1、 - 1 -教学内容【知识结构】1.倾斜角：设直线 与 x 轴相交于点 M，将 轴绕点 M 按逆时针方向旋转至与直线 重合时所称的最小正l x l角 叫做直线 的倾斜角（angle of inclination of the line ）l当直线 与 轴平行或重合时，规定其倾斜角为 .因此直线的倾斜角 的范围是l 002.斜率：当 时，把 的正切值 叫做直线 的斜率（slope）2tankl3,斜率 与倾斜角 之间的关系：k4.直线的斜率公式：经过两点 的直线的斜率公式：)(,),(2121xyPx)(2112xykxyk或一般式方程：关于 的二元一次方程 叫做直线的一般式方程y, ),(0不
2、 同 时 为 零bacyax（genenal form of equation）【例题精讲】例 1：（1）在同一坐标系中画出过原点，倾斜角分别是 , 的直线，并试着写出它们所对应的函643，0tan809(ttakak不 存 在不 存 在- 2 -数解析式，思考直线的倾斜角在直线的函数解析式中是如何体现的？（2）当倾斜角变化时，斜率的变化情况如何？策略点击：（1）通过观察直线的变化-角 的变化- 中系数 的变化，发现这个系数是倾斜角的kxy正切，角 是锐角时，它也可以来刻画斜坡的倾斜程度，即坡度（升高量比前进量）.当 时，把 的正切值 叫做直线 的斜率.2tankl（2）根据正切函数在区间0,
3、 )上的图像可知.这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量-倾斜角，又定义x了一个从“数”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量-斜率.x解：（1）xyl3:xyl3:xyl:（2） 时，0k时， ，且递增20时， 不存在时， ，且递增k例 2：(1)若 ，则 _3k若 ，则 _(2)若 ，则 _），（ 6k- 3 -若 ，则 _）（ 3,k(3)若 ，则 的取值范围_)1,(若 ，则 的取值范围_），（ 653k策略点击：倾斜角从 0 到 变化时，斜率是 0 到2倾斜角从 变化时，斜率是 到 0到 -倾斜角是 的直线斜率不存在.解：（1） ；32（2）
4、 ；），（ ,），（ 65（3） ；),43(),0),3(),(例 3： 判断正误：直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 （ ）tan直线的斜率为 ，则它的倾斜角为 （ ） tan因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。 （ ） 因为平行于 y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于 y 轴的直线的倾斜角不存在 （ ）直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 （ ）策略点击：倾斜角是 的直线斜率不存在 不一定是 中的角倾斜角是 的直线斜率不存在2),02倾斜角是 倾斜角在 时，斜率是负的.解：都是错的.例 4：已知点 ，直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的一半，)2,5(1,(BAlAB求直线 的斜率.l
5、解：设直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为 ，依题意有 ，A24315)(2tan ， ， 或 .43tan120tan8t21ta- 4 -由 ，得 ， ， ，直线 的斜率为 .00182090tan31tanl31拓展：1） 、已知两点 A（-3，4） ，B（3，2 ） ，过点 P（2 ，-1 ）的直线 与线段 AB 有公共点，求直线 的斜率的取l l值范围.解：如图，直线 与线段 AB 有公共点且过点 P（2，-1 ）l直线 的倾斜角介于直线 PB 与直线 PA 的倾斜角之间 当直线 的倾斜角小于90时，有 l Bk当直线 的倾斜角大于90时，有 PA而 32)1(,123)(4PBP
6、Akk直线 的斜率 的取值范围是 l ),2） 、若三点 共线，则 的值等于 )0(,)0,(,abCba解： 、 、 三点共线， ， ，ABACBk20， .)(ba213） 、过点 的直线的倾斜角的范围 值的范),0(,3mQP m么,3围是 （答： ）4么4） 、实数 满足 ( )，则 的最大值、最小值分别为 _,xy25y31xy（答： ） (函数思想、数形结合)13例 5：过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .,(P解：依题意，直线的斜率为 1 或直线经过原点，直线的方程为 或 ， 即 或 .23xyxy301y023yx拓展：1） 、 直线 经过点 ，且与两坐标轴围
7、成一个等腰直角三角形，求直线 的方程.l),(P l解：依题意，直线 的斜率为1，直线 的方程为 或 ，ll23xy)2(3xy2） 、过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 的直线方程是 .解：设所求直线方程为 ，依题意有 ，)5(4xky 5)4(1k （无解）或 ，解得 或 .016325k 062k28- 5 -直线的方程是 或 .0152yx0258yx3） 、已知直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点， 为坐标原点，l),(PABO则OAB 面积的最小值为 .解：设直线 的方程为 ，AB)0(21kxy则 ，4)1(241)(44)2(1 kkkSO当
8、且仅当 即 时取等号，当 时， 有最小值 4.412OABS4） 、已知射线 和点 ，在射线 上求一点 ，)0(:xyl )4,6(MlN使直线 与 及 轴正半轴围成的三角形面积 最小.Nl解：设 ，则直线 的方程为 .)1(,00xN0)4(6)(400 yxx令 得 ，y5021)(10)(14)1(2 002020 xxxS，)(0当且仅当 即 时取等号，10x20当 为（2， 8）时，三角形面积 最小. 或 .NS01yx05yx例 6：已知直线 l1：ax-y-b=0，l 2：bx-y+a=0，当 a、b 满足一定的条件时，它们的图形可以是（ ）B提示：依据 a，b 的正负取值情况分
9、类讨论例 7：已知直线方程为 axy2a1=0（1） 若 x（1，1）时， y0 恒成立，求 a 的取值范围；（2） 若 a（ ，1）时，y0 恒成立，求 x 的取值范围；16（1）【解法一】由题知 y=ax（2a1） ，当 a0 ,x（ 1，1）时，函数的值域为（a1,3a1）, 要 y0 恒成立，xyOAl1l2xyOBl1l2 xyOC l1l2xyODl1l2- 6 -只须 a10,即 a1，故 a0 满足题意。当 a=0 ,x（1，1）时，函数的值域为1, y0 恒成立。当 a0 ,x（ 1，1）时，函数的值域为（3a1，a1）, 要 y0 恒成立，只须 3a10, 即 a13【解法二】令 y=f（x）= ax（2a1）, x（1，1）时要 y0 恒成立，只须 f（ 1）0 且 f（1）0，即 a2a10，且 a2a10， a13【解法三】化方程为点斜式 y1=a（x2）,直线过定点（2，1） ，当 x（1，1）时，要 y0 恒成立，只须 f（1）0，由此解得 a13（2）令 y=g（a）=（x2）a1,将 y 看成是 a 的函数，当 a（ ，1）时，y0 恒成立，16只需 g（ ）0 且 g（1）0，即（x2） （ ）10 且 x30,3x416 16
