1、用二分法求方程的近似解教学设计一、教学内容分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学 1 必修本（A 版） 的第三章3.1.2 用二分法求方程的近似解本节课要求学生结合具体的函数图象能够借助计算机或计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，它既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，在教学过程要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步。二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超
2、越方程对应函数零点的寻求会有困难另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题三、设计思想倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合.四、教学目标知识与技能目标：（1）了解二分法是求方程近似解的一种方法。（2）体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题意识。（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。过程与方法目标：（1）通过经历“用二分法求方
3、程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等。（2）通过设置数学学习环境，让学生了解更多的获取知识的手段和途径。情感态度与价值观目标：(1)在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。(2)在探究解决问题的过程中，培养学生合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神。 五、教学重、难点：重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤。难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括。六、教学过程设计（一）设置情景，导入新课问题 1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条 10km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段
4、一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆子10km 长，大约有 200 多根电线杆子呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？学生独立思考，可能出现的以下解决方法：思路 1：直接一个个电线杆去寻找思路 2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点（二）引导探究，获得新知问题 2：假设电话线故障点大概在函数 的零点位置，请同学们先()ln26fx猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？我们已经知道，函数 在区间（2，3）内有零点，且()lfx0， 0.进一步的问题是，如何找出这个零点？()f(3)f合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥
5、学生学习的主动性）生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.师：如何有效缩小根所在的区间？生 1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围生 2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下， “取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在
6、的范围.引导学生分析理解求区间 的中点的方法 (,)ab2abx合作探究：（学生 2 人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果）步骤一：取区间(2，3)的中点 2.5，用计算器算得 .(.5)0.84f由 0，得知 ，所以零点在区间(2.5，3)内。(3)f(.5)30ff步骤二：取区间(2.5，3)的中点 2.75，用计算器算得 .因为2.7.1，所以零点在区间(2.5，2.75)内. 2.5.7结论: 由于 ，所以零点所在的范围确实越来越小了. 如(,)2,)(,27)果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所
7、在区间内的任一点作为函数零点的近似值特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值(见下表和图)问题 3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二分法求函数 的零点近似值的步骤)(xf对于在区间 ， 上连续不断且满足 的函数 ，通过aba)(bf0)(xfy不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步)(xf逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精确度 ，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下：)(xf1、确定区间 ， ，验证 ，给定精确度 ；ababf02、求区间
8、， 的中点 ；()c3、计算 ：fc（1）若 = ，则 就是函数的零点；)0（2）若 ，则令 = （此时零点 ） ；(ab0(,)xac（3）若 ，则令 = （此时零点 ） ；fbfacb4、判断是否达到精确度 ：即若 ，则得到零点零点值 （或 ） ；否则重复步骤 24|（三）例题剖析，巩固新知例：借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确度 0.1）. 732x两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评.本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐.此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法.思
9、考：问题（1）：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？问题（2）：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流. 反思二分法的特点，进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法.（四）尝试练习，检验成果1、下列函数中能用二分法求零点的是（ ）.2、用二分法求图象是连续不断的函数 在 (1,2)内零点近似值的过程中)(xfy得到 , , ,则函数的零点落在区间（ ）.0)1(f)5.(f0)25.1(f(A)（1,1.25） (B)（1.25,1.5） (C)（1.5,2） (D) 不能确定3、借助计算器或计算机
10、，用二分法求方程 在区间（2，3）内的近似解lg（精确度 0.1）.（五）课堂小结，回顾反思学生归纳，互相补充，老师总结：1、理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断；2、用二分法求方程的近似解的步骤.（六）课外作业1书面作业第 92 页习题 3.1A 组 3、4、5；2知识链接第 91 页阅读与思考“中外历史上的方程求解” 3课外思考:如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了,那么怎么找出这个破裂处,要不要把水泥板全部掀起?七、教学反思整个过程让学生通过自主探索、合作交流，亲身经历了“情境思考”“提出问题”“研究特例”“实验探究”“理论探究”“解决问题”“反思总结”的历程，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣.使学生成为利用二分法求方程近似解的“发现者”和“创造者” 。(A) (B) (C) (D)。 xyo
