1、第1节 位置和姿态的表示第2节 坐标变换第3节 齐次坐标变换第4节 齐次变换的性质第5节 旋转变换通式,第三章 位姿描述和齐次变换,第1节 位置和姿态的表示第2节 坐标变换第3节 齐次坐标变换第4节 齐次变换的性质第5节 旋转变换通式,第三章 位姿描述和齐次变换,机器人研究所,3,第1节 位置和姿态的表示,Z,X,Y,z,x,y,O,o,需要推导坐标系o-xyz在坐标系O-XYZ中如何表示！,机器人研究所,4,第1节 位置和姿态的表示,为描述机器人各个连杆之间、机器人和环境之间的运动关系，通常将它们都当成刚体，研究各个刚体之间的关系。因此构件的空间位置和姿态可用其上任一点在空间的位置和与构件固
2、接的坐标系相对于参考坐标系的方位来描述。,XA,ZA,YA,XB,YB,ZB,P,OA,固接在构件上的动坐标系B,参考坐标系A,AP,机器人研究所,5,第1节 位置和姿态的表示,位置描述（Description of Position）,图1 位置表示,Ap ：p点在坐标系A中的表示，也称作位置矢量。,机器人研究所,6,第1节 位置和姿态的表示,姿态描述（Description of Orientation）,图2 方位表示,：坐标系B相对于坐标系A的方位，也称作旋转矩阵。,机器人研究所,7,第1节 位置和姿态的表示,姿态描述（Description of Orientation）,图2 方位
3、表示,旋转矩阵是单位正交矩阵。,机器人研究所,8,第1节 位置和姿态的表示,姿态描述（Description of Orientation）绕x轴、y轴和z轴旋转角的旋转矩阵为：,图3 绕z轴旋转角,表示 ； 表示,机器人研究所,9,9,坐标系描述（Description of Frames） 相对参考系A，坐标系B的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量(Position Vector) 和旋转矩阵(Rotation Matrix) 描述。这样，刚体的位姿（位置和姿态）可由坐标系B来描述，即,第1节 位置和姿态的表示,机器人研究所,10,10,机器人手抓坐标系描述与机器人手爪固接的坐标系叫手
4、爪坐标系。原点：机器人手爪指尖中点，由位置矢量P表示；Z 轴：设在手指接近物体的方向，称接近矢量 a (approach)；Y 轴：设在两手指的联线方向，称方位矢量 o (orientation)；X 轴：由右手法则确定：noa，称为法向矢量 n (normal)。,第1节 位置和姿态的表示,第1节 位置和姿态的表示第2节 坐标变换第3节 齐次坐标变换第4节 齐次变换的性质第5节 旋转变换通式,第三章 位姿描述和齐次变换,机器人研究所,12,第2节 坐标变换,平移坐标变换 (Translation Transform)坐标系B与A方向相同，但原点不重合。,图4 平移变换,此式称为平移方程。其中
5、 是B系原点OB在A系中的表示。,P,机器人研究所,13,第2节 坐标变换,旋转坐标变换 (Rotation Transform)B与A有共同的坐标原点，但方位不同。,图5 旋转变换,P,机器人研究所,14,第2节 坐标变换,复合变换 (Composite Transform),图6 复合变换,P,机器人研究所,15,例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵 。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。,15,解：,yA,o,A,A,30,xA
6、,zA,第2节 坐标变换,机器人研究所,16,例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵 。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。,16,解：,yA,o,A,A,xA,zA,第2节 坐标变换,机器人研究所,17,例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵 。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述A
7、p。,17,解：,yA,o,A,A,xA,zA,第2节 坐标变换,机器人研究所,18,例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵 。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。,18,解：,yA,o,A,A,xA,zA,第2节 坐标变换,机器人研究所,19,例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵 。假设点p在坐标系B的描述为Bp
8、=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。,19,解：,yA,o,A,A,xA,zA,第2节 坐标变换,机器人研究所,20,P,20,解：,例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵 。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。,y,A,x,A,z,A,o,A,A,o,B,B,A,p,Bo,B,p,A,p,B,x,B,z,B,y,第2节 坐标变换,第1节 位置和姿态的表示第2节 坐标变换第3节 齐次坐标变换第4节 齐次变换的性质第5节 旋转变换
9、通式,第三章 位姿描述和齐次变换,机器人研究所,22,第3节 齐次坐标变换,齐次坐标和齐次变换坐标变换 ，式中对于点 是非齐次的，将其等价为齐次变换形式：,机器人研究所,23,第3节 齐次坐标变换,齐次坐标和齐次变换 称为齐次变换矩阵，对它有以下物理理解：描述坐标系 B 相对于坐标系 A 的位姿；代表同一点 P 在两个坐标系 A 和 B 中描述之间的映射关系；表示同一坐标系中，点 P 运动前后的位姿关系。,机器人研究所,24,例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵 。假设点
10、p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。,24,第3节 齐次坐标变换,解：,机器人研究所,25,例2.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵 。假设点p在坐标系B的描述为Bp=3,7,0T，求它在坐标系A中的描述Ap。,25,第3节 齐次坐标变换,解：,机器人研究所,26,第3节 齐次坐标变换,例2.2 齐次变换矩阵描述坐标系B相对于A的位姿，可解释为：B坐标原点相对于A的位置：1, -3, 4, 1T;B坐标原点相对于A的方向分别为：B的X轴与A的Y
11、轴同向0, 1, 0, 0T;B的Y轴与A的Z轴同向0, 0, 1, 0T;B的Z轴与A的X轴同向1, 0, 0, 0T.,机器人研究所,27,第3节 齐次坐标变换,平移齐次变换(Homogeneous Transformation of Translation)A分别沿B的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：,机器人研究所,28,第3节 齐次坐标变换,平移齐次变换(Homogeneous Transformation of Translation)对已知矢量 u=x, y, z, 1T 进行平移变换所得的矢量 v 为：,机器人研究所,29,第3节 齐次坐标变换,旋转齐次
12、变换(Homogeneous Transformation of Rotation),机器人研究所,30,第3节 齐次坐标变换,多次变换给定坐标系A，B和C，已知B相对A的描述为 ，C相对B的描述为 ，则有 同理可有：即一个坐标系变换至另一坐标系的齐次变换矩阵等于依次经历中间坐标系各齐次变换矩阵的连乘积。,机器人研究所,31,31,例2.3 已知点 u=7, 3, 2T ，将 u绕 z 轴旋转90得到点 v，再将点 v 绕 y轴旋转90得到点w，求点v、w的坐标。,解：,第3节 齐次坐标变换,旋转变换,机器人研究所,32,32,例2.3 已知点 u=7, 3, 2T ，将 u绕 z 轴旋转90
13、得到点 v，再将点 v 绕 y轴旋转90得到点w，求点v、w的坐标。,解：,如果把上述两变换组合在一起,第3节 齐次坐标变换,旋转变换,机器人研究所,33,若改变旋转次序，首先使 u 绕 y 轴旋转90，再绕 z 轴旋转90，会使 u 变换至与 w 不同的位置w1。,第3节 齐次坐标变换,旋转次序对结果的影响,机器人研究所,34,第3节 齐次坐标变换,例2.4 已知点u=7, 3, 2T ，将 u绕 z 轴旋转90得到点 v，再将点 v 绕 y轴旋转90得到点w，最后进行平移变换4, -3, 7T ，求最终的坐标。,解：,将上述三个变换组合在一起,平移变换和旋转变换组合,n,机器人研究所,35
14、,第3节 齐次坐标变换,例2.4 已知点u=7, 3, 2T ，将 u绕 z 轴旋转90得到点 v，再将点 v 绕 y轴旋转90得到点w，最后进行平移变换4, -3, 7T ，求最终的坐标。,解：,将上述三个变换组合在一起,平移变换和旋转变换组合,第1节 位置和姿态的表示第2节 坐标变换第3节 齐次坐标变换第4节 齐次变换的性质第5节 旋转变换通式,第三章 位姿描述和齐次变换,机器人研究所,37,第4节 齐次变换的性质,1、变换过程的相对性绕固定坐标系依次进行的坐标系转换，各齐次变换矩阵按“从右向左”依次相乘原则进行运算（右乘）.,坐标系的运动方式：B的初始方位与坐标系A重合，首先使B绕 xA
15、旋转 角，再绕 yA转 角，最后绕zA转 角。,机器人研究所,38,第4节 齐次变换的性质,1、变换过程的相对性绕动坐标系依次进行的齐次变换，按“从左向右”的原则依次相乘(左乘）。,坐标系的运动方式：B的初始方位与坐标系A重合，首先使B绕 zB旋转 角，再绕 yB转 角，最后绕 xB转 角。,机器人研究所,39,相对于固定坐标系运动,相对于活动坐标系运动,第4节 齐次变换的性质,1、变换过程的相对性,结论：1）变换顺序从右至左，运动是相对于固定参考系而言的；2）变换顺序从左至右，运动是相对于运动坐标系而言的。,机器人研究所,40,第4节 齐次变换的性质,2、变换过程的可逆性齐次变换过程是可逆的
16、，逆变换就是使被变换的动坐标系返回到固定坐标系中。例如：,机器人研究所,41,第4节 齐次变换的性质,从逆方向去看图，固定系的 x轴与动系的 z 轴方向一致，故x轴在动系中可表示为0, 0, 1, 0T，同样固定系的 y 轴可表示为1, 0, 0, 0 T，z轴可表示为0, 1, 0, 0 T，而固定系的原点可表示为3, -7, -4 , 1 T 。,2、变换过程的可逆性T表示B与A之间的变换，也即B在A中的描述；下面从另一角度分析一下A在B中的描述。,机器人研究所,42,第4节 齐次变换的性质,2、变换过程的可逆性于是，A在B系中的描述为：容易验证,机器人研究所,43,第4节 齐次变换的性质
17、,2、变换过程的可逆性齐次变换逆变换的公式：已知变换矩阵为:其逆变换矩阵为：,机器人研究所,44,第4节 齐次变换的性质,2、变换过程的可逆性例题：已知齐次矩阵为：求 A-1,第1节 位置和姿态的表示第2节 坐标变换第3节 齐次坐标变换第4节 齐次变换的性质第5节 旋转变换通式,第三章 位姿描述和齐次变换,机器人研究所,46,第5节 旋转变换通式,1、旋转变换通式一般旋转变换指旋转轴线不与参考坐标系中的任何轴线重合，而是参考系中过原点的某一矢量，这一矢量的方向用单位矢量 表示。令 是过A系原点的单位矢量，求绕K旋转角到B系的旋转矩阵R(K,)，即,机器人研究所,47,第5节 旋转变换通式,1、
18、旋转变换通式设K是某坐标系C的Z轴的单位向量，并设：这样，绕矢量k旋转就等于绕坐标系C的Z轴旋转，即 Rot(K,)=Rot(ZC,),机器人研究所,48,第5节 旋转变换通式,1、旋转变换通式如果已知以参考坐标描述的坐标系T，那么能够求得以坐标系C描述的另一坐标系S，因为 T 绕 K旋转等价于绕坐标系 C 的 z 轴旋转：,机器人研究所,49,第5节 旋转变换通式,1、旋转变换通式当kx=1, ky=kz=0时，即 K为 x 轴，此时,其中：,机器人研究所,50,第5节 旋转变换通式,2、 等效转轴与等效转角任何一组经过有限次基本旋转变换后的复合旋转总可以等效成绕某一过原点的轴线转角的单一旋
19、转。对于给定的旋转矩阵,机器人研究所,51,第5节 旋转变换通式,2、 等效转轴与等效转角球等效转轴 K 和等效转角，即解下面的方程组。,机器人研究所,52,第5节 旋转变换通式,2、 等效转轴与等效转角例题：求复合变换 的等效转轴K和转角。解：1. 计算旋转矩阵,机器人研究所,53,第5节 旋转变换通式,2、 等效转轴与等效转角解：2. 确定转角,机器人研究所,54,第5节 旋转变换通式,2、 等效转轴与等效转角解：3. 确定转轴,机器人研究所,55,第5节 旋转变换通式,2、 等效转轴与等效转角解：说明绕 z 轴旋转90，再绕y 轴旋转90效果与绕空间直线 K 旋转120是等价的。,机器人研究所,56,本章重点,位姿描述和齐次变换空间任意点的位置和姿态的表示坐标变换和齐次坐标变换齐次坐标变换的性质旋转通用通式为研究机器人运动学、动力学、控制建模提供了数学工具。,
