1、水平面内圆周运动的临界问题1如图所示，半径为 R 的圆筒绕竖直中心轴 OO 转动，小物块 A 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为 ，现要使 A 不下落，则圆筒转动的角速度 至少为 （ D ）A B C DggRgRg2如图所示，OO为竖直轴，MN 为固定在 OO上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B 套在水平杆上，AC 和 BC 为抗拉能力相同的两根细线，C 端固定在转轴 OO上当绳拉直时，A、B 两球转动半径之比恒为 21，当转轴的角速度逐渐增大时 （ ）AAC 先断 BBC 先断C两线同时断 D不能确定哪根线先断A；对 A 球进行受力分析，A 球受重力、支持力、拉力 FA 三个
2、力作用，拉力的分力提供 A球做圆周运动的向心力，得：水平方向 FAcosmr A2，同理，对 B 球：F Bcosmr B2，由几何关系，可知 cos ，cos . 所以： . 由于 ACBC，rAAC rBBC FAFB rAcosrBcosrArBBCrBrAAC ACBC所以 FAFB，即绳 AC 先断3 在一个水平转台上放有 A、B、C 三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同A 的质量为2m，B、 C 各为 mA 、B 离转轴均为 r，C 为 2r则 A若 A、B、C 三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C 的向心加速度比 B 大B若 A、B 、C 三物体随转台一起转动未发生滑动，B 所
3、受的静摩擦力最小C当转台转速增加时，C 最先发生滑动D当转台转速继续增加时，A 比 B 先滑动【分析】A、 B、 C 三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为根据向心加速度的公式 an=2r，已知 rA=rBrC，所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aBaCA 错三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即 f =Fn=m2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为fA=mA2rA=2m2r，fB=mB2rB=m2r，fC=mc2rc =m22r=2m2r即物体 B 所受静摩擦力最小B 正确由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为 ，静摩擦力的最大
4、值可认为是 fm=mg由 fm=Fn，即得不发生滑动的最大角速度为即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小由于 rCrA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体 C 最先发生滑动转速继续增加时，物体 A、B 将同时发生滑动C 正确，D 错【答】B、C 4 如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为 L 的细线悬挂一质量为 m 的小球，圆锥顶角为 2，当圆锥和球一起以角速度 匀速转动时，球压紧锥面此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第
5、二定律列方程，即可求得解答。 【解】对小球进行受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有Tsin-Ncos=m2r y 方向上应有Nsin+Tcos-G=0 r = Lsin 由、 式可得T = mgcos+m2Lsin当小球刚好离开锥面时 N=0（临界条件）则有 Tsin=m2r Tcos-G=0 【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立 xoy直角坐标，然后沿 x 轴和 y 轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程， 【例题】用长 L1=4m 和长为 L2=3m 的两根细线，拴一质量 m=2kg 的小球 A，L1 和 L2 的另两端点分别系在一竖
6、直杆的 O1，O2 处，已知 O1O2=5m 如下图（g10ms-2）（1）当竖直杆以的角速度 匀速转动时，O2A 线刚好伸直且不受拉力求此时角速度 1（2）当 O1A 线所受力为 100N 时，求此时的角速度 2【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉力就不同。【解】 （1）当 O2A 线刚伸直而不受力时，受力如图所示。则 F1cos=mg F1sin=mR12 由几何知识知R=2.4m =37代入式1=1.77 （rad/s ）（2）当 O1A 受力为 100N 时，由（ 1）式F1cos=1000.8=80（N）mg由此知 O2A 受拉力 F
7、2。则对 A 受力分析得F1cos-F2sin-mg=0 F1sin+F2cos= mR22 由式（4） （5）得【说明】向心力是一种效果力，在本题中 O2A 受力与否决定于物体 A 做圆周运动时角速度的临界值在这种题目中找好临界值是关键5如图所示，把一个质量 m = 1 kg 的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上 A、B 两个固定点相连接，绳 a、b 长都是 1 m，杆 AB 长度是 1.6 m，直杆和球旋转的角速度等于多少时，b 绳上才有张力？如图所示，a、b 两绳都伸直时，已知 a、b 绳长均为 1 m，即 1 AD BDm， 0.8 m；AOD 中，cos 0.8，sin 0.6， 37
8、，小球AO12AB AOAD 0.81做圆周运动的轨道半径 r sin10.6 m0.6 m. ，b 绳被拉直但无张力时，OD AD小球所受的重力 mg 与 a 绳拉力 FTa 的合力 F 为向心力，其受力分析如图所示，由图可知小球的向心力为 Fmgtan，根据牛顿第二定律得 Fmgtanmr 2解得直杆和球的角速度为 rad/s3.5 rad/s。当直杆和球的角速度gtanr 10tan370.63.5 rad/s 时， b 中才有张力题型：有关摩擦力的临界问题6 如图所示，用细绳一端系着的质量为 M=0.6kg 的物体 A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为
9、 m=0.3kg 的小球 B，A 的重心到 O 点的距离为 0.2m若 A 与转盘间的最大静摩擦力为 f=2N，为使小球 B保持静止，求转盘绕中心 O 旋转的角速度 的取值范围 （取 g=10m/s2）解析：要使 B 静止，A 必须相对于转盘静止具有与转盘相同的角速度A 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心 O；角速度取最小值时，A 有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心 O对于 B，T=mg对于 A，21MrfT2rad/s rad/s5.619.所以 2.9 rad/s rad/s5.67 . 一圆盘可以绕其竖直轴在图 2 所示水平面内转动，圆盘
10、半径为 R。甲、乙物体质量分别是M 和 m（ Mm） ，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的 倍，两物体用一根长为的轻绳连在一起。若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被)(RL拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点） （ ）A. B. mLg)(MLgm)(C. D. M)()(图 2解析 D 乙不仅是摩擦力充当向心力，而是甲对乙的拉力以及摩擦力的合力充当向心力8.如图所示，质量为 m=0.1kg 的小球和 A、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的 A、B 两点，其中 A 绳长 LA=2m，当两绳都拉直时，A、B 两绳和细
11、杆的夹角 1=30， 2=45，g=10m/s2求：（1）当细杆转动的角速度 在什么范围内，A、B 两绳始终张紧？（2）当 =3rad/s 时，A、B 两绳的拉力分别为多大？解析（1）当 B 绳恰好拉直，但 TB=0 时，细杆的转动角速度为 1，有： T Acos30=mg02103sin3sinALm解得： 1=24 rad/s当 A 绳恰好拉直，但 TA=0 时，细杆的转动角速度为 2，有： gTB05cos023sin4inALm解得： 2=3.15（rad/s）要使两绳都拉紧 2.4 rad/s3.15 rad/s（2）当 =3 rad/s 时，两绳都紧30sin45sin30si2A
12、BALTTA=0.27 N， T B=1.09 Nmgcoc点评分析两个极限（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围”题目的基本思路和方法9.如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉 A、B，相距 L0=0.1m长 L=1m 的柔软细线一端拴在A 上，另一端拴住一个质量为 500g 的小球小球的初始位置在 AB 连线上 A 的一侧把细线拉直，给小球以 2ms 的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动由于钉子 B 的存在，使细线逐步缠在 A、B 上若细线能承受的最大张力 Tm=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在 A、B 两钉上，小球的转动半径会逐渐变小，但小球转动的线速度大小保持不变【解】小球交替地绕 A、B 作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T 不断增大，每转半圈的时间 t 不断减小令 Tn=Tm=7N，得 n=8，所以经历的时间为【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义对本题，还应该熟练掌握数列求和方法如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到细线完全绕在A、B 两钉子上，共需多少时间？
