1、1库仑定律的发现和验证库仑定律是电磁学的基本定律之一。它的建立既是实验经验的总结，也是理论研究的成果。特别是力学中引力理论的发展，为静电学和静磁学提供了理论武器，使电磁学少走了许多弯路，直接形成了严密的定量规律。从库仑定律的发现可以获得许多启示，对阐明物理学发展中理论和实验的关系，了解物理学的研究方法均会有所裨益。卡文迪什（Henry Cavendish，17311810） 。他在 1773 年用两个同心金属壳作实验，如图 21。外球壳由两个半球装置而成，两半球合起来正好形成内球的同心球。卡文迪什这样描述他的装置：“我取一个直径为 12.1 英寸的球，用一根实心的玻璃棒穿过中心当作轴，并覆盖以
2、封蜡。然后把这个球封在两个中空的半球中间半球直径为 13.3 英寸，1/20 英寸厚。然后，我用一根导线将莱顿瓶的正极接到半球，使半球带电。 ”卡文迪什通过一根导线将内外球联在一起，外球壳带电后，取走导线，打开外球壳，用木髓球验电器试验内球是否带电。结果发现木髓球验电器没有指示，证明内球没有带电，电荷完全分布在外球上。卡文迪什将这个实验重复了多次，确定电力服从平方反比定律，指数偏差不超过 0.02。卡文迪什这个实验的设计相当巧妙。他用的是当年最原始的电测仪器，却获得了相当可靠而且精确的结果。他成功的关键在于掌握了牛顿万有引力定律这一理论武器，通过数学处理，将直接测量变为间接测量，并且用上了示零
3、法精确地判断结果，从而得到了电力的平方反比定律。卡文迪什为什么要做这个实验呢？话还要从牛顿那里说起。牛顿在研究万有引力的同时，还对自然界其他的力感兴趣。他把当时已知的三种力重力、磁力和电力放在一起考虑，认为都是在可感觉的距离内作用的力，他称之为长程力（long-range force） 。他企图找到另外两种力的规律，但都未能如愿。磁力实验的结果不够精确。他在原理的第三篇中写道：“重力与磁力的性质不同。磁力不与所吸引的物质的量成比例。就其与距离的关系，并不是随距离的平方而是随其三次方减小。这是我用粗略的试验所测的结果。 ”至于电力，他也做过实验，但带电的纸片运动太不规则，很难显示电力的性质。在长
4、程力之外，他认为还有另一种力，叫短程力（short-range force） 。他在做光学实验时，就想找到光和物质之间的作用力（短程力）的规律，没有实现。他甚至认为还有一些其他的短程力，相当于诸如聚合、发酵等现象。卡文迪什和米切尔的工作牛顿的思想在卡文迪什和另一位英国科学家米切尔的活动中得到了体现。米切尔是天文学家，也对牛顿的力学感兴趣。在 1751 年发表的短文论人工磁铁中，他写道：“每一磁极吸引或排斥，在每个方向，在相等距离其吸力或斥力都精确相等按磁极的距离的平方的增加而减少， ”他还说：“这一结论是从我自己做的和我看到别人做的一些实验推出来的。但我不敢确定就是这样，我还没有做足够的实验，
5、还不足以精确地做出定论。 ”既然实验的根据不足，为什么还肯定磁力是按距离的平方成反比地减少呢？甚至这个距离还明确地规定是磁极的距离，可是磁极的位置又是如何确定的呢？显然，是因为米切尔先已有了平方反比的模式。在米切尔之前确有许多人步牛顿的后尘研究磁力的规律，例如：哈雷（1687 年） 、豪克斯比、马森布洛克等人都做过这方面的工作，几乎连绵百余年，但都没有取得判决性的结果。米切尔推断磁力平方反比定律的结论可以说是牛顿长程力思想的胜利，把引力和磁力归于同一形式，促使人们更积极地去思考电力的规律性。米切尔和卡文迪什都是英国剑桥大学的成员，在他们中间有深厚的友谊和共同的信念。米切尔得知库仑发明扭秤后，曾
6、建议卡文迪什用类似的方法测试万有引力。这项工作使卡文迪什后来成了第一位图 21 为卡文迪什两个同心金属壳作实验2直接测定引力常数的实验者。正是由于米切尔的鼓励，卡文迪什做了同心球的实验。但是卡文迪什的同心球实验结果和他自己的许多看法，却没有公开发表。直到 19 世纪中叶，开尔文（即 W汤姆生）发现卡文迪什的手稿中有圆盘和同半径的圆球所带电荷的正确比值，才注意到这些手稿的价值，经他催促，才于 1879 年由麦克斯韦整理发表。卡文迪什的许多重要发现竟埋藏了一百年之久。对此，麦克斯韦写道：“这些关于数学和电学实验的手稿近 20 捆， ”其中“物体上电荷（分布）的实验，卡文迪什早就写好了详细的叙述，并
7、且费了很大气力书写得十分工整（就像要拿出去发表的样子） ，而且所有这些工作在1774 年以前就已完成，但卡文迪什（并不急于发表）仍是兢兢业业地继续做电学实验，直到 1810 年去世时，手稿仍在他自己身边。 ”卡文迪什出生于贵族家庭，家产厚禄，他都没有兴趣，一心倾注在科学研究之中。早年攻化学和热学，发现氢氧化合成水。他后来做的电学实验有：电阻测量，比欧姆早几十年得到欧姆定律；研究电容的性质和介质的介电常数，引出了电位的概念；他发现金属的温度越高，导电能力越弱，等等。他的同心球实验比库仑用扭秤测电力的实验早 11 年，而且结果比库仑精确。对于卡文迪什把全部心血倾注在科学研究工作上的这种精神，麦克斯
8、韦写道：“卡文迪什对研究的关心远甚于对发表著作的关心。他宁愿挑起最繁重的研究工作，克服那些除他自己没有别人会重视甚至也没有别人知道的那些困难。我们毋庸怀疑，他所期望的结果一旦获得成功，他会得到多么大的满足，但他并不因此而急于把自己的发现告诉别人，不象一般搞科研的人那样，总是要保证自己的成果得到发表。卡文迪什把自己的研究成果捂得如此严实，以致于电学的历史失去了本来面目。 ”卡文迪什性情孤僻，很少与人交往，唯独与米切尔来往密切，他们共同讨论，互相勉励。米切尔当过卡文迪什的老师，为了“称衡”星体的重量，曾从事大量天文观测。他们的共同理想是要把牛顿的引力思想从天体扩展到地球，进而扩展到磁力和电力。米切
9、尔发现了磁力的平方反比定律，但他没能完成测量电力和地球密度的目标。卡文迪什正是为了实现米切尔和他自己的愿望而从事研究。可以说，米切尔和卡文迪什是在牛顿的自然哲学的鼓舞下坚持工作的。他们证实了磁力和电力这些长程力跟引力具有同一类型的规律后，并不认为达到了最终目标，还力图探求牛顿提出的短程力。卡文迪什在他未发表的手稿中多处涉及动力学、热学和气体动力学，都是围绕着这个中心，只是没有明确地表达出来。米切尔则把自己对短程力的普遍想法向普利斯特利透露过，在普利斯特利的著作1772 年发表的光学史一书中记述了米切尔的思想。库仑的扭秤实验关于库仑发明扭秤，并用扭秤精确地测量电力和磁力的实验，已经在别的地方有详
10、尽描述，这里只想探讨一个问题，就是库仑是不是事先就有平方反比的思想框架？从史料中可以看到如下几点；1库仑虽然直接测量了电荷之间作用力与距离的关系，但精确度毕竟有限，如果用平方反比关系表示，其指数偏差可达 0.04。如果库仑不是先有平方反比的概念，他为什么不用 或 来表示呢？04.21rF96.1r2库仑并没有改变电量进行测量，而是说“假说的前一部分无需证明” ，显然他是在模仿万有引力定律，认为电力分别与相互作用的两个电荷量成正比，就如同万有引力分别与相互作用的两个物体的质量成正比一样。3库仑在另一篇论文中还提到磁力的平方反比关系，写道：“看来，磁流体即使不在本质上，至少也在性质上与电流体相似。
11、基于这种相似性，可以假定这两种流体遵从若干相同的定律。 ” 库仑定律是库仑通过扭秤实验总结出来的库仑扭秤的示意图如图，在细金属丝的下端悬挂一根秤杆，它的一端有一个小球 A，另一端有一平衡体 P，在 A 旁放置一个同它一样大小的固定小球 B。为了研究带电体间的作用力，先使 A 和 B 带一定电量，这时，秤因 A 端受力而偏转。扭转悬丝上端的旋钮，图 22 为库仑扭秤实验3使小球 A 回到原来的位置。平衡时悬丝的扭力矩等于电力施在 A 上的力矩。如果悬丝的扭转力矩同扭角间的关系己知，并测得秤杆的长度，就可以求出在此距离下 AB 之间的作用力。库仑的实验当然是认真的，他如实地发表了实验结果。不过，他
12、在行文中用了如下词汇：“非常接近 1641，可见，磁力和距离的平方成反比” 。显然，库仑在研究电力和磁力时也是把它们跟万有引力类比，事先建立了平方反比的概念。类比方法的意义从库仑定律的发现经过我们可以看到类比在科学研究中所起的作用。如果不是先有万有引力定律的发现，单靠实验具体数据的积累，不知要到何年才能得到严格的库仑定律的表达式。实际上，整个静电学的发展，都是在借鉴和利用引力理论的已有成果的基础上取得的。我们可以从下面的年表中看到概况。库仑法国工程师和物理学家。1736 年 6 月 14 日生于昂古莱姆。他的最大贡献是在研究静电力和静磁力方面的成就。 库仑在中学时期就爱好数学和物理，后来在梅济
13、耶尔进工程学校，1761 年毕业，入法国兵工团任技术军官，三年后又被派往加勒比海法属马提尼克岛担任建造波旁要塞的工程师。1772 年回国，从此开始科学研究工作，1781 年被选为法国科学院院士。1806 年 8 月 23 日在巴黎逝世。 库仑先在应用力学，如结构力学、梁的断裂、砖石建筑、土力学、摩擦理论、扭力等方面做了许多工作,他也是测量人在不同工作条件下做的功（人类工程学）的第一个尝试者。由于这些卓越成就，他被认为 18 世纪欧洲伟大工程师之一。 1773 年法国科学院悬奖征求改进船用指南针的方案，库仑就在此时开始转而研究静电力和静磁力。他注意到以往把磁针轴托在细小支点上不免要受到摩擦力的影
14、响，就改用头发丝或蚕丝把它悬挂起来以消除摩擦所引起的误差。这一改进使他获得了 1777 年法国科学院的奖金。他同时还测得作用在细丝上的扭力与磁针偏转的角度成正比，从而能计算磁力的大小。这就使他提出了一种可以精确测量微小力的扭秤。为了用扭秤测量磁力，库仑还对金属细丝(悬丝) 的转矩进行了许多理论和实验研究，并于 1784 年提出了细丝中转矩的正确公式： ，式中 M 为转矩， 为扭转系数, 为扭转角，d 和 l 分别为细丝ld4的直径和长度。17851789 年间他用扭秤非常精确地测量了静电力和静磁力，并总结出一条现称为库仑定律的著名定律，即静电或磁的吸引或排斥力都与距离二次方成反比。 在对电学和
15、磁学的研究方面，他还提出过带电物体因漏电而损失电量的衰减公式和分子的极化模型等。而极化模型又是以后安培（A M Ampere ）提出分子电流的重要思想基础。库仑扭秤实验在电学发展史上有着重要的地位，它是人们对电现象的研究从定性阶段进入定量阶段的转折点。大约 100 年以后，麦克斯韦在剑桥完成了一个同卡文迪什实验相类似的实验，得到 的上限为121600。1936 年，S.J. 普林顿和 W.E.劳顿的实验给出210 -9。最近的一个结果是 E.R.威廉斯、J.E.费勒和 H.A.希尔在 1971 年提供的，他们求得 的极限值为(2.73.1)10 -16。关于点电荷间相互作用的定律，是静电学的理
16、论基础，也是电磁学的基本定律之一，于 1785 年为法国物理学家库仑发现。库仑定律的内容是：相对于惯性参照系处在静止状态的两个点电荷（相互之间距离远大于其本身线度的带电体）在空气中（严格讲在无限真空中）的相互作用力的大小同每一个点电荷的电荷量成正比，同两点电荷间的距离的二次方成反比；作用力的方向沿着这两点电荷的连线；当这两点电荷带同号电荷时，它们之间的作用力是排斥力；带异号电荷时，它们之间的作用力是吸引力。 4设 q1 和 q2 分别为两点电荷的电量， r 是由 q1 指向 q2 的矢量,其量值等于 q1 和 q2 之间的距离（图 1），则 q1 作用于 q2 的静电力：f 1 2 为 ；在
17、SI 单位制中， 米Kf321 9009875.4K法,其中 0 称为真空介电常数， 08.8541878210 -12 法/米。在 CGS 静电系单位制中 K 等于 1，没有量纲。1785 年至 1789 年间，库仑在法国皇家科学院备忘录中，发表了四篇关于电学研究的论文。前三篇论文论述了他用两个实验得出的电力作用的平方反比定律。其中一个实验就是人们熟悉的库仑扭秤实验。1785 年，库仑利用自己的有关扭转力方面的知识，设计制作了一台精密的扭秤，进行了测定电力作用的实验。如图 74，他在一个直径和高均为 12 英寸的玻璃圆缸上端安一银质悬丝，悬丝下挂一横杆，杆的一端为木质小球，另一端贴一小纸片，
18、作配平用。圆缸上有 360 个刻度，悬丝自由放松时，横杆上的小木球指到 0。他先使另一个相同小球带电，然后使它与杆端小球相接触后分开，以便两小球均带同种等量的电荷，互相排斥。当达到平衡时，在这一位置上扭力的大小与电排斥力是相等的。库仑分别使小球相距 36 个刻度、18 个刻度和 8.5 个刻度，大体上按缩短一半的比例来观测，结果悬丝分别扭转了 36 个刻度、144 个刻度和 575.5 个刻度。这表明间距为 11/2 1/4，而转角为 l416。最后一个数据由于漏电的缘故而有些偏差。从这样的实验中，库仑得出了“带同类电的两球之间的排斥力，与两球中心之间距离的平方成反比”的结论。在接着的第二篇论
19、文里，库仑研究了两个异类电荷之间的吸引力。在这种情况下，扭秤方法遇到了麻烦。因为，当活动电荷在扭力为零的位置同固定电荷的位置之间运动时，扭力随与一侧的距离线性变化，而电吸引则随与另一侧的距离的反平方关系变化，两者之间即使能够达到平衡，也是一种不稳定的平衡。库仑写道，即使能达到平衡，最后“两球也往往会相碰，这是因为扭秤十分灵活，多少会出现左右摇摆的缘故。”然而，尽管如此，库仑声称他还是首先使用了扭力同电吸引力平衡的方法进行了测量，并说他由此得到了电吸引力亦满足反平方律的结论。库仑把电的吸引力同地球对物体的吸引力进行类比，设计了他的电摆实验。库仑记录了三次实验。在这三次实验中，纸片与球心距离之比为
20、 368，三次的振动周期之比为 204160。如果电引力符合平方反比定律，当距离之比为 368 时，电摆的振动周期应为 204053，因此，实验测定和理论计算之间存在差异。库仑对实验结果进行了分析，认为漏电是产生误差的主要原因。他发现，在最佳的情况下，实验过程中，每分钟因漏电损失总电量的 1/40，而整个实验需时 4 分钟。经过对漏电原因的修正，实验值和理论计算值基本符合。于是他得出结论：“正电与负电的相互吸引力，也是与距离的平方成反比的”。可见，关于异类电荷吸引力的平方反比定律的确凿实验证据，最早并不是来自扭秤实验，而是来自库仑的电摆实验；而像富兰克林或者普列斯特利做过的那一类实验，则只适用
21、干同类电荷之间的排斥力。在同篇论文里，库仑还分别通过扭秤法和摆动法来测定磁力，也得出了同距离平方成反比的规律。值得注意的是，在用摆动法测量磁力时，库仑是在扣除了与不加外磁力的自由振动相对应的地磁本底之后，再对数据进行分析的。这种处理方法本来也可以用于有地球重力参加的电吸引力或者电排斥力所引起的摆动，只要照样把重力本底的效应扣除就可以了。所以，库仑本来也是可以用他的摆动法发现电排斥力的平方反比定律的。库仑还根据对称性利用相同的金属球互相接触的方法，巧妙地获得了各种大小的电荷，得出了电荷间的作用力与它们所带电量的乘积成正比的关系，从而完整地得出： 21rqkf5这就是现在所说电相互作用力的库仑定律
22、。实际上，在库仑的时代，人们还没有掌握规定电量大小的方法。半个世纪之后高斯（CFGauss，17771855）于 1839 年左右最早提出，应当由库仑定律本身来定义电荷的量度，即两个距离为单位长度的相等电荷之间的作用等于单位（或指定数值的）力时，它们都具有单位电量。卡文迪许（Henry Cavendish，1731 一 1810）在十几年以前，即 1773 年，卡文迪许曾早于库仑做过类似的实验，但是他却发表了两篇只具有次要材料的电学论文，没有引起人们的注意约在一个世纪以后，即在 1879 年，麦克斯韦出版了一本题为“尊敬的亨利卡文迪许的电学研究”的书，才把卡文迪许的工作公布于世麦克斯韦在书中说
23、：“这些论文证明卡文边许几乎预料到电学上所有的伟大事实，这些伟大的事实后来通过库仑和法国哲学家们的著作而闻名于科学界” 遗憾的是由于卡文迪许没能及时发表他的研究成果，因此对当时的科学界没有起到应有的作用卡文迪许认为：电荷分布在金属球表面是由于电荷之间的作用力和其距离平方成反比的结果他设想有一带电导体球面 abcd，用 ab 平面把它分为两半 acb 和 adb，考察 P 点的电荷既受上半球电荷的作用，也受下半球电荷的作用，虽然 acb 部分的电荷比 adb 部分的电荷少，但是上部分离 P 点的距离比下部分要近些，如果无电荷的作用力正比于 r2 ，则上半球对 P 点的作用将准确地补偿下半球对它的
24、作用，所以 P 点的电荷没有移动，在静电平衡时，P 点不带电如果电力作用正比于 rn ，而此处 n2，就会出现另外的情况如果 n2，则下半球的作刚将大于上半球的作用，正电荷要从 P 点流向上半球，使 P 点带负电；如果 n2，P 点将有负电荷流向上半球，使 P 点带正电因此当研究了球内 P 点的电状态后，就能确定公式 中的nrKf)(n 值。卡文迪许的实验和库仑晚些时候的实验稍有不同，其装置如图 76，两个同心球壳固定在支架上，外球壳由两个可以开合的半球壳组成当外球壳合上时，可以通过其上的小孔，用导线连接二球壳，使整个系统带电后，取走导线，移开外一壳，用木髓球作为验电器，检查内外壳带电的情况，发现内球不带电根据这一实验，卡文迪许得出 n21/50 ，即指数有 0.02 的偏差后来麦克斯韦又重复了卡文迪许的实验，经过计算，得出 n21/2160 ，于是库仑定律完全被证实了。库仑定律是电磁学中的一个基本定律，它的建立使电磁学进入了定量的研究，从而使电磁学真正成为一门科学，并为数学引入电磁学打开了道路，为继续发展电动力学奠定了基础图 23 卡文迪许的金属球表面球模型
