1、复旦大学硕士学位论文摘要债券是一个合约，在将来某一确定的时间支付确定的收益。有的债券还在确定的时间支付确定的利息。债券定价的核心问题，是确定对于将来在某一时间获取一定收益的某种债券，现在应付出多大成本。债券的时间一般较长，通常为几年甚至几十年。在这样长的时间内，利率是不会保持不变的。在分析债券的价值时，必须考虑利率的影响。假设利率变化的模型是由随机微分方程给出的，则可以用推倒方程的方法来推出债券价格满足的偏微分方程，得到一个抛物型的偏微分方程。但是在债券定价的方程中隐含有一个参数称为利率风险的市场价格。所谓债券定价的反问题就是由不同到期时间的债券的现在价格来得到利率风险的市场价格。本文对随机利
2、率模型下债券定价的正问题先给予详细介绍，并给出了在人工边界条件下的隐式差分求解方法，之后介绍了反问题，且对反问题给出一定的数值解法。特别还对付息债券的反问题用基本解的方法进行了理论上的讨论。关键词：随机利率模型，利率期限结构，积分方程，差分法，基本解。复旦人学硕士学位论文 ， 。 -20 ， ： 。 。， 复旦大学硕士学位论文引言债券定价问题的研究情况简介发行债券和股票是企业进行融资的两种重要的手段。债券是债务人为了筹集资金，按法定手续发行，并承担在指定时间支付利息和偿还本金义务的有价证券。当债券发行的时候，需要对其发行价格进行确定，以满足筹资人和投资人不同的需要。债券价格确定的方法有很多种，
3、而且和利率的变化也有很大的联系。、纯贴现债券的定价。纯贴现债券也许是债券中最简单的一种，该债券承诺在未来某一确定的日期作某一单笔支付。如果在从现在开始的一年后支付，则该债券被称为一年期贴现债券，依此类推。债券发行者支付最后一笔款项的日期称为债券的到期日，或者简称为到期日。债券在它最后支付日到期或失效。到期支付的金额则为面值。纯贴现债券一般被称为零息债券，以突出该债券持有人到期前不能得到任何现金支付的特点。一般现在确定零息债券现值的方法是对未来现金流进行贴现，为简化，用债券的价格来代替债券的现值。纯贴现债券即零息债券在未来的年后支付金额的面值，而设年中每年的利率为，因为面值是债券支付的唯一现金流
4、，则该债券的发行值为： 卉此债券在到期日之前的可以在市场上进行交易，则由上面的公式知，在时刻的价格为： 寿、付息债券的定价许多债券并不像零息债券纯贴现这么简单，而是与贴现债券不同。大多由政府或企业发行的债券不仅要在到期日支付现金，在发行日和到期日之间也迸行有复旦大学硕：学位论文规律的现金支付。在发行目和到期日之间支付的现金称为债券的票面利息。例如一个四年期的平息债券：利息为，每六个月支付一次，并在债券的生命周期中一直保持一致。由零息债券的定价方法知道债券的价格是债券现金流的现值。因此，平息债券的价格是其利息支付的现值和其本金支付的现值之和。因为平息债券每期能得到价值为的年金，连同到期得到的，则
5、该平息债券的价格为：一南卉南南因此现金流估价是金融领域的重要方法，但是由于利率并不总是一成不变的，当利率是时间的简单函数或者利率的变化是用随机微分方程的形式给出的时候。现金流贴现的方法就变得比较复杂了。当每年利率的值不同时，有采用引入贴现函数的方法。所谓贴现函数（，），就是将来时的一元在初始时刻的值为多少。现在如果知道了贴现函数（。，）就可以方便求出将来的钱的现在值为多少？知道了（，）后，就可以用： 也 ）来对未来现金流估价，这里 “）表示将来 时的现金流。关键问题就是如果确定贴现因子（。，）。关于贴现因子的求法，最先是在整个区间用一个多项式来逼近，为提高精度要增加次数，但有时会出现现象 “。
6、后来用多项式样条逼近它，和对其改进提出指数样条，并针对特殊情况在 【 ， 】 区间对函数形式进行了化简，其最优化解法形式简单，但求解却很繁琐 ”。后来算法得到改进，提供了计算具体时点贴现因子方法，得到一种先求出一些具体时点贴现因子，再用分段指数样条函数逼近它们的方法。并得到显式表达式。当利率是由随机微分方程的形式给出时，引入一般金融衍生产品的定价理论，利用无套利原理得到债券定价的方程。此处得到的二阶齐次抛物型偏微分方程。复旦人学硕士学位论文在研究者建立的许多模型中都假设有一个随机变量（或要素），这里利率是随机变量。但此单因素模型中会出现相当多的利率期限结构形式。单因素模型的基本含义是所有利率在
7、任意短时间间隔内按相同的方向变动，它并不意味着所有利率以相同幅度变动。对于这个偏微分方程由于随机微分方程的形式不同，可以得到显示解或者数值解。历史上提出的许多收益率曲线模型都有与模型建立时刻的利率期限结构不符合的缺点。于是和；，和；和以及其他人提出构造收益率曲线模型的方法，这些方法自动符合初始收益率曲线。，和模型的优点是能在所有时候符合所有远期利率标准差，但是这个优点的取得付出了很高的成本。模型计算速度很慢。为了解决这个问题曾提出了许多非套利的马尔科夫模型。其中和模型；和模型，和模型；以及和模型等。通常选取这些复杂的模型是为了得到方程的显示表达式，通常假设利率是满足对数正态分布的。本文在正问题
8、方面用人工定义的边界条件，选取适当的符合真实市场情况的利率随机微分方程的表示形式，用数值方法求得债券的价格。在反问题方面，用债券定价方程的共轭方程方法得到了关于利率风险的市场价格的积分方程表示，并用数值的方法模拟利率风险的市场价格。最后进一步优化了模型，提出了利用付息债券定价方程来求解利率风险的市场价格的理论方法。复旦大学硕士学位论文第一章 随机利率模型下债券定价方程及正问题求解用代表债券的价值，如果利率，（）和债息）是时间的已知函数，债券的价格就只是时间的函数，（）。如果在到期日，债券给持有者带来的收益为，即），现在的问题就是在的时间内给债券定价。假定持有一个单位的债券，在的时间内，其价值变
9、化为：坐如果在此时间内有债息支付，则其价值变化为：陋删卜考虑套利原理，并加入终值条件得到一个常微分方程：默 （ ）：咿上式的右边是将少债券转为现金应取得的收入。常微分方程（）的解为：）蛋卜 ”（，。， “。出 ），如果债息）为，即所谓零息债券，假定利率仍然是时间的已知函数，（）得：（，丁）： 由（）得到一，椰州。（掣）对（）关于求微分得到：口）晶券（）复旦大学硕学位论文由于利率，口）总是大于。的，所以有券。，即表明债券的时期越长，价值越低。如果债息是离散支付的，在债息支付期，债券的价格必然有一个跳跃。假定。时刻支付债息，则有：）；）在上式跳跃条件下，可以用函数重写以上常微分方程，如下 桫利率的
10、期限结构求解债券定价方程，首先要确定未来的利率的变动。利率变动同股票价格的变动有所不同，利率水平和债息存续期长短二者之间主要呈三种形态：第一，上升型：长期利率高于短期利率，这是最常见的形态第二，下降型：短期利率高于长期利率第三，驼峰型：利率先升后降图形如右图，图中所显示的利率水平称为收益曲线，定义如下： ；趔雩誓剑收益率曲线与时间长短之间的关系称为利率的期限结构（ ）随机利率模型定义：满足如下性质的随机过程彤（）成为运动或者过程复且人学硕士学位论文）轨道连续 （）， （）是的连续函数）增量正态分布对固定的， ）（，），以及对有，矽）一彤）（， ）（ ）一彬（ 一。），（ 一。）一（ 一：），
11、，（：）一 （ ）与彬（）都是相互独立的。 （ ）将时刻可能获得的最短期存款利率定义为即期利率，假设即期利率满足随机微分方程（协（协这里出是一个满足期望为，方差为的正态分布的随机变量。服从上面定义的过程，在实际的金融市场中，即期利率有上界，设为，显然利率一定大于等于因此可以假设 ，日（）是一个边界光滑的函数，且满足口（）芑 疗） 一般来说，利率都具有均值回复（ ）的性质，即当利率较高时，利率会向均值下降；当利率较低时，利率会向均值上升，（）是一个非负的且边界光滑的函数，满足（）（） 债券定价方程假设债券的价值，；）是利率，时间和债券到期时间的函数，我们将利用一般衍生产品定价的方法来推导零息债券
12、的价值。棚当虮监舢 堕虮咝 出 ： 棚降盟 筹降 要炉复旦大学硕士学位论文在推导随机利翠的债券定价方程前，先介绍随机过程里著名的定理定理：（定理）假设随机变量（， ）的值遵循过程：；（。，协包伍，嘭）其中彬（）是一个过程，且互相独立，称为漂移项，称为扩散项。则关于伍 ，盖。）和的函数（，）遵循如下过程：批 薹 降三持咿艄轰卜其中妒；，出期权定价中，因为有基础资产可以用以套期保值，比较容易达到无风险的组合，但是债券定价中因为缺少基础资产，所以技术上比期权定价更复杂。要达到构造无风险组合的目的，只有用两个不同到期日的债券来做投资组合。假定投资组合中包括两种到期日分别是五和疋的两种债券，债券的价值分
13、别是和，此组合中持有一个单位的第一种债券，一 单位的第二种债券，则组合价值为：一 屹应用定理，该投资组合在时间内的价值变化为：为了达到风险中性，消除随机项咖，选择 ：监咝由套利原理有，带入上式得到 毋 出，叱 。复旦人学硕士学位论文将上式中的项集中在左边，屹的项集中在右边，有下式成立：警主軎一堕坐旷扩一，屹）警上式左边是关于瓦的，与疋无关，右边则相反，等式成立的唯一可能就是两边都与到期日无关，因此可以将上式写成：降；罟州）层嘶，（，）是只和，相关的函数，为了方便讨论，可以写成：（，） 如，协（，）一日（，）对于给定的（，），（，），上式总是存在的，（，）是未知函数因此对于零息债券，可以得到了定
14、价的抛物型偏微分方程：去旷甜：（嘶）（， ）警州。终值条件为：（，）边界条件取决于，在连续支付债息的情况下，定价方程可以写为：詈丢罟 ）咻 警川。其中是债息支付率。在离散支付债息的情况下，假定在。时支付。（， ）；矿（，：）。（）：坐 里三婴日坐 复旦大学硕士学位论文 利率风险的市场价格分析一下（，）的金融方面的意义。假定持有的不是债券组合，而只是种债券，则在时间内，债券价值的变化为：根据（）式带入上式，有 卜骂 ）出或者写成： ：娑（一埘出）其中存在随机项，说明这并不是一个无风险组合，右边表示因承受了风险而获得的高于无风险水平的报酬。正是这个原因，旯被称为利率风险的市场价格。 求解债券定价方
15、程的正问题随机利率模型的参数要比一般资产价格变化的随机过程的参数复杂很多，为了能够较为直观的分析，需要找到较为简洁的公式，将利率和债券价格联系在一起。考虑一下特殊的函数形式，使得讨论既具有一定的普遍意义，又保证方程能得到求解。假定（，（厂，）具有以下形式：（，）扛万碉（，）一叩）一（，圻羽硐（）（）式中的，卢，都是时间的函数，通过调整这些变量，可以拟合利率的运动过程，使得利率的期限结构复旦人学硕上学位论文；）：逊掣具有符合实际经济要求的以下性质：第一：令口（）和卢）芑，就可以保证利率具有一个正的下限卢屈；第二：假定利率具有均值回复（ ）性质，当利率较高的时候，会向均值下降，当利率较低的时候会向
16、均值上升，为了保证利率下降到下限时上升，需要满足以下条件：荆掣掣目前有很多的模型都是随机利率模型 （枷（协的一些特例，经常用到的有以下几种：第一：模型，其特点是，参数与时间变量无关第二：，模型，其特点是卢一，参数与时间变量无关第三：模型，其特点是叩，所有参数都是时间的函数有了（）（）两式，（）的边界条件可以表述如下：当，一时，（，）一；当；曼时，是有限的。于是我们得到了零息债券定价方程的初边值问题：三害撕，）地 ）警卅。（，）一。，（，）一。旦矿 十。之所以采用（）（）的形式，是因为在的随机微分方程中，当 】【 和的系数采用以上特殊形式的时候，方程（）的解可写成以下的简单形式：复旦大学硕士学位
17、论文（，）：（啊 “）将上式带入方程（）式，得到：丝一，丝三：一伯加访一，： 其中，是，的函数，其他的项是，的函数。上式对求微分有一堕蚓一！鱼 坐！一： 对再求一次微分有：三口业尘：型坚型 由于是的函数，如果左右相等的话，一定要左右均为，得到：型；氇掣。这就是为什么采用（）（）两个表示形式的原因，将下面两式带入上式（，）；（，）；一（叩）一（，） 石百下硐得到和的表达式：警；叩（扣） （）堕（归一）十扣为了满足终值条件（，），必须有：爿（，）（，）；对（）的两个式子求积分，可以得到参数，卢，的解。一般情况下，显示解并不存在，但是当，卢，均为常数时，得到（）下面的解：南 。： 、匝 复旦大学硕士
18、学位论文。加（口咖卜计崦（学）扣吨崦 十鼯 “同一 】 ）磁（）其中 死 当四个参数都是常数时，和只是（）的函数，这一个模型同样能够模拟上升、下降、驼峰等的不同利率的变化形式。当（）趋于无穷大的时候，有：一利率的期限结构曲线的长期表现为：卜南训训将（）式，的表达式带入矿（，）：。 “，卜。， 就得到了零息债券定价方程正问题的解。如果，卢，四个参数不是常数，情况更为复杂，可以考虑固定三个参数，让一个参数是时间的函数，就能较好的拟合利率的实际变化情况了。 债券定价方程的数值解法对于上面得到的零息债券定价方程的解法是一个比较理想化的情况。实际上，很多时候随机利率的假设并不是按照上面的形式给出的。即，
19、得不到方程的显示解，这里我们可以运用数值的方法来求解。由于债券定价方程：垦呈奎兰堡主兰垡鲨兰 一；崃，一卅二型 ，彳舰，一巧一，）一一三器 ）玑）詈州。（，），一十。，（，）一；鱼 是一个一维两阶抛物型方程，因此我们可以用微分方程的数值方法一一差分法来求解。差分方法：是通过用差商代替微商对方程以及定解问题离散化。建立与偏微分方程相应的差分方程有多种方式，从求解的方式来划分，它司以分为两大类：一类是显示差分格式，求解过程是显示的，通过直接运算求出它的值，另一类是隐式差分格式，求解过程必须通过求锵一个代数方程组才能得到它的值一在区域：佟，）墨。 墨上建立网格：弘），舭鲁肛封定义函数：矿；，）：孵，
20、（，；，口）；口，伉）； 则零息债券的离散形式为型；由上式，当。十时，昨：， “，叫已知，上式可以化为：，。： “ 其中。，；（告一警卜小种复旦大学硕上学位论文（告訾卜终值条件为：因此上面的差分格式其实是一个反向的隐式差分格式。即知道债券的终值可以反向求出前面时刻的债券价格，为了用隐式差分法求解这个偏微分方程，我们需要知道具体的边界条件。但是方程之中的边界条件为：一十。，（，）一；旦；。并没有给出具体的函数。因此这里我们根据市场的实际情况定出一个边界条件。由前面的假设知道：当的时候，由固定利率下的债券定价的贴现公式有：（，）（，）当，的时候，同样由于是复利，则有同样贴现的方法得到：（，）（，丁
21、） 一（。）一（。）因此离散的边界条件可以写成：（，。）（，）昧仃）结合上面的终值条件和隐式差分方程。可以用得到方程的数值解。下面分别给出不同利率下，得到的关于时间变化的价格：并画出债券价格关于和变化的图：复旦大学硕士学位论文 复旦大学硕士学位论文第二章求解随机利率模型下债券定价方程的反问题参数一利率风险的市场价格的重构 债券定价方程反问题的提出由上面讨论的随机利率模型下债券定价方程的正问题知道，利率变化是用一个随机微分方程 日（协（皿来给出的。正问题中得到的抛物型偏微分方程中，有一个隐含的参数利率风险的市场价格五存在。债券定价的反问题其实就是根据不同到期时间的债券的现在价格来求出利率风险的市
22、场价格，即参数。为了方便讨论和根据市场上的实际情况，我们可以假设口（），（）是的函数，且由市场上每半年复利下的最长年的面值元的债券的实际情况得到： （）（，）而参数是的函数），由正问题得知：（协（，（），）（）零息债券的价格，丁）满足下面的方程：警丢（，）害（，） ”警州。当和时，方程退化为一个双曲型方程，分别有正的和负的特征值：警口（）警；。警口）警一 ，（）复巳大学硕士学位论文终值条件是（，；） 乙 （）定义微分算子，作用在微分方程上，有：一翔）罟撕）眦 ”警卅这样可以将方程（）写成微分算子的形式： ： （）甜反问题：金融衍生产品定价一一从不同到期时间的零息债券的现在市场价格（，；）矿汀）
23、中，求出满足（）一（）式的函数对，；）（）当利率只是的函数，），而并不是用随机微分方程形式给出的时候，问题比较简单。此时仃）满足第一章推导出来的常微分方程：严篙吵此时反问题为：当债券是零息债券时，即（）时，由不同到期时间的债券的现在的市场价格（，；）仃），求出）。上面的常微分方程的解为：川似（缈枷办 ）由第一章第一节的推导知道当为零息债券时：一，枇（掣）， 、 三丛吐趔复旦大学硕二学位论文上式对求微分得到口）；晶券一般的利率期限结构的定义为：；丁：！曼啦其实这里由于知道了不同到期时间的债券的现在的市场价格矿（，；）口）因此可以用差分的形式改写）；硼面得到利率期限结构的重构将 做等间距的划分，记
24、分点为 ，函数在分点的值为也）则利率期限结构的离散的形式为：，口）硐糌即得到了斥问顾的解。 利率风险的市场价格的积分方程表不考虑方程（）的共轭方程： 矿（妙）导（）（）妙），） （，。） ，给定边界条件为：，），）初值条件为：（，）（，一，）（）复旦大学硕士学位论文这里一，）是在利率等于的时候的函数。同样可以定义作用与的微分算子 （妙）一昙（，）（）妙）一；。这样可以将（）改写成为一： （）由定义的微分算子 和，（）（）以及边界条件，）（，），运用分鄙积分，口以得到：丢吨啊妙（，协 詈曩 ）州 （，；妙，协是一个常数，因此（） （，；妙（， 口妙仃，运用和的初值和终值条件得到：留，谚掣关于对上
25、式求微分，并运用方程（）面丢萋（，妙）一昙（）口） ，（）妙）一，口，） （， 眦；， 】分部积分得到：，谚一掣对上式重复对（）的处理过程，再对求微分，得到：培（，妙，扮十（，）一，矽（，谚一兰笋（）（）复旦大学硕二：学位论文引理：丁。时，（妙（，扮，积分方程（）为明确定义。：定义，） “，），带入方程（）得到：里甜十 蕊 墩 谥小埘垮 ，）（，）矽（；）（，一）由假设的随机利率模型知道，口（，（，）是光滑的函数，因此，一定存在一个口，使得：曰 （，）（ （）一幽口，。成立对方程（）运用极值定理得到，矽（，）所以 ，） “彬，）又因为（）是非负函数，可以得到（，妙仃，谚，即积分方程的定义是明确
26、定义的。由上面的分析得到了反问题的以下这个方程组来求解函数对仃，）和）万三告 （妙）一杀（）口（，）妙）一一。磁妙，扮十（，）矽，协一兰笋其中，日（）一，（）一，） 复旦大学硕士学位论文零息债券定价方程的反问题的数值解法对上面得到的反问题方程组，需要运用数值方法求解。在区域缸，）丁量一， 上建立网格： ）盼谶纠舭；等舻钟定义函数：伍，） 【 ，；，（，口）一，（，）名则离散形式为：坚坐；！也墨二孥 ！业鱼！ 。也型 ，。 ， ，由上式，当；时，； “已知，上式可以化为：骂 川 【 ，篙；其中：。一（軎一訾卜铲 卜种，一（暑警卜这是一个隐式向前的差分格式。而积分方程可以用积分定义离散为如下形式：
27、 荟州薹，一亏一掣线性方程组（）是一个三对角阵，数值计算从初始条件开始卟。川吉一吲（）（）复旦大学硕，学位论文接着向前迭代。每一个时刻，仃，）可以通过求解线性方程组（）得到，得到的，）的值带入积分方程的离散方程（）得到），为了改进反问题的精确性，可以将得到的仃）再带入（）重新计算仃，），再运用新得到的（，）得到进一步的），直到两次得到的）值力，矿的差矿一引足够小就停止。这样就得到了仃）在不同时刻的值。为了求解反问题我们需要通过零息债券的正问题得到（，；）的值，因为积分方程中需要用到其二阶倒数。由零息债券正问题得到时）关于不同到期时间的值，如下图：再有上面求解反问题的方法可以最终得到利率风险的市
28、场价格如下图：粤 粤一缸； ：复旦人学硕士学位论文付息债券定价方程的反问题上面推导的是通过不同到期时间的零息债券的现在价格来求解利率风险的市场价格。但是实际中，我们更多的是得到付息债券的现在价格，因此用付息债券的现在价格来求解利率风险的市场价格显得更为符合实际和有效。下面就用上面同样的方法推导付息债券的反问题。付息债券定价方程为： ，圹 盟扩 坐打 一 矿 十 堂叽 矿卜 因为方程中多了）项，按照第二节中定义的微分算子，当时，不满足（），则不能直接定义微分算予得到共轭方程，这里我们需要理论上找到方程（）的解，然后通过变换消除扛），从而得到共轭方程令；一耆，则原方程化为一个正向的问题。押、，。
29、（）仃一言川詈（ 一言）一警。（对一般的热传导方程：（）方程 咄噱小南料对于任何给定的（芋，百），满足热传导方程，称为方程的基本解。对于一维空间变量的热传导方程，上式可以写为： 慨如，。丽唧锚复且大学硕士学位论文肌圭（）罟（，）留一言川警卅一芸运用方法 ：令：妙（瞄）南一亭）扩 酯卅志唧击南 】令：（，考；宇，）。了翮 。（，；宇，）最后令：（，毒；亭，）（，；亭，）（，考；叩，。 ）中（，亭；善，叩（，通过确定中，；亭，）就可以得到：肌（）塑（日（）一考川警卅一尝的解。根据关于抛物型方程基本解的文章可以得到中，；宇，）是下面积分方程的解：中（，言；亭，）三（，耆；亭，百）上（，；，仃） 中（
30、，盯；亭，）由砬盯并且可以得到关于中，；亭，）大小的一个估计：海小嚣高最后对于非齐次的问题：，一薹 ）复旦大学硕士学位论文肌翔）罟嘶）口一言俐警州一誊一口一誊）（，）一有如下的解：（，；）上 （，；宇，妇宇（，；亭，汀 彰带入；得到付息债券方程的解：（，） （，丁一；亭，弦亭。厶（，；亭，匏最后引入变换消去非齐次项（）：）（一（，）从而得到新的齐次方程：等丢（，）等（）俐等州 一。这样对新的齐次方程可以按照中讨论过的共轭算子的方法，得到关于仃）的积分方程，从而由付息债券的定价方程求得利率风险的市场价格曲线。具体的求解方法和数值解法可以作为以后研究的方向。复旦人学硕士学位论文奈尔马特里尼，菲利普普奥兰德，固定收益证券对利率风险进行定价和套期保值的动态方法肖军译北京 ， ， 【 】 ，（）：一 ， 一， （）， 一 ， ， “ ， ， ， ，（ ：， ， ， ， （卜 ， ， ）， ， ，一
