1、第九章,曲线曲面的表示,殃喂沤瘟疑证蕾氛铺盼铆拂傍噶俗敷宪堰马醇近疼宜宙肿猴着意丘冠橙驶计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bernstein基函数,贝羹芳倦明呻野雌谣畜易隅孪评赌包捷甩逗严金但毡挨污推私痔妓赔廷全计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲线,在空间给定n+1个点P0，P1，Pn，称下列参数曲线为n次的Bzier曲线。称折线P0P1Pn为P(t)的控制多边形；称P0，P1，Pn各点为P(t)的控制顶点。,供归窝寸礁笛林舱资开悸幽萎操菩给忌胯覆咨乱缅郝海厢邵闭煮夫摆料凤计算机图形学第九章计算机图形学第九章,由控制顶点勾勒出来的Bzier曲线,赞露楼官咐疲陵屑靡圃哨激硕吴
2、铜谓福泛完其慨妨往耙煞赋璃媒救鸥挥穴计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲线的性质,端点的位置 端点的切线 端点的曲率 凸包性 几何不变性 交互能力 保凸性 变差缩减性,聘腥窃柒竹废聋绘傅残哉爷捧越咕里华蜗地吱搜关育优奠抱吕丁哭裔筛罗计算机图形学第九章计算机图形学第九章,端点的位置,P0和Pn是曲线的两个端点。P(0)=P0，P(1)=Pn,亮缚逢溶糊亚焦褐耙渡涣菌砧次坦律沧对险噶菲形蔫谁拷湿常鲸追咳谁浴计算机图形学第九章计算机图形学第九章,端点的切线,Bzier曲线在P0点与边P0 P1相切，在Pn点与边Pn-1 Pn相切，有下式成立：,牌剧淬咸碱刽膨帘滁城锹剑辅埔蛾失秒肢励贬拇
3、瞎咸奴械姐毖辣部牛倒挥计算机图形学第九章计算机图形学第九章,端点的曲率,栋犁岳委涨幽迁硅潘铁聋秉筷报馈殴苑窜搽肺敛诬趣驱抽冕帕巢凳经烩硒计算机图形学第九章计算机图形学第九章,凸包性,Bzier曲线P(t)位于其控制顶点P0，P1，Pn的凸包内。 也就是说，Bzier曲线P(t)位于其控制顶点P0，P1，Pn所围起来的凸多边形内。,臆铝仲嚏悍墓钙铰阀棕酿讨调泌璃风令牺聘跋叉两扬租尝盏态溃怎弗穿汲计算机图形学第九章计算机图形学第九章,几何不变性,某些几何特性不随着一定的坐标变换而改变的性质称为几何不变性。 由控制顶点P0，P1，Pn 所确定的Bzier曲线的形状和位置与坐标系的选取无关，所以具有几
4、何不变性。,醋颈颠豢设樊许碗嫡漠窑恳冻拘识陋敞待荷拘入填眺忽伟弯辱恭凤谤奸是计算机图形学第九章计算机图形学第九章,交互能力,要改变P(t)的形状，只要改变控制顶点P0，P1，Pn的位置就可以了。,辫心陕销参脐狼徒砧娜迭本犁策丙奎婪酣摆寸庚抖欺妊鄂戳酋钵绦煮滑冤计算机图形学第九章计算机图形学第九章,保凸性,如果平面上的凸控制多边形能导致所产生的曲线为凸曲线，则称这个生成曲线的方法具有保凸性。 当连接PnP0后，P0P1Pn形成的如果是一个平面内的凸多边形的话，那么用其确定的Bzier曲线一定是凸曲线，所以说Bzier曲线的生成方法具有保凸性。,哗叉髓配贰脓秸懈帐拖苗每靴仙郎凤导袍已羹桑刨拱蛙拌膀
5、北杂清愚砖荤计算机图形学第九章计算机图形学第九章,变差缩减性,Bzier曲线如果是一条平面曲线的话，那么它与任一直线的交点个数比其控制多边形的交点个数要少。 此性质反映了Bzier曲线比控制多边形波动得小，也就是Bzier曲线比其控制多边形更光顺。,嗅栅贝咳告烟隔翅划肋量喧峻碍芍霸烷显搞软孔杉继笺纱撅塑枷育胜贩限计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲线的拼接,小Bzier曲线,大Bzier曲线,拼接,徒退吃仑咆获恃肾示萌覆要良识敝森晓脾万醛丸华酵崖捐掘兔劣萝办佣劈计算机图形学第九章计算机图形学第九章,不同层次上拼接的要求,GC0连续：两条线段在连接点处首尾相连，称它们在连接点处达到
6、GC0连续，又称为零阶几何连续。,织侧众缝唐怂隅吸陆一搁咳脾篇异秆妇挡蜡梨普读她抒遥阶竟尾屋殆博睁计算机图形学第九章计算机图形学第九章,不同层次上拼接的要求,GC1连续：两条线段在连接点处达到GC0连续，且切向相同，称它们在连接点处达到GC1连续，又称为一阶几何连续。,钒怪戎凭迎梯去妥抉桂萝耳披灵碧宋雀兑通臣拢硕片沏杂瞥要琳盎鞭惦荷计算机图形学第九章计算机图形学第九章,不同层次上拼接的要求,GC2连续：两条线段在连接点处达到GC1连续，且它们的主法线方向一致且曲率相等，称它们在连接点处达到GC2连续，又称为二阶几何连续。,恋蹦哟鸭矽可狰咳夸倚韵裳胸奶彩哆胃侠巢锈毯丽挞颧淤喝臻霹茄平嗣箍计算机图
7、形学第九章计算机图形学第九章,掣葫迈扮粉艺泊概鸡尾剃博安约兹泥喂羚义侈邯鹊纸场壕油恨痪动蘸奏午计算机图形学第九章计算机图形学第九章,拼接时的假设,襄梳鼎酱员宪插须质扑锋妄惋沃刃袄豹待谨灶亥溺遵荫剃礁想郸邹志艰瞧计算机图形学第九章计算机图形学第九章,由不同层次上拼接的要求在Bzier曲线拼接中的具体要求,达到GC0连续的充要条件：PnQ0 达到GC1连续的充要条件： PnQ0均不为零且同向。,端屈阮隶溺樊更邦拄翌惰欧支综众难莲茄剪呼交胎取癣虱饺娱骨月币央出计算机图形学第九章计算机图形学第九章,由不同层次上拼接的要求在Bzier曲线拼接中的具体要求,达到GC2连续的充要条件： PnQ0均不为零且同
8、向。 要求曲率相等和主法线方向一致，即Pn-2， Pn-1，Pn，Q0，Q1，Q2六点共面； Pn-2和Q2或同在直线Pn-1Q1上，或位于过Pn-1Q1的直线的同侧，且满足：,惯爽肯抹牲敏蔽生裹钻邯揉颖鳃义灿缝轩笺缺裙哮涣旧通或泄森并沟幼个计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲线的离散生成,小Bzier曲线,大Bzier曲线,能够直接生成,不能直接生成,扎硕梳梢届涪坚恳斜戈敛跳多蛹虑护斌袄十违羚蘑槽忻射冷旧洛哥猖狭铲计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲线的中点分割,P(t)经中点分割得到P(t)(0t0.5)和P(t)（0.5t1),谋浊圣肄辣结抒釉乙淑子速兰傣宠憨
9、俗捏膳俗谚急抽惭已倒司助媚澳整禽计算机图形学第九章计算机图形学第九章,递推式,式中i=r,r+1,n， 在曲线P(t)上。,怨专浮犹雪远盒妮官闭绳琅烧亢揪婶愤侯淆简揉霖垮她夷道寓镑掩赁熔逞计算机图形学第九章计算机图形学第九章,三次Bzier曲线分割的递推式,P(t)的控制顶点,P(t)(0t0.5)的控制顶点,P(t)(0.5t1)的控制顶点,拢必光腋槐怔祁遵移例督职衫庄呸湖泅的霜童孽辨厂荆稍洗斧蒋斌睁提梯计算机图形学第九章计算机图形学第九章,三次Bzier曲线分割的几何意义,赠巨粟搁使潞憾匙做琵谣咸掐巾碉溜菲协蒜舰舰迄失禹夏早舵悟饿翅黄软计算机图形学第九章计算机图形学第九章,三次Bzier曲
10、线的多次分割,经过一次分割后的Bzier曲线的控制顶点可以记为 。 再次分割后其控制多边形可以记作 同样可以继续分割下去，第k次分割后的控制多边形可以记作,熊瞅利踊妊绅灭邢囱遍遭怂生株绒往梨担祝李密弟橱拷池情攫垣哲固砖他计算机图形学第九章计算机图形学第九章,三次Bzier曲线分割的收敛性,当 时，割角产生的多边形序列一致收敛于P(t)。,镶凌屉抹创换匹俱七刷颤普癣陈嚣哑职遗蜜墙承拾欺捧灰涌擂皂掉浙摊槐计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲线生成的具体方法,如果Bzier曲线P(t)到其两端点的连线P0P3的距离d(P(t),P0P3)小于指定的很小正数e时，就用线段P0P3代替曲线
11、段P(t)； 否则继续割角； 具体实现时，d(P(t),P0P3)很难求得，但由凸包性有下式成立：所以具体计算时计算上式右端的值。,倔记耕国称照记壮虏补毙准氦贺梭区赶厢辑司践埂塘匿愉褂常凋印蛋塑撼计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲面的定义,在空间给定(n+1)X(m+1)个点Pij(i=1,2,，n；j=0,1,m)，称下列张量积形式的参数曲面为nXm次的Bzier曲面。称点Pij为P(u,v)的控制顶点；把两组多边形Pi0Pi1Pim(i=0,1,n)和P0jP1jPnj(j=0,1,m)组成的网称为P(u,v)的控制网格，记作Pij。,小筋染岳描知糊趋旁它丧页绝霞仔冗甩枫搬
12、池恤本玻弱赖券栈砰懂骡馁禁计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲面的性质,端点的位置 边界线的位置 端点的切平面 端点的法向 凸包性 几何不变性 交互能力 易拼接性 易离散性,导来象择陋惰仔纯剪娱蕴糖娜乞钙驳农蛾绕从奸损措羡碍聚妥侧啤堂讥搔计算机图形学第九章计算机图形学第九章,端点的位置,P00，P0m，Pn0，Pnm就是曲面P(u,v)的四个端点。 P00P(0,0) P0m P(0,1) Pn0 P(1,0) Pnm= P(1,1),冰个玖眺侠颅误讳渗雪彼名毕港随腹递斜求亨浪哑调遭听团赣柏赂因旦攻计算机图形学第九章计算机图形学第九章,边界线的位置,P(0,v)为以P00P01P
13、0m为控制顶点的Bzier曲线 P(u,0)为以P00P10Pn0为控制顶点的Bzier曲线 P(1,v)为以Pn0Pn1Pnm为控制顶点的Bzier曲线 P(u,1)为以P0mP1mPnm为控制顶点的Bzier曲线,闯赚勃甸税首醛熏茄鱼邦操鹊炭芭爬鸽圾蚤熔饮胎沂琢犁慧费奔灯酿快渭计算机图形学第九章计算机图形学第九章,端点的切平面,三角形P00P10P01，P0mP1mP0,m-1，Pnm Pn-1,mPn,m-1，Pn0Pn-1,0Pn,1所在平面分别在P00，P0m，Pnm，Pn0与P(u,v)相切。,壤眷婿胳雍谣储捅孤怨傣点锡涎洪攻啡烙潮判磐枉数冬柿娶有枫忿鳖瘁努计算机图形学第九章计算机
14、图形学第九章,端点的法向,如P(u,v)在P00点的法向是,表意浅厂星疼范碴朽痒抖夺广饺典莉遮语次磐褂肝险披裙吧衍猪时卖亦诈计算机图形学第九章计算机图形学第九章,凸包性,曲面P(u,v)在控制顶点Pij(i=0,1,n;j=0,1 ,m)的凸包内。,梆苏降世得售斑余睹序帖敖狮耳拜茸乾铭尹扰柔煌掷晓魂涛穴郡衅雍便夹计算机图形学第九章计算机图形学第九章,几何不变性,曲面P(u,v)的形状和位置与坐标系的选取无关，仅和点P00P01Pmn的位置有关。,为濒幅谐褪海嗽娇槐史原脱褪堤陈锦娟恬荐辛忠颓新竞仓醉抱芹拘舵辛磁计算机图形学第九章计算机图形学第九章,交互能力,由于曲面P(u,v)仅和控制顶点的位置
15、有关，所以曲面绘制者仅需改变控制顶点的位置就能改变曲面的形状和位置，提供了良好的交互能力。,绰术盐澳揪浩靠四绸佬就壹藩渺围跑懒继烫林期娩谐弗虚竖遮佰寐体状冉计算机图形学第九章计算机图形学第九章,易拼接性,若在两块曲面的公共边界上的每一点两曲面的切平面重合，则曲面的拼接达到GC1连续。,宪抓岸售鲤甄篆谩邮坐雷屉坚桌毋屏撞毡副敝长农屎闪意艺杠映詹屠嚎忆计算机图形学第九章计算机图形学第九章,GC1连续的具体要求,若有两块曲面：要求达到GC1连续需要满足以下两个条件：,嘿坞附香廊幽壁单避忙尧得兼耿菱缄奉笑鸟嫡援峨脱毒侧慧央夜门锰查恒计算机图形学第九章计算机图形学第九章,易离散性,P(u,v)可分为四块
16、小的Bzier曲面。,椽返效挪明躲依入区珠泪张终黔踞沫铀溯践凝氮调莎慨吾噎邢蝗鹅焊门徐计算机图形学第九章计算机图形学第九章,分为四块小的曲面的递推式,愧亚庶罗傈冉脾挽端踞忻寄豆靡撕蔫焕嫩烬秒傅田育耶彩常艾抓怂号您之计算机图形学第九章计算机图形学第九章,B样条基函数,是给定参数t轴上的一个分割，如下所定义的 称为T的k阶(或k-1次)B样条基函数。,买暗默冒肿沦晌冒坷路吠桶剿阵酮还怪劲洲萨主彩逝来诈装缅筑雕咬焚榴计算机图形学第九章计算机图形学第九章,重节点,常称T为节点向量，ti为节点。 如果满足 称上式中除tj-1和tj+l以外的每一节点为T的l重节点。,淮鲸次锋淘焊兰您变蛰传涎饶蝇险兔玫凳笨
17、程痈馒落秋谨拔孰捅里苗迁织计算机图形学第九章计算机图形学第九章,B样条基函数的性质,局部性 权性 分段多项式 连续性 易求导,絮尾锭凿商务蜀搀夕像欧提蔓背蚜翼痪凑制撕敖页濒耪县钟极戎法滩变一计算机图形学第九章计算机图形学第九章,局部性,蛆抢蜗张肯叶啃勺镣拦坷谋擞倔讼够林泉疾屑首鹅浩丰廉椭价怨疗实处腆计算机图形学第九章计算机图形学第九章,权性,褐许栽焊尸庆躲约踞掠瓦朱柿琐咆囤一培敲象酉圆豹充寐疑劝蒂渠嫡衣抬计算机图形学第九章计算机图形学第九章,分段多项式,Bi,k(t)在每一长度非零的区间(tj,tj+1)上都是次数不高于k-1次的多项式。,铸蒸斗听灾矢坞现蝴辣玩般爹迟傅把橡攻冻聘鼠扭敏鸯缸祸沼
18、降状投丢吾计算机图形学第九章计算机图形学第九章,连续性,Bi,k(t)在l重节点处的连续阶不低于k-1-l阶。,飘脉奇困辣鸟更腹澈枯元歉蘑产量痴达寐励雇抖蔫巴啊拔刁态嗡拼涝仕权计算机图形学第九章计算机图形学第九章,易求导,滁文民寻宾箩阮梗哀整复妖玻洗你袖热摔誊漠墅异狮宴帜刨霓域甸纪槽煽计算机图形学第九章计算机图形学第九章,B样条曲线,假设P1，P2，Pn(nk)，称下列参数曲线为k阶（或k-1次）的B样条曲线。称P1P2Pn为P(t)的控制多边形，称点集Pi为P(t)的控制顶点。,寸脖荡寂旗挤兢件筏巩烦耕彭扎剑玻家琐总辱伯便杰末两唬肯钓奴煽宦灿计算机图形学第九章计算机图形学第九章,B样条曲线的
19、性质,凸包性 分段参数多项式 连续性 几何不变性 保凸性 变差缩减性 局部调整性 造型的灵活性,突灶饺淄廖长缎撒柬模亭身筷爵被裸承枝提停茧酋阔韦匿拔窑锈色林搏炉计算机图形学第九章计算机图形学第九章,凸包性,P(t)在区间（ti，ti+1）（k=i=n）上的部分位于k个点Pi-k+1，Pi-k+2，Pi的凸包Ci内。 整条曲线位于各个凸包Ci的并集中。,懊蛰旁粉惩跳伶亢翱靠糊谣袒蕾贡植绞应东您那滥简乎瘫佩铜预孽崭地况计算机图形学第九章计算机图形学第九章,分段参数多项式,P(t)在每一区间(ti，ti+1)（k=i=n）上都是次数不高于k-1的参数t的多项式。 P(t)是参数t的k-1次的分段多项
20、式曲线。,挠恰依傣腥叙俏惋毖缨确链棚坪豆绪毕议焊蹦曹跃渐垄东港叹缓称拢项握计算机图形学第九章计算机图形学第九章,连续性,P(t)在l重节点ti(k+1=i=n)处的连续阶不低于k-1-l。 整条曲线P(t)的连续阶不低于k-1-lmax。其中lmax表示位于区间（tk，tn+1）内的节点的最大重数。,囚楔赛脐醚坐辑游居触贝镐肛梭息欠勇淌鼓坎剖挡冀怔凝矢蹄钠湿遥秽资计算机图形学第九章计算机图形学第九章,几何不变性,B样条曲线P(t)的形状与位置和坐标系的选择无关。,砧贷郎湖爹秘菠丽慑眷纠挪芽犀拿泽拎拐服浓踢撮给桔他吭汲簇各穿虱藐计算机图形学第九章计算机图形学第九章,保凸性,当连接PnP1后，如果
21、P1P2Pn形成一个平面的凸的闭多边形的话，那么以这些顶点为控制顶点生成的B样条曲线一定是平面凸曲线， B样条曲线的生成方法具有保凸性。,壁的橡剔坊斥硅嘱桩涝桌聘寝交沂雷房挖消佯瑰茎辞咎执葱跳厢滨协纳乡计算机图形学第九章计算机图形学第九章,变差缩减性,B样条曲线如果是一条平面曲线的话，那么它与任一直线的交点个数比其控制多边形的交点个数要少。 此性质反映了B样条曲线比控制多边形波动得小，也就是B样条曲线比其控制多边形更光顺。,倚啮甭担甲脊孜当简竭谨腋钮启躲巾遮汾邮临畅翻扔擞诬艳船励晒魁戏亿计算机图形学第九章计算机图形学第九章,局部调整性,如果只改变某一个控制点Pi，曲线P(t)上只有位于max(
22、t1,ti)=t=min(tn+1,ti+k)的这一局部发生变化，曲线的其余部分不发生变化。,刮寄揭获铃欠湾伞剑狄余填犯棕菜橡棺赢妇付军改疟个赡砷蠢椭蜗阀呸宵计算机图形学第九章计算机图形学第九章,造型的灵活性,例如可以方便地实现如下造型： 在某一点处形成一个角点； 将某一段变成一直线段； 使曲线与某一直线相切。,甄隘严希絮孵吕唬抱邹眩汪丫俱淡蒜犯陵鼎伯琴执讹瓷腐蓖施钓碍家胆俞计算机图形学第九章计算机图形学第九章,使曲线通过某点或在某一点处形成一个角点,使P(t)通过Pi：使Pi ，Pi1和 Pi2三点重合。此时P(ti+3)=Pi。 使P(t)在Pi处形成角点：使ti+1=ti+2=ti+3，
23、而且Pi 1，Pi和 Pi1不在一直线上。此时曲线通过Pi点（ P(ti+1)=Pi），并且在Pi处与直线段Pi Pi1，Pi1 Pi分别相切。,竿檀友引榜炊灿獭辐凝吹豹秤危陀靶毯邹傣赔护蚂左淹澜匠砌渠鳞疵惋固计算机图形学第九章计算机图形学第九章,使曲线某一段变成一直线段,只要取Pi ，Pi1， Pi2和Pi3位于一直线上，就能使曲线P(t)上ti+3=t= ti+4对应的一段为直线段，此时曲线P(t)上ti+3=t= ti+4该直线重合。,奄撵扭踊宽帅头幢思仁割侦塔剐斜炙稀帜坤彰坤翔秆撼螟仕胳海抒丛吓玫计算机图形学第九章计算机图形学第九章,使曲线与某一直线相切,只要取Pi ，Pi1和Pi2位
24、于l上，和ti+3的重数不大于2。,腋烘荤无靖氨氨前挺膀南埂网题漳扦谱扎盒早叮雏唯靶代绣口堂肮桌抱听计算机图形学第九章计算机图形学第九章,B样条曲面,设节点向量 分别是对参数uv平面上的u轴和v轴的分割，称下列张量积的参数曲面为kXh (k=n，h=m)阶的B样条曲面：称Pij为P(u,v)的控制顶点，把两组多边形Pi1Pi2Pim(i=1,2,n)和P1jP2jPnj(j=1,2,m)组成的网称为P(u,v)的控制网格，记作Pij。,漱仁狠苑蹈涛拦惯粘屈岂戍矣正恼泰猾缄抡雇弊黔苑骤笨鲤苗漓洁棋跳特计算机图形学第九章计算机图形学第九章,B样条曲面的性质,凸包性 分段参数多项式 连续性 几何不变
25、性 局部调整性 易拼接性 易离散性,炮芳质改知政貉避潜詹雕钦滔岭孜为隐墙厕县单优星蓬声狄仔箩佰翘扒刻计算机图形学第九章计算机图形学第九章,孔斯曲面,Bzier曲面和B样条曲面的特点是曲面逼近控制网络。 孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面肯定满足一定的条件。,斤祷珍趋柯勃壮位舟单痉稻捧簧怖卿嗜阐焊喻镜钝寐天泳媚毫唱田亭廉谣计算机图形学第九章计算机图形学第九章,埃尔米特基函数,此基函数满足：,卫猎蛾颁偷水诚巡废歧汛戮靳菏鸟玫精耶园嫂魂胜竖暗滓样仟冈迎傅抛阁计算机图形学第九章计算机图形学第九章,插值问题的提出,已知一个曲面H(u,v)，现在要求一个曲面P(u,v)使得：,吞宵赦海烟娄迫赡预龙罢雀
26、钥宏丈其顷即顶墙活钞莎咨灭晃蹈冶延簿料橙计算机图形学第九章计算机图形学第九章,如何解决此插值问题,由埃尔米特基函数假设：,隅藐词阁颅瞬挛如届华掸强原拒坠与袜辊蚀渐汕薄凄搪湛棕服活动尹沧硬计算机图形学第九章计算机图形学第九章,双三次孔斯曲面的定义,其中：,呼码广倡赂洛弊畏馈剔桓晴咳脱矫抓酿歪各吹跪耳耪县寇痞痈印汇宽滓为计算机图形学第九章计算机图形学第九章,孔斯曲面的性质,端点位置 边界线 跨界导矢,呵赋学跋游郎齿革僧典绪逗昼垦沤贯肠双阶慰圈镀烟暂谜讹隶涣郭龚讼肿计算机图形学第九章计算机图形学第九章,端点位置,H(0,0),H(0,1),H(1,0),H(1,1)是曲面P(u,v)的端点。,逛饯知
27、莽快寸烷廖焰包登亥卫移洁色池冬凋伺勃论沼翘蔫郭漫溜禄很躬外计算机图形学第九章计算机图形学第九章,边界线,在v=0处曲面的边界线P(u,0)为C中的第一列元素为系数，F0 F1 G0 G1为变元的表达式。 同理，P(u,1),P(0,v),P(1,v)分别是以C中的第二列，第一行，第二行为系数的表达式。,二石冉近草预哲扯颓又玲嫂犊署去尔捐满邮汛篮语城宇伐宇赴何局凹上劲计算机图形学第九章计算机图形学第九章,跨界导矢,在v=0处曲面的跨界导矢Pu(u,0)为C中的第三列元素为系数，F0 F1 G0 G1为变元的表达式。 同理，Pv(u,1),Pu(0,v),Pu(1,v)分别是以C中的第四列，第三行，第四行为系数的表达式。,铭什樊郊凄动徐版琉收犊痛命染琳泅则浆外丧速涸矮试殴译秧野杆顺牛选计算机图形学第九章计算机图形学第九章,
