1、第一章 复变函数论,1、复变函数的微分2、Cauchy-Riemann方程3、Laplace方程,第一章 复变函数论,1、所有的初等函数都是解析函数2、解析函数的复合函数仍然是解析函数,第一章 复变函数论,$5. 多值函数多值的实变函数可以当作两个独立的单值函数：,第一章 复变函数论,复多值函数如果视为两独立的单值函数：,第一章 复变函数论,当z绕原点运动时z运动一周，w1和w2都没有回到原来位置！ 而是都到达了对方的位置！必须z绕原点运动两圈， w1和w2才会回到 初始位置。复多值函数不能分解成多个单值函数。,第一章 复变函数论,对于多值函数，如果z绕某点运动一周，函数值不能回到原值，则该点
2、称之为支点。如果z绕行n周函数值才回到原点，则该支点为n-1阶。对于 ,当z点绕无穷远点运动一周时，w也不能回到原点，因此无穷远点也是该多值函数的一个支点。,第一章 复变函数论,处理办法：1、在支点附近，做变量代换。2、把函数定义在不含支点的单连通区域上。3、Riemann面。裂纹平面,第一章 复变函数论,假定z需要绕两周才会回到原处。w与复平面上的z不能一一 对应，但是可以与Riemann面 上的z一一对应。,第一章 复变函数论,对数函数一个z对应于无数w 无穷多叶的Riemann面,第二章 复变积分,$6. 复变积分实函数的积分：复变函数的积分：,有向线段,第二章 复变积分,复变积分需要指
3、定积分路径,第二章 复变积分,例：求解解：,第二章 复变积分,例：求解解：,第二章 复变积分,例：求解解：,第二章 复变积分,如果复平面上的分段光滑曲线c上定义了连续函数f(z)，在c上依次取一系列分点z0、z1、zn，当n趋向于无穷，且每一段长度趋向于0时，定义,第二章 复变积分,复变积分可以表达为两个实变函数的曲线积分,第二章 复变积分,实变函数积分的很多性质仍然存在：1、常数因子可以提出 2、函数和的积分等于函数积分的和 3、全路径积分等于各段积分的和,第二章 复变积分,4、反转积分路径，积分变号类似于第二类曲线积分,计算小回路的积分：,第二章 复变积分,第二章 复变积分,$7. Cau
4、chy定理单连通区域G上的解析函数f(z)沿闭合回路c的积分为0。,第二章 复变积分,使用Green公式证明：恰好有：,第二章 复变积分,单连通区域：仅指有界区域。包含无穷远点的区域不能视为单连通区域。即使f(z)在无穷远点解析，绕无穷远点的积分也可以不为0。,第二章 复变积分,解析函数各点的函数值是相关的。其微分形式遵循Cauchy-Riemann方程和Laplace方程，其积分形式遵循Cauchy定理。Cauchy定理的另一种表达形式：f(z)在单连通区域G中解析，则复变积分 与路径无关。,第二章 复变积分,解析函数的不定积分：由于单连通区域中解析函数的积分与路径无关，所以对于任一z0点，有是G内的单值函数，被称为f(z)的不定积分。F(z)+C是f(z)的原函数，f(z)是F(z)的导数。,第二章 复变积分,例：计算解：因为 是 的一个原函数，所以,第二章 复变积分,例：计算解：当回路不包含a点时，根据Cauchy定理，回路积分为0。否则，以a为圆心取半径为A的圆作为积分路径：,第二章 复变积分,习题： 1、计算 ，路径如图。2、计算 ，路径如图。3、 的支点在哪里，阶数是多少？的支点在哪里，阶数是多少？,第二章 复变积分,习题： 1、计算 2、推导极坐标下的Cauchy-Riemann方程。 3、计算该曲线族的复势。Cancel,
