1、玩转压轴题，突破 140 分之高三数学选填题高端精品专题 01 复杂数列的通项公式求解问题一方法综述来源:Zxxk.Com数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为 形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进na行分析.二解题策略类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题【例 1】【2017 安徽马鞍山二模】如图
2、所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字 73 在图中出现的次数为_【举一反三】 【2017 江西瑞 昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形 数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列 ，若 ，则 _na2015nn类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题【例 2】已知点 顺次为直线 上的点，点12(,)(,),(),nAyAy 142yx顺次为 轴上的点，其中 .对于任意 ，点12(,0)(,)(,0)nBxBx x1(0)xa*nN构成以 为顶点的等腰三角形.则数列 的通项公式为 _.1n
3、A n【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列 ， ， ，1,2A2,31,A，其中 是正整数.连接 的直线与 轴交于点 ，连接 的直线与1,()2nnAn12x1,0Bx23A轴交于点 ，连接 的直线与 轴交于点 ，.则数列 的通项公式为x,0Bx1nA ,nn_.类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题【例 3】 【全国名校大联考 2017-2018 年度高三第三次联考】设函数 是定义在 上的单调函数，fx0,且对于任意正数 有 ，已知 ，若一个各项均为正数的数列 满足,xyffxfy12f na，其中 是数列 的前 项和，则数列 中第 18 项*1nnnfSfafNnSnan（ ）18A
4、. B. 9 C. 18 D. 3636【举一反三】 【北京西城 35 中 2017 届高三上学期期中数学】已知 是 上的奇函数， 12FxfR，则数列 的通项公式为（ ） *1210n nafffffnNn naA. B. C. D. nana23na类型四 由复杂递推公式求解数列通项公式问题来源:Z|xx|k.Com【例 4】 【重庆市第一中学 2018 届高三上学期第一次月考】我们把满足 的数列 叫做牛顿数列，已知函数 ，且数列 为牛顿数列，设 ，则 （ ）A. B. C. D. 【举一反三】 【辽宁省大连市 旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学 2018 届高三第二次联考】设数列
5、 中， ， ，则数列 的通项公式为_na1122,1nnaab*Nnb类型五 两边夹问题中的数列通项公式问题来源:Zxxk.Com【例 5】 【2017 届浙江省杭州地区（含周边）重点中学联考】设数列 满足 ，且对任意的 ，na123*nN满足 ， ,则 _2nna452nna017a【举一反三】 【福建省莆田第六中学 2017 届高三下学期第一次模拟】已知各项都为整数的数列 中， na，且对任意的 ，满足 ， ，则 _1*N1n2n2na31n2017类型六 下标为 形式的数列通项公式问题na【例 6】 【浙江省湖州、衢州、丽水三市 2017 届高三 4 月联考】已知等差数列 ，等比数列 的
6、公比nanb为 ，设 ， 的前 项和分别为 ， 若 ，则 _*,qNnnbnST21nnqS【举一反三】 【2 018 届安徽皖江名校联盟 12 月份联考改编】等差数列 和等比数列 的各项均为正整数，且 的前 项和为 ，数列 是公比为 16 的等比数列， .则 nb的通项公式_.三强化训练1 【山东省、湖北省部分重点中学 2018 届高三第二次（12 月）联考】已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行为 3，5，第三行为 7，9，11，第四行为 13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 行，第 列的数记为 ，比如 ，若 ，ij,ija324254,3
7、a， ， ， ,2017ija则 （ ）ijA. B. C. D. 6457122.【湖南省衡阳县 2018 届高三 12 月联考】在数列 中， ，na1241nna且 ， 记 ，则（ ）1a2iniaTA. 能被 41 整除 B. 能被 43 整除 C. 能被 51 整除 D. 能被 57 整除191919T19T3.【”超级全能生”2018 届高考全国卷 26 省 9 月联考乙卷】已知数列 满足na（ 为非零常数） ，若 为等比数列，且首项为 ，公比为 ，则*1,2 nadNqqna0q的通项公式为（ ）naA. 或 B. C. 或 D. 1nq1nnana1nna1nq4.【浙江省湖州市
8、 2017 届高三联考】对任意的 nN*，数列a n满足 且 ，则2cos3 2si3nan 等于（ ）A. B. C. D. 2si32sin321cos21cos35.【2016 届河北省衡水中学高三下学期猜题】已知数列 的首项为 ，且满足对任意的 ，都na1*nN有 ， 成立，则 （ ）12nna2nna2014A B C D2042014 201520156.【湖北省武汉市 2017 届高三四月调研】已知数列 满足 ， ，若na 3a，则数列 的通项 （ ）来源:学,科,网 Z,X,X,K*113,nnnaanNnaA. B. C. D. 来源:学.科.网21127.【九江市 2017
9、 年第三次高考模拟统一考试】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数: ，该数列的特点是：前两个数均为 ，从第三个数起，每一个数都等于1,235,8 1它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列 称为斐波那契数列.则 （ na882211iiia）A. B. C. D. 01268.【天津市第一中学 2018届高 三上学期第二次月考改编 】已知数列 满足 ，na2, na为 奇 数为 偶 数且 .则 的通项公式_.*12,nNana9. 【2016 届西藏日喀则一中高三下学期二模改编】已知正项数列 的前 项和为 ，且nanS，数列 满足 ，且 .则 的通项公式_.
10、2111,nnSnb13nan1b10.【湖北省黄石市第三中学（稳派教育）2018 届高三阶段性检测】下表给出一个“三角形数阵”：8， 14， ， 362已知每一列的数成 等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第 行第 列ij的数为 ，则（1） _；（2）前 20 行中 这个数共出现了_次ija83a1411.【2017 届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克牛顿（1643 年 1 月 4 日-1727年 3 月 31 日）英国皇家学会会长，英国 著名物理学家，同时在数学上也有许 多杰出贡献，牛顿用“ 作切线”的方法求函数 零点时给出一个数列 ：满足 ，我 们把该数列称为牛顿数列.如果函数 有两个零点 1，2，数列 为牛顿数列，设 ，已知 ， ，则 的通项公式 _12.【2017 届河南郑州一中网校高三入学测试】设数列 是首项为 0 的递增数列， na，满足：对于任意的 总有两个不同的根，*11sin,nnnfxaxN,1nbfxb则 的通项公式为_na
