1、一、条件概率,二、乘法定理,三、全概率公式与贝叶斯公式,四、小结,第五节条件概率,引例一 某班30名学生，男、女生人数及身高1.70米以上、以下的人数见表，求 1）任选一名学生身高1.70米以上的概率； 2）任选一名学生，则他是身高1.70米以上的男生 的概率； 3）任选一名学生， 发现是男生，则他 的身高在1.70米以 上的概率为多少？,问：以上2，3的提法有何不同？,将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.,分析,事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记
2、为,1. 引例二,一、条件概率,同理可得,为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.,2. 定义,3. 性质,请思考：,条件概率的计算方法：法一：公式计算法;法二：直接计算法（缩小样本空间).,例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”试求条件概率 P(B|A).,解,由条件概率的公式得,例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?,设
3、 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件，B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,则有,解,（1）某中学生在投篮时第二次才投中的概率。（2）某战士在打靶时第二次才中靶的概率。（3）某人掷硬币时第二次才掷出正面的概率。（4） 某考生第二年才考上大学的概率。,这些应是两事件积的概率。,（5）已知一学生没有答对老师课堂提问，试求另一位学生回答正确的概率，这是条件概率。,注意P(AB)与P(A | B)的区别！,条件概率P(A|B)与P(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,P(A)与P(A |B)的区别在
4、于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.,条件概率P(A|B)与P(A)数值关系,条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小. 那么,是否一定有:,或 P(A|B) P(A)?,P(A|B) P(A)?,请思考！,条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系,若,一般地,监狱看守通知三个囚犯, 在他们中要随机地选出一个处决 , 而把另外两个释放. 囚犯甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁将获得自由.,因为我已经知道他们两人中至少有一
5、人要获得自由，所以你泄露这点消息是无妨的.,甲,如果你知道了你的同伙中谁将获释，那么，你自己被处决的概率就由1/3增加到1/2,因为你就成了剩下的两个囚犯中的一个了.,乙,丙,NO！,二、 乘法定理,乘法公式应用举例,一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解:
6、 设Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),例3 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容
7、易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.,先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,三、全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综
8、合运用,加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥,乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0,1. 样本空间的划分,2. 全概率公式,全概率公式,图示,证明,化整为零各个击破,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,例4 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,30%,20%,50%,
9、2%,1%,1%,由全概率公式得,30%,20%,50%,2%,1%,1%,例5 对一个联机的计算机系统的询问来自5条通讯线，已知计算机系统接受的报文来自这5条线的百分比分别为20%,30%,10%,15%,25%；来自这5条线的报文超过100字母的概率分别为0.4，0.6，0.2，0.8，0.9；问随机地选择一询问，其长度超过100个字母的概率为多少？,解: 设A=“长度超过100个字母”,由全概率公式,=报文来自第i条线, i=1,2,3,4,5,实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.,
10、有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .,1,1红4白,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,求P(A1|B),运用全概率公式计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,称此为贝叶斯公式.,3. 贝叶斯公式,贝叶斯资料,证明,例6,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由贝叶斯公式得,解,例7,由贝叶斯公式得所求概率为,上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率.,而在得到信息之后再重新加以修正的
11、概率 0.97叫做后验概率.,先验概率与后验概率,在不了解案情细节(事件B)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，,比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯.,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.,甲,乙,丙,P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情细节后, 这个估计就有了变化.,P(A1 | B),知道B发生后,P(A2 | B),P(A3 | B),例8,由贝叶斯公式得所求概率为,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,四、小结,乘法定理,贝叶斯资料,Thomas Bayes,Born: 1702 in London, EnglandDied: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England,
