1、,目录,第1章 函数极限连续,1.1 函数,1.4 函数的连续性,1.2 极限的概念,1.3 极限的运算,高等数学,高等数学,主要内容,1.2.1 数列的极限,1.2.3 无穷小量和无穷大量,1.2.2 函数的极限,1.2 极限的概念,截丈问题 庄子（前369年前286年，战国）曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”,每天取后木棒所剩的长度：,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,减少的趋势如何?,1.2 极限的概念,高等数学,刘徽（魏晋，九章算术方田章圆田术）：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术,1.2.1 数列的极限,1.2 极限的概念
2、,高等数学,1.2.1 数列的极限,1.2 极限的概念,高等数学,1.2.1 数列的极限,1.2 极限的概念,高等数学,1.2.1 数列的极限,1.2 极限的概念,当边数不断增加时,正多边形的周长、面积的变化趋势如何?,高等数学,观察下列数列的变化趋势,0,1,（来回摆动）,（无限增大）,例,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,高等数学,定义12,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,注意,高等数学,0,1, 0,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,高等数学,0,2,1,1,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,高等数学,0.3，0.33，0.333，0.333,n
3、个,随n增大数 列的项也无限增大，也不趋于任何定数,无极限.,1，1，1，1，(1)n+1，,正负交错，n无限增大，数列不趋于任何定数，无极限.,1，3，5， ，2n1，,1.2 极限的概念,1.2.1 数列的极限,高等数学,x、y的变化趋势,x: x趋向正无穷大（x+）,y: y无限接近于常数0 (y0),1.2 极限的概念,高等数学,即对函数y=( )x,当 x+时y0,再看函数f(x)=( )x的图象,1.2 极限的概念,高等数学,1.2 极限的概念,高等数学,定义13,1.2 极限的概念,高等数学,解：,因为，x+和x-可以写为x,作 图象,定理11,1.2 极限的概念,高等数学,已知
4、函数y=arctanx,试讨论当x时，y=arctanx是否有极限，为什么？,x+时，arctan x,x-时，arctan x -,解：作图,1.2 极限的概念,高等数学,已知函数y=sin x,判断当x时，y=sin x是否有极限，为什么？,解：,1.2 极限的概念,高等数学,不存在,观察下列极限是否存在，如存在请写出极限：,（1）（2） （3）,（4） （5）,不存在,课堂练习,1.2 极限的概念, （6）设 ，则,不存在,高等数学,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,问题,当 时，函数 的变化趋势。,当 时，函数 值越来越接近4,高等数学,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限
5、,定义14,高等数学,（）定义中“xx0”表示x从小于x0和大于x0的两个方向趋近于x0；（）定义中考虑的是xx0时函数f(x)的变化趋势,并不考虑在x0处f(x)的情况 . ( 3 ) 由极限的定义19容易得到以下两个结论：,注意,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,考察下列函数，写出当x2时函数的极限并作图验证,解：,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,解,（）设f(x)=sinx,作图,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,（）设f(x)=cosx,作图,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,=0,=8,=0,=1,=6,返回目
6、录,课堂练习,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,定义15,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,左极限与右极限的关系,定理12,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,解 ：,讨论函数 当 时的极限,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,解：,讨论函数 当 时的极限是否存在,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,课堂练习,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,1.2 极限的概念,1.2. 函数的极限,高等数学,定义16,1.2 极限的概念,1.2. 无穷小量
7、和无穷大量,在课堂练习的A与C中，变量在其变化过程中均有极限，但A的极限为0，而C的极限不为0；为了今后学习方便，我们将以0为极限的这一类变量给以以下定义：,在某一变化过程中以零为极限的变量为无穷小。一般用 表示。,如当 时，sin x是无穷小；当 时， 是无穷小,高等数学,注意,1.2 极限的概念,1.2. 无穷小量和无穷大量,高等数学,在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质：,性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小,性质2：有界函数与无穷小的乘积为无穷小,性质3：有限个无穷小的乘积为无穷小,1.2. 无穷小量和无穷大量,高等数学,利用无穷小的性质,求下列函数的极限,=0,=0,=0,
8、=0,=0,A,B,课堂练习,1.2 极限的概念,1.2. 无穷小量和无穷大量,高等数学,定义17,1.2 极限的概念,1.2. 无穷小量和无穷大量,同样，如当 时，函数 与 极限均不存在，但前者的发展趋势是绝对值越来越大。我们把前者这一类情况的变量给以下定义：,在某一变化过程中，绝对值越来越大的变量为无穷大。一般用 表示。为方便起见，我们也称“函数的极限是无穷大”，并记为,高等数学,（1） 无穷大是个变量，不是常数,（2） 无穷大总和自变量的变化趋势相关联,注意,1.2 极限的概念,1.2. 无穷小量和无穷大量,高等数学,例如：,定理13,1.2 极限的概念,1.2. 无穷小量和无穷大量,高
9、等数学,指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小,解:,因为 时， ，所以 时， 是无穷小,因为 时， ，所以 时， 是无穷大,解:,解:,因为 时， 所以 时， 是无穷小,因为 时， 所以 时， 是无穷大,因为 时， 所以 时， 是正无穷大,1.2 极限的概念,1.2. 无穷小量和无穷大量,高等数学,指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小,B,课堂练习,1.2 极限的概念,1.2. 无穷小量和无穷大量,高等数学,小结,1.2 极限的概念,数列极限与函数极限的概念 左右极限定理 无穷小量与无穷大量的概念及性质,高等数学,作业,1.2 极限的概念,习题, 12 13 14 15 16,高等数学,
