P2（32a，2a 5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点） ，则 P1点的坐标是_参考答案:1D 解析： 将 D 图形上下或左右折叠，图形都能重合，D 图形是轴对称图形，8故选 D2圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3如图所示：4A 解析：根据轴对称的定义可得，如果 ABC 和ADE 关于直线 l 对称，则ABC ADE，即正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故 l 垂直
8、平分 DB，C= E，即 ，正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故 BC 与 DE 的延长线的交点一定落在直线 l 上，即正确综上所述，都是正确的，故选 A5解：根据题意 A 点和 E 点关于 BD 对称，有ABD=EBD ，即 ABC=2ABD=2EBDB 点、C 点关于 DE 对称，有DBE=BCD，ABC=2 BCD且已知A=90，故ABC+ BCD=90故ABC=60， C=306解：（1）对称点有 A 和 A，B 和 B，C 和 C9（2）连接 A、A，直线 m 是线段 AA的垂直平分线（3）延长线段 AC 与 AC，它们的交点在直线 m
9、上，其 他对应线段（或其延长线）的交点也在直线 m 上，即若两线段关于直线 m 对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上7B 解析：在 RtFDB 中， F30，B 60 在RtABC 中，ACB 90，ABC60， A30在 RtAED 中，A 30， DE1，AE2连接 EB. DE 是 AB 的垂直平分线，EBAE2. EBD A30ABC60，EBC 30F 30，EFEB 2故选 B ABF CE D88 解析：DF 是 AB 的垂直平分线，DB=DAEG是 AC 的垂直平分线，EC=EA BC=8，ADE 的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8 9解
10、：AB+BD=DE10证明：ADBC ，BD=DC，AB=AC点 C 在 AE 的垂直平分线上，AC=CEAB=CEAB+BD=CE+DC=DE10C 解析：关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，a=2，b=3a+b=5解得 1.5a2.5，又因为 a 必须为整数，a=2 点P2（1，1） P 1点的坐标是（1，1） 13.3 等腰三角形13.4 课题学习 最短路径问题专题一 等腰三角形的性质和判定的综合应用1如图在ABC 中，BF 、CF 是角平分线，DE BC，分别交AB、AC 于点 D、E，DE 经过点 F结论：BDF 和CEF都是等腰三角形；DE=BD+CE； ADE 的周
11、长=AB+AC；BF=CF其中正确的是_(填序号)112如图，在ABC 中，AB=AC ，点 D、E、F 分别在边AB、BC 、AC 上，且 BE=CF，AD+EC=AB （1）求证：DEF 是等腰三角形；（2）当A=40时，求DEF 的度数；（3）DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当A 为多少度时，EDF+ EFD=120，并请说明理由3如图，已知ABC 是等腰直角三角形，BAC=90 ，BE 是ABC 的平分线，DEBC ，垂足为 D（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断 AD 与 BE 垂直吗？并说明理由（3）如果 BC=10，求 AB+AE 的长12专
12、题二 等边三角形的性质和判定4如图，在等边ABC 中，AC=9，点 O 在 AC 上，且AO=3，点 P 是 AB 上一动点，连接 OP，以 O 为圆心，OP 长为半径画弧交 BC 于点 D，连接 PD，如果 PO=PD，那么 AP 的长是_5如图在等边ABC 中，ABC 与 ACB 的平分线相交于点O，且 ODAB，OE AC（1）试判定ODE 的形状，并说明你的理由；（2）线段 BD、DE、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程136如图，ABC 中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点 M 的速度为 1 cm/s，点 N
13、 的速度为 2 cm/s当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动（1）点 M、N 运动几秒后，M、N 两点重合？（2）点 M、N 运动几秒后，可得到等边三角形 AMN？（3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，能否得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间14专题三 最短路径问题7如图，A、B 两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线 a 表示输水总管道，直线 b 表示输煤气总管道现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到 A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短图中，点 A是点 A 关于直线
14、b 的对称点，AB分别交 b、a 于点 C、D；点 B是点 B 关于直线 a 的对称点，BA 分别交 b、 a 于点 E、F则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（ ）15AF 和 C BF 和 E CD 和 C DD 和 E8如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给 、A两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到B两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)16参考答案:1 解析：DEBC，DFB= FBC，EFC=FCB BF 是ABC 的平分线，CF 是ACB 的平分线，FBC=DBF， FCE=FCBDBF=DFB， EFC=ECF，DFB，FEC 都是等腰
15、三角形 DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+ECADE 的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC综上所述，命题正确2解：(1)证明：AD+EC=AB，BD=CE AB=AC，B= C BE=CF，BDECEFDE=EF，即DEF 是等腰三角形(2)A=40，B= C= (180A)= (180121240)=70BDECEF，BDE=CEFDEF=180 BEDCEF=18017BEDBDE=B=70(3)不能DEF= B90，DEF 不可能是等腰直角三角形(4)60理由：当A=60时，B=C=60，由（2）可得DEF=60 EDF+EFD=1203解：（1
16、）ABC，ABD， ADE， EDC（2）AD 与 BE 垂直证明：BE 为ABC 的平分线，ABE=DBE. 又 BAE=BDE=90，BE=BE ，ABE 沿 BE 折叠，一定与DBE 重合A、 D 是对称点ADBE（3）BE 是ABC 的平分线，DE BC，EAAB，AE=DE在 RtABE 和 RtDBE 中，AE=B，RtABERtDBE（HL） AB=BD又ABC 是等腰直角三角形，BAC=90 ，C=45又EDBC，DCE 为等腰直角三角形18DE=DC即 AB+AE=BD+DC=BC=1046 解析：连接OD， PO=PD， OP=DP=ODDPO=60 ABC 是等边三角形
17、， A=B=60，AC=AB=9 OPA=PDB=DPA 60 OPAPDB AO=3，AO=PB=3，AP=65解：（1）ODE 是等边三角形，其理由是：ABC 是等边三角形，ABC=ACB=60ODAB，OEAC，ODE=ABC=60， OED=ACB=60ODE 是等边三角形（2）BD=DE=EC其理由是：OB 平分 ABC，且ABC=60 ，ABO=OBD=30ODAB，BOD=ABO=30DBO=DOBDB=DO同理，EC=EODE=OD=OE，BD=DE=EC6解：（1）设点 M、N 运动 x 秒后，M、N 两点重合，19x1+12=2x，解得：x=12（2）设点 M、N 运动 t
18、 秒后，可得到等边三角形AMN，如图，AM=t1=t，AN=ABBN=122t，三角形AMN 是等边三角形，t=122t解得 t=4点 M、N 运动 4 秒后，可得到等边三角形 AMN（3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，可以得到以 MN 为底边的等腰三角形，由（1）知 12 秒时 M、N 两点重合，恰好在 C 处，如图 ，假设 AMN 是等腰三角形，AN=AMAMN=ANMAMC=ANB20AB=BC=AC，ACB 是等边三角形C=B在ACM 和ABN 中，ACMN， ， ，ACMABNCM=BN设当点 M、N 在 BC 边上运动时，M、N 运动的时间 y 秒时，AMN 是等腰三角形，CM=y12，NB=36 2y，CM=NB y12=362y，解得：y=16故假设成立当点 M、N 在 BC 边上运动时，能得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN，此时 M、N 运动的时间为 16 秒217A 解析：由轴对称最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点 B 关于 a 的对称点 B与 A 的连线的交点 F，煤气分管道的连接点是点 A 关于 b 的对称点 A与 B 的连线的交点C故选 A8解：如图，作点 B 关于公路的对称点 B，连接 AB，交公路于点 C，则这个基地建在 C 处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.
