1、一、数列的定义,数列极限是整个数学分析最重要的基础之一, 它不仅与函数极限密切相关，而且为今后学习级数理论提供了极为丰富的准备知识.,数学分析 第二章 数列极限,二、一个经典的例子,六、一些例子,五、再论 “ - N ”定义,四、按定义验证极限,三、收敛数列的定义,*点击以上标题可直接前往对应内容,为数列.,则称,若函数 f 的定义域为全体正整数的集合,或简记为 an. 这里 an,所以我们也将数列写成,称为数列 an 的通项.,数列的定义,因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,后退 前进 目录 退出,数列的定义,一个经典的例子,无限制地进行下去.,我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度
2、列出：,第一天截下,第二天截下,第n天截下,这样就得到一个数列:,古代哲学家庄周所著的庄子 天下篇引用了一句,话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”.,一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这样的过程可以,它的意思是:,一个经典 的例子,随着 n 的无限增大而无限趋于 0 .,收敛数列的定义,为一个数列, a 为一个常数,的正数,能无限地接近某个常数 a ,若对于任意,总存在正整数 N, 使当 n N 时,记作,收敛数列的定义,若 不收敛, 则称 为发散数列.,注 定义1 这种陈述方式，通常称为 “ - N ”定义.,收敛数列的定义,例2 用定义验证,分析 对于任意的正数 ,只要,所以,证
3、,要使,即可.,按定义验证极限,只要 即可.,例3 用定义验证,分析,注意 解这个不等式是在 的条件下进行的.,按定义验证极限,证 对于任意的正数 ,即,按定义验证极限,取,所以,因此证得,故对于任意正数,有,按定义验证极限,再论 “ - N ”定义,从定义及上面的例题我们可以看出:,项与定数 a 的接近程度.,与 a 接近的程度愈高；,与 a 可以任意接近.,它暂时看作是确定不变的.,显然正数 愈小,表示 a n, 是任意的, 这就表示 an,要注意， 一旦给出，在接下来计算 N 的过程中,再论 “ - N ”定义,定义 1,均可看作任意正数,再有, 我们还可以限定 小于某一个正数, 1 )
4、.,此外，又因 是任意正数,所以,故定义 1 中的不等式,( 比如,事实上, 对 0 1 若能验证 an 满足,那么对 1 自然也可以验证成立.,再论 “ - N ”定义,则当 n N1 = 2N 时, 对于同样的 , 惟一确定.,求 N 的 “ 最佳性 ” .,也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追,2. N 的相对性:从定义1 中又可看出,不同, N 当然也会不同.,随着 的取值,但这并不意味着 N 是由,例如, 当 n N 时, 有,更应有,再论 “ - N ”定义,3. 极限的几何意义,示当 n N 时,所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 之内，,而在 之外, an
5、至多只有有限项( N 项 ).,反过来, 如果对于任意正数 , 落在 之外至,多只有有限项,设这些项的最大下标为 N, 这就表,以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是:,再论 “ - N ”定义, an 的有限多项, an 不以 a 为极限的定义也可陈述为:,之外有 an 中的无限, an 不以任何实数 a 为极限.,注 an 无极限（即发散）的等价定义为:,则称数列 an 收敛于a .,这样,存在,再论 “ - N ”定义,多项.,以下定理显然成立, 请读者自证.,4.无穷小数列和无穷大数列,再论 “ - N ”定义,再论 “ - N ”定义,一些例子,a 为极限.,又因 a 是任意的, 所以 发散.,证 对于任意实数 a, 取,之外有无限多,所以由定义1,不以,个偶数项（奇数项）.,满足,一些例子,例6 证明,解,从而,一些例子,证 我们用两种方法来证明.,例7 证明,1) 任给正数,有项都能使不等式 成立即可.,注 这里我们将 N 取为正数, 而非正整数.,N 只是表示某个时刻,实际上,保证从这一时刻以后的所,一些例子,没有定义.,可知只需取,注 这里假定 0 1 是必要的, 否则 arcsin 便,一些例子,1. 极限定义中的 “ ” 是否可以写成 “,” , 为什么?,请依据极限定义证明:,
