1、2012年5月,概率论与数理统计第一章 随机事件及其概率,主讲教师：李金波,第一章,二、乘法公式,一 、条件概率,第四节 条件概率,三、全概率公式与贝叶斯公式, 定义,解 (1),一、条件概率,B抽中的是K,(2) A抽中的是红桃,B抽中的是K,定义, 条件概率,分析：,即求,结论：对一般古典概型问题，设,分别表示,试验E，事件AB，事件A所包含的基本事件数，则有：, 条件概率的性质,则,证,互不相容,另：条件概率也同时满足概率的6个性质,例如：,和事件,逆事件, 计算条件概率,(1) 在缩减样本空间中求事件概率,(2) 利用定义(公式),( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4
2、 , 3 ) ,( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 4 ),( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ),S = ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ),例1 盒子里有4只产品，其中3只一等品，一只二等品，,试验 E：依次取两只，做无放回抽样.事件 A: 第一次取,得一等品；,事件 B: 第二次取得一等品，求,解 法一（缩减样本空间）,由引例的结论得：,法二（公式法）由条件概率的公式,例2 设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10% ,现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品,的概率。,解,则由已知得,定
3、理 设,，则有,，则有,推广 三维,n 维,其中,其中,二、乘法公式,证明 左面,右面,例3.,假设某学校学生四级英语考试的及格率为98%，,其中70% 的学生通过六级英语考试 , 试求从该校随机,的选出一名学生通过六级考试的概率。,解,设 A = “ 通过四级英语考试 ”,B = “ 通过六级英语考试 ”,由题意, 可知,例4.,为了防止意外, 在矿井中同时安装两种报警,系统 A与B , 每种系统单独使用时, 其有效概率分别,为A 为0.92 , B 为0.93 ,在 A 失灵的条件下B 有效的,概率为0.85, 求,1) B 失灵的条件下, A 有效的概率,2) 发生意外时, A 与 B
4、至少有一个有效的概率,解:,设 A“ A 系统有效”，B“ B 系统有效”,由题意:,1),例4.,为了防止意外, 在矿井中同时安装两种报警,系统 A与B , 每种系统单独使用时, 其有效概率分别,为A 为0.92 , B 为0.93 ,在 A 失灵的条件下B 有效的,概率为0.85, 求,1) B 失灵的条件下, A 有效的概率,2) 发生意外时, A 与 B 至少有一个有效的概率,解:,2),例5.,设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影,票的机率是否相等？,解 设,“第 名学生抓到电影票”,所以抓阄决定谁去看电影是公平的。,例6. 某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨,号，求
5、他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已,知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？,解 设,表示第i次拨通所需电话；,表示不超过三次而接通所需电话；,例7.,一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从,其中任取一个零件，取后不放回。试求：,1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率,2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次,内取到合格品的概率,“第 次抽到合格品”,解: 设,1),则,且互不相容,例7.,一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从,其中任取一个零件，取后不放回。试求：,1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率,2) 如果取到一
6、个合格品就不再取下去，求在3 次,内取到合格品的概率,解:,(方法二) 利用对立事件,“三次都取到次品”,下利用条件概率求做,解,即,且,三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式,由于,故,2. 事件的划分,定义 设 S 是随机试验E 的样本空间,若：,（互斥性）,（完备性）,则称,是样本空间 S 的一个划分。,例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为,其中,，,是 S 的一个划分。,不是 S 的一个划分。,，,，,而,3. 全概率公式,称为全概率公式。,证,由已知得,所以,互不相容,故,又因为,得,去构造这一组 Bi 往往可以简化计算.,全概率公式的理论和实用意义在于:,在较复杂
7、情况下计,算P(A)不易, 但 A 总是伴随着某个Bi 出现，,所以适当地,例8 假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙,袋中有2个红球3个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，,再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？,解 设 A 表示从乙中取到白球， B1 表示从甲中取到白,球， B2 表示从甲中取到红球 , B1 ，B2 为S的一个划分，,由全概率公式得,某厂生产的仪器每台以 0.7 的概率可以出厂，,以 0.3 的概率需要进一步调试，,经调试后以 0.8 的概率,可以出厂，,以 0.2 的概率为不合格品，不能出厂。,求每,台仪器能出厂的概率。,例9,解,设 B “仪器能出厂”,A
8、1 “仪器需要调试”,A2 “仪器不需要调试”,引例,从如图所示的箱子,中任取一球 , 发现是红球 ,问它是取自一号箱的概率.,解 设,= “球取自i 号箱”,= “取得红球”,运用全概率公式计算P(A),4.贝叶斯Bayes公式,运用全概率公式计算P(A),定理,，称此式为贝叶斯公式。,例10.,解:,分别表示他乘火车, 汽车, 轮船, 飞机,设 A = “他来迟了”,由题意, 则,某人从外地来参加会议, 他乘火车, 汽车, 轮船,或飞机来的概率为,如果他乘飞机来,不会迟到; 而乘火车, 轮船或汽车来迟的概率为,2)如果他来迟了，试推断他是怎样来的？,下求,例10.,1) 由全概率公式,2)
9、 由贝叶斯公式,乘火车的可能性最大,已知 “结果” 求 “原因”,寻找导致 A 发生的每个原因的概率., 贝叶斯公式是在观察到事件 A 已发生的条件下，,注：, 全概率公式是在已知导致事件A 的每个原因发,生的概率的条件下，求事件A 发生的概率。,已知 “原因” 求 “结果”,例11.,设某工厂甲, 乙, 丙 3 个车间生产同一种产品, 产量,依次占全厂的45, 35, 20,且各车间的合格品率为,0.96, 0.98, 0.95,现在从待出厂的产品中检查出1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？,解,分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，,设 A 表示“任取一件产品为次品”,由题意得
10、,由贝叶斯公式,所以该产品是甲车间生产的可能性最大。,用全概率公式求,得,作业3,21页 3, 4, 5,例12. 在电报系统中，不断发出“0”和“1” ，发“0”和“1”,的概率为0.6和0.4，发“0”分别以0.7, 0.1和 0.2接受为“0”,“1”和模糊信息“X ”，发“1”分别以 0.85, 0.05和 0.1接收,“1”,“0”和模糊信息“X ”，试求：,收到信息为模糊信息的概率。,收到模糊信息应该译成什么信息的最好。,分析发信息 收信息,“0”,“0” 0.7,“1” 0.1,“X ” 0.2,0.6,“1”,“1” 0.05,“0” 0.85,“X ” 0.1,0.4,解设A
11、i 表示“发出的信息为“i” ，i=0,1,Bi 表示“收到的信息为“i” ，i=0,1, X,，所以应为“0”信息好。,商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果无次品，便买下了这一箱.否则退回，问 顾客买下该箱的概率； 在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。,B0 , B1 , B2 分别表示“箱中恰好有0，1，2只次品, 由全概率公式:,解,例13,设 A 表示“顾客买下所察看的一箱”, 由Bayes全公式:,第一章,二、多个事件相互独立,一 、两个事件相互独立,第五节,事件的相互独立性,三、
12、伯努利概型,考虑：,在什么条件下成立？,可知,一 、两个事件相互独立,证, 若 相互独立,则有,反之由乘法公式,定理 当,时，互不相容与相互独立,不能同时成立。,证,A、B互不相容,反之 A、B 相互独立,则,，故A、B不可能互不相容。,其余同理可证。, 若A、B 相互独立,注：区分互不相容、相互独立,例1.,甲, 乙两人的命中率为0.5 和 0.4, 现两人独立,地向目标射击一次,解: 设,A = “甲射击一次命中目标”,的概率是多少?,B = “乙射击一次命中目标”,C = “目标被命中”,则 相互独立,且,已知目标被命中,则它是乙命中,二、 多个事件的相互独立性,引例,在考试中，,表示“
13、第i个学生得100分” i=1,2,n,则,是相互独立的。,若下面四个等式同时成立,定义2,则称A, B, C相互独立，,如果只有前三个等式成立，则称A, B, C两两相互独立。,注：事件 (n2) 相互独立,事件两两相互独立,推广 n 个事件相互独立（参考书27页）,定理,则其中任意 k 个事件,也相互独立。,则其中任意 k 个事件,的对立事件与其它的事件组成的 n 个事件也相,互独立。,例2.,解: 由题意,两两独立,故A,B,C不相互独立,现有四张卡片，,如图所示,现从中任取一张, 设,分别表示抽,到写有数字,的卡片,试判定事件,之间的关系,例3 A,B,C,D连接方式如图，,各继电器闭
14、合与否是独立的，,且闭合的概率均为P，求R,至L为通路的概率。,解 设A,B,C,D分别表示A,B,C,D闭合,表示“LR通路”,则,由独立性,例4 甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设甲、乙、丙,的命中率分别为0.4、0.5、0.7，只一人击中飞机，飞机,被击落的概率为0.2；两人同时击中，飞机被击落的概率,为0.6；三人击中飞机，飞机被击落的概率为1，求, “飞机被击落”的概率, 若飞机被击落，求它是两人同时击落的概率,解 设A表示“飞机被击落”,表示“飞机被i个人同时击中”,i=1,2,3,是S的一个划分,分别表示“甲、乙、丙命中”,用全概率公式,用Bayes公式, 若飞机被击落，求它是两人
15、同时击落的概率,例5 设,，,，,，,问A、B是否独立？,解,整理得,A，B独立,例6 某仪器有3个灯泡，烧坏第一、第二、第三个灯泡,的概率分别为0.1, 0.2, 0.3.,当,烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.25.,烧坏二个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.6.,烧坏三个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.9.,求仪器发生故障的概率.,解 设 Ak 表示“恰有 k 个灯泡烧坏” ， k = 1, 2, 3.,B表示 “仪器发生故障”.,解 设 Ak 表示“恰有 k 个灯泡烧坏” ， k = 1, 2, 3.,B表示 “仪器发生故障”.,所以,例7 甲乙两人乒乓球比赛,每局甲胜的概率
16、为p (p0.5),对甲而言, 采用三局两胜制有利, 还是采用五局三胜制有,利？（各局胜负相互独立）,解 三局两胜,所以甲最终获胜的概率为, 五局三胜,甲获胜: “甲甲”、,“乙甲甲”、,“甲乙甲”,甲获胜：“甲甲甲”,“乙甲甲甲”、“甲乙甲甲”、“甲甲乙甲”,“甲乙甲乙甲”、“乙甲甲乙甲”、“乙甲乙甲甲”,“乙乙甲甲甲”、“甲乙乙甲甲”、“甲甲乙乙甲”, 五局三胜,所以甲最终获胜的概率为,比较和,当,，对甲采用五局三胜制有利；,两种赛制甲乙最终获胜的概率相同。,注：, 相互独立事件至少发生一次的概率计算, 区分事件的互斥性和独立性；,若事件 A1，A2，An 相互独立, 则, 一般根据实际背
17、景判断事件的独立性。,例6,设每门炮射击一飞机的命中率为 0.6 ,现有若干,门炮同时独立地对飞机进行一次射击，,问需要多少门,炮才能以 0.99 的把握击中一飞机。,解 设需要 n 门炮。,Ak “第 k 门炮击中飞机”,B “飞机被击落”,故至少需要 6门炮才能以 0.99 的把握击中飞机。,某人做一次试验获得成功的概率仅为0.2，他持之以恒，不断重复试验，求他做10次试验至少成功一次的概率？做20次又怎样呢？,解：设他做k次试验至少成功一次的概率为pk，,则 p10 = P( A1 A2 A10 ),= 1 ( 1 0.2 )10 0.8926,Aj=第j次试验成功，j=1，2，,例7,
18、三、伯努利概型（概率论中最早研究的模型之一，也,是研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也,由它推导）,n重独立试验,在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各,结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。,伯努利概型,设随机试验E只有,两种可能结果，且,将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验,为n重伯努利试验，或称n重伯努利概型。,例1：某人打靶单发命中率为,现独立重复射,击3次，求恰好命中2发的概率。,解,表示“第i次命中”,表示“恰好命中两次”,定理（伯努利定理）P24,n重伯努利试验中,“事件,恰好发生k次”,即,的概率为：,例1,某人射击每次命中的概率为 0.7,现独
19、立射击 5,次，求正好命中 2 次的概率。,解,例2,从学校乘汽车去火车站一路上有 4 个交通岗，,到各个岗遇到红灯是相互独立的，,且概率均为0.3, 求,某人从学校到火车站途中2次遇到红灯的概率。,解 途中遇到 4次经交通岗为4重贝努利试验，其中,例3.,袋中装有30只红球, 70只蓝球,现从袋中有放,回地抽取5 次, 每次取1 只球, 试求:,1) 取出的5只球中恰有 2 只红球的概率;,2) 取出的5只球中至少有 2 只红球的概率；,解:,取到红球的概率为0.3 ,5 次取球相互独立,故为5 重伯努里概型,设 X 为取到红球的次数,1),2),在规划一条河流的洪水控制系统时需要研究出现,特大洪水的可能性。,假定该处每年出现特大洪水的概率,都是 0.1 ，,且特大洪水的出现是相互独立的，,求在今后,10年内至少出现两次特大洪水的概率。,解 设 A “出现洪水”,“不出现洪水”,例4,欢迎提出宝贵意见！,各位同学，未讲解到位的地方,
