1、练习 1一、选择题（310=30）1下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（ ） A内角和为 360 B外角和为 360 C不确定性 D对角相等2 ABCD 中，A=55，则B、C 的度数分别是（ ） A135，55 B55，135 C125，55 D55，1253下列正确结论的个数是（ ） 平行四边形内角和为 360；平行四边形对角线相等；平行四边形对角线互相平分；平行四边形邻角互补A1 B2 C3 D44平行四边形中一边的长为 10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ） A4cm 和 6cm B20cm 和 30cm C6cm 和 8cm D8cm 和 12cm5在 ABC
2、D 中，AB+BC=11cm，B=30，S ABCD=15cm2，则 AB 与 BC 的值可能是（ ） AA5cm 和 6cm B4cm 和 7cm C3cm 和 8cm D2cm 和 9cm6在下列定理中，没有逆定理的是（ ） A有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;B直角三角形两个锐角互余;C全等三角形对应角相等;D角平分线上的点到这个角两边的距离相等.7下列说法中正确的是（ ） A每个命题都有逆命题 B每个定理都有逆定理C真命题的逆命题是真命题 D假命题的逆命题是假命题8一个三角形三个内角之比为 1：2：1，其相对应三边之比为（ ） A1：2：1 B1： ：1 C1：4：1 D1
3、2：1：29一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（ ）个A2 B3 C4 D510如图所示，在ABC 中，M 是 BC 的中点，AN 平分BAC，BNAN若 AB=14，AC=19，则 MN 的长为（ ） A2 B2.5 C3 D3.5二、填空题（310=30）11用 14cm 长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为 3：4，短边的比为_，长边的比为_ 12已知平行四边形的周长为 20cm，一条对角线把它分成两个三角形，周长都是 18cm，则这条对角线长是_cm13在 ABCD 中，AB 的垂直平分线 EF 经过点 D，在 AB 上的垂足为 E，若 ABCD的周A
4、A长为 38cm，ABD 的周长比 ABCD 的周长少 10cm，则 ABCD 的一组邻边长分别为A_14在 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，且 AB=BE，又 AE 的延长线交 DC 的延长线于点 F若AF=65，则 ABCD 的各内角度数分别为_15平行四边形两邻边的长分别为 20cm，16cm，两条长边的距离是 8cm，则两条短边的距离是_cm16如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的_和_，那么这两个命题是互为逆命题17命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_18在直角三角形中，已知两边的长分别是 4 和 3，则第三边的长是_19直角三角形两直角边的长分别为 8 和 10
5、，则斜边上的高为_，斜边被高分成两部分的长分别是_20ABC 的两边分别为 5，12，另一边 c 为奇数，且 a+b+c是 3的倍数，则 c应为_，此三角形为_三角形三、解答题（610=60）21如右图所示，在 ABCD 中，BFAD 于 F，BECD 于 E，若A=60，AAF=3cm，CE=2cm，求 ABCD 的周长22如图所示，在 ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF.A求证：（1）AE=CF；（2）AECF FCDAEB23如图所示， ABCD 的周长是 10 +6 ，AB 的长是 5 ，DEAB 于 E，DFCBA323交 CB的延长线于点 F，DE 的长
6、是 3，求（1）C 的大小；（2）DF 的长24如图所示， ABCD 中，AQ、BN、CN、DQ 分别是DAB、ABC、BCD、CDA 的平A分线，AQ 与 BN 交于 P，CN 与 DQ 交于 M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件） 25已知ABC 的三边分别为 a，b，c，a=n 2-16，b=8n，c=n 2+16（n4）.求证：C=9026如图所示，在ABC 中，AC=8，BC=6，在ABE 中，DEAB 于 D，DE=12，S ABE =60，求C 的度数27已知三角形三条中位线的比
7、为 3：5：6，三角形的周长是 112cm，求三条中位线的长28如图所示，已知 AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：1=229如图所示，ABC 的顶点 A 在直线 MN 上，ABC 绕点 A 旋转，BEMN 于 E，CDMN于 D，F 为 BC 中点，当 MN 经过ABC 的内部时，求证：（1）FE=FD；（2）当ABC 继续旋转，使 MN 不经过ABC 内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？30如图所示，E 是 ABCD 的边 AB 延长线上一点，DE 交 BC 于 F，求证：S ABF =SEFC A答案:一、1D 2C 3C 4B 5A 6C 7A 8B 9C 10C二、113
8、cm 4cm 128 139cm 和 10cm 1450，130，50，130 1510 16结论 题设 17同旁内角互补，两直线平行 185 或 19 2013 直角7032501,4,1三、21 ABCD 的周长为 20cm 22略 23 （1）C=45 （2）DF= 24略 6225略 26C=90 27三条中位线的长为：12cm；20cm；24cm 28提示：连结 BD，取 BD的中点 G，连结 MG，NG 29 （1）略 （2）结论仍成立提示：过 F 作 FGMN 于 G 30略练习 2一、填空题(每空 2 分,共 28 分 )1.已知在 中,AB =14 ,BC=16 ,则此平行四
9、边形的周长为 .cmcm2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 形, 再说明 (只需填写一种方法)3.如图,正方形 ABCD 的对线 AC、 BD 相交于点 O.那么图中共有 个等腰直角三角形.4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入ABCDAB CDO下列相应的空格上.(1)正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (第 3 题)(2)菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成;(3)矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成.5.矩形的两条对角线的夹角为 ,较短的边长为 12 ,则对角线长为 .60cmcm6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除
10、两个直角外,其余两个内角的度数分别为 和 .7.平行四边形的周长为 24 ,相邻两边长的比为 3:1,那么这个平行四边形较短的边长为cm.cm8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 .m(第 8 题) (第 10 题)9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为 12 和 6 ,那么这个平行四边形cm的面积为 .2cm10.如图, 是四边形 ABCD 的对称轴,如果 ADBC ,有下列结论 : (1)ABCD ;(2)AB=CD;(3)lAB BC;(4)AO=OC.其中正确的结论是 .(把你认为正确的结论的序号都填上)二、选择题(每题 3 分,共 24 分 )11.
11、如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（ ） A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形12.下列说法中,错误的是 ( )A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 平行四边形的对角相等 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4) 是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个14. 四边形 ABCD 中，AD/BC，那么 的值可能是（ ） A、3：5：6：4 B、3：
12、4：5：6 C、4：5：6：3 D、6：5：3：415.如图, 直线 ,A 是直线 上的一个定点,线段 BC 在直线 上移动,那么在移动过程中abab的面积 ( )CA.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定(第 15 题) (第 16 题) (第 17 题)16.如图, 矩形 ABCD 沿着 AE 折叠,使 D 点落在 BC 边上的 F 点处,如果 ,则 60BAFDAE等于 ( )AB CDEF1 m1AB CabABCDOlA. B. C. D. 1530456017.如图, 在 中, AB=AC=5,D 是 BC 上的点,DEAB 交 AC 于点 E,DFAC 交 AB 于点 F,AB
13、C那么四边形 AFDE 的周长是 ( )A.5 B.10 C.15 D.20 18.已知四边形 ABCD 中,AC 交 BD 于点 O,如果只给条件“ ABCD ”,那么还不能判定四形ABCD 为平行四边形, 给出以下四种说法:(1)如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形 ABCD 一定是平行四边形;(2)如果再加上条件“ ”,那么四边形 ABCD 一定是平行四边形;BCDA(3)如果再加上条件“AO=OC”,那么四边形 ABCD 一定是平行四边形;(4)如果再加上条件“ ”,那么四边形 ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是( ) A.(1)(2) B.(1)(3)(4) C.(2)(
14、3) D.(2)(3)(4)三、解答题(第 19 题 8 分, 第 2023 题每题 10 分,共 48 分) 19.如图, 中, DB=CD, ,AEBD 于 E.70C试求 的度数.DAE(第 19 题)20.如图, 中, G 是 CD 上一点, BG 交 AD 延长线于 E,AF=CG, .10DGE(1)试说明 DF=BG; (2)试求 的度数.AFD(第 20 题)21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图),使 AB=CD,EF=GH;(2)摆放成如图的四边形, 则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ;(3)将直角尺靠紧窗框的一个
15、角(如图),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图),说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是: .AB CDEABCDA BCDFEGABCD(图) (图) (图) (图)(第 21 题)22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由 .(第 22 题)答案1.60. 2.平行四边形 ;有一组邻边相等. 3.8. 提示:它们是 ., ACDBADOCBAO4.(1)等腰直角三角形; (2)等
16、腰三角形; (3)直角三角形. 5.24. 6. 135; 45. 7.3. 8.4. 提示:如图所示 ,将“十”字标志的某些边进行平移后可得到一个边长为 1 的正方m形,所以它的周长为 4 .(第 8 题)9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半.10. (1)(2)(4). 提示:四边形 ABCD 是菱形.11.B. 12.D. 13.C. 14.C. 15.C. 提示: 因为 的底边 BC 的长不变,BC 边上的高等于直线 之间的距离也不变,所ABC ba以 的面积不变.16.A. 提示:由于 .BAFDAEFDEF 9021,所 以通 过 折 叠 后 得 到 的是 由
17、17.B. 提示:先说明 DF=BF,DE=CE,所以四边形 AFDE 的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC.18.C. 19.因为 BD=CD,所以 又因为四边形 ABCD 是平行四边形 ,所以 ADBC ,所以,CB因为 . DC 20790, DAEDDAE中所 以 在 直 角20.(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB=DC,又 AF=CG,所以 AB AF=DC CG,即 GD=BF,又ABCDDG BF,所以四边形 DFBG 是平行四边形,所以 DF=BG; (2)因为四边形 DFBG 是平行四边形 ,所以 DFGB, 所以 ,同理可得
18、AFDGB,所以 . DGEBF10DGEAF21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ; (2)矩, 有一个是直角的平行四边形是矩形. 22.如图所示 ,连结对角线 AC、 BD,过 A、 B、 C、 D 分别作 BD、 AC、 BD、 AC 的平行线,且这些平行线两两相交于 E、 F、 G、 H,四边形 EFGH 即为符合条件的平行四边形.练习 31、把正方形 绕着点 ，按顺时针方向旋转得到正方形 ，边 与 交于ABCDAEFGBC点 （如图） 试问线段 与线段 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想HHGB2、四边形 ABCD、 DEFG 都是正方形，连接 AE、 C
19、G（1）求证： AE=CG；（2）观察图形，猜想 AE 与 CG 之间的位置关系，并证明你的猜想ABCDEF GHD CA BGHFE3、将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落到 D 处，折痕为EF（1）求证：ABEADF；（2）连接 CF，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论挑战自我：1、 (2010 年眉山市)如图，每个小正方形的边长为 1， A、 B、 C 是小正方形的顶点，则 ABC 的度数为（ ）A90 B60 C45 D302、 （2010 福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）A. 正三角形
20、 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形3 （2010 年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是 120，则这个正多边形的边数是（ ）A9 B8 C6 D44、 （2010 年福建福州中考）如图 4，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若AC=14，BD=8，AB=10，则OAB 的周长为 。5、 （2010 年宁德市）如图，在 ABCD 中，AEEB，AF2，则 FC 等于_6 题FEDCBA6、 (2010 年滨州)如图,平行四边形 ABCD 中, ABC=60,E、F 分别在 CD、BC 的延长线上,AB CDEFD第 5 题图FA E BCDAEBD,EFBC,DF
21、=2,则 EF 的长为 7、 (2010 年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形 ABCD是平行四边形，并予以证明 （写出一种即可）关系： ， ， CA， 180B已知：在四边形 中， ， ；求证：四边形 ACD是平行四边形8、 （2010 年宁波市）如图 1，有一张菱形纸片 ABCD， ， 。8AC6BD（1）请沿着 AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图 2 中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着 BD 剪开，请在图 3 中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长。（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两
22、种都不全等的平行四边形，请在图 4中用实线画出拼成的平行四边形。 （注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）周长为_ 周长为_9、 （2007 天津市）在梯形 ABCD 中，AD/BC，对角线 ACBD，且 ，BD=12c m，cAC5求梯形中位线的长。10、 （2007山东）如图，在周长为 20cm 的 ABCD 中， AB AD， AC、 BD 相交于点O， OE BD 交 AD 于 E，则 ABE 的周长为（ ） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cmDA BCDA BC DA BC DA BC（图 2）（图 1）（图 3） （图 4）AB CDABCD11 题10
23、 题11、 （2006山东）如图，在平行四边形 ABCD 中， AE BC 于 E， AF CD 于 F， EAF=45o，且 AE+AF= ，则平行四边形 ABCD 的周长是 2直击中考：1. （ 2011 安徽）如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD=6，BD =4，CD =3，E 、F、G、H分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ） 【答案】DA7 B9 C10 D112. （2011 山东威海）在 ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，连接 BE，交 AC 于点 F，则AF：CF（ ） A1 ：2 B1：3 C2：3 D2 ：5 【答案】A 3.
24、 （2011 四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第个图形一共有 1 个平行四边形，第个图形一共有 5 个平行四边形，第个图形一共有 11 个平行四边形，则第 个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案 】C图 图 图 图A55 B 42 C41 D294. （2011 宁波市）一个多边形的内角和是 720，这个多边形的边数是（ ） 【答案】CA 4 B 5 C 6 D 75. （2011 广东汕头）正八边形的每个内角为（ ） 【答案】 A120 B135 C140 D1446、 （ 2011 山东德州）图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形，
25、菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图 2） ，依此规律继续拼下去（如图 3） ，则第 n 个图形的周长是（ ） 【答案】C图 1 图 2 图 3（A） （B ） （C） （D）2n4n1n2n7. （2011 山东泰安）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1， S2，则 S1+S2 的值为（ ） 【答案】B A.17 B.17 C.18 D.198. （2011 山东泰安）如图，点 O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿 CE 折叠后，点B 恰好与点 O 重合，若 BC=3，则折痕 C
26、E 的长为（ ） 【答案】AA.2 B. C. D.6 3 3A1AA2A3BB1 B2B3CC2C1C3DD2 D1D39. （2011 四川重庆）如图，正方形 ABCD 中，AB6，点 E 在边 CD 上，且 CD3 DE将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连结 AG、CF下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF； SFGC3 其中正确结论的个数是( ) 【答案】CA1 B2 C3 D410. （2011 浙江省嘉兴）如图，五个平行四边形拼成一个含 30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙） 若 四个平行四边形面积的和为 14cm2，四边形ABCD 面积是 1
27、1cm2，则 四个平行四边形周长的总和为（ ） 【答案】A（A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm（第 10 题）FABCDHEG 11. （ 2011 重庆江津）如图,四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 ACBD,顺次连接四边形 ABCD各边中点,得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形 AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) 【答案】C四边形 A2B2C2D2是矩形; 四边形 A4B4C4D4是菱形;四边形 A5B5C5D5的周长 ; 四边形 AnBnCnDn的面积是4ba
28、12nabA. B. C. D.12. （2011 湖北武汉市）如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD ，点 E，F 分 别在 AB， AD 上，且 AE=DF连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H下列结论：（ ） 【答案】DAED DFB； S 四边形 BCDG= CG2；若 AF=2DF，则 BG=6GF其中正确的结论43A只有 B只有C只有 D A BCDEFGH第 12 题图13. （2011 山东烟台）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O 1、O 2 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 【答案】2O2O1 14. (2011 浙江
29、绍兴 ) 取一张矩形纸片按照图 1、图 2 中的方法对折，并沿图 3 中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】 :215. （2011 甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为 1，则第 n 个矩形的面积为 。 【答案】 14n16、 （ 2009 年宜宾）如图，菱形 ABCD 的对角线长分别为 ，以菱形 ABCD 各边的中点为ba、顶点作矩形 A1B1C1D1，然后再以矩形 A1B1C1D1的中点为
30、顶点作菱形 A2B2C2D2，如此下去，得到四边形 A2009B2009C2009D2009的面积用含 的代数式表示为 【答、案】 ab20）（ABCDA1 B1C1D1A2B2C2D2A3 B3C3D3图20图图3 17、 （ 2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为 1 的菱形 中， 连结对ABCD60角线 ，以 为边作第二个菱形 ，使 ；连结 ，再以ACAC11AC为边作第三个菱形 ，使 ；，按此规律所作的第 个菱1 21D6012 n形的边长为 【答案】 3nC2D2 C1D1CDAB18 （ 2011 山东日照，16，4 分）正方形 ABCD 的边长为 4，M、N 分别是 BC、CD
31、上的两个动点，且始终保持 AMMN当 BM= 时，四边形 ABCN 的面积最大 【答案】2; 19、 （ 2011 四川宜宾）如图，平 行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，E、F 在 AC 上，G、H 在 BD 上， AF=CE，BH=DG求证：GF HE HACBDOEGF【答案】证明：平行四边形 ABCD 中，OA=OC，由已知：AF=CE AFOA=CEOC OF=OE 同理得：OG=OH四边形 EGFH 是平行四边形 GFHE20、 （2011 四川成都 10 分） 如图，已知线段 ABCD，AD 与 BC 相交于点 K，E 是线段 AD上一动点.(1)若 BK= K
32、C，求 的值；52ABCD(2)连接 BE，若 BE 平分ABC，则当 AE= AD 时，猜想线段 AB、BC 、CD 三者之间有怎12样的等量关系?请写出你的结论并予以证明再探究：当 AE= AD ( )，而其余条件1n2不变时，线段 AB、BC、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明KECDA BKECDA B GF【答案】解：（1）ABCD，BK = KC， = = .52ABCDK52（2）如图所示，分别过 C、D 作 BECFDG 分别交于 AB 的延长线于 F、G 三点，BEDG，点 E 是 AD 的点， AB=BG；CDFG，CD AG ，四边形 CDGF
33、 是平行四边形，CD=FG；ABE =EBC ，BE CF，EBC=BCF ，ABE=BFC，BC=B F，AB-CD=BG-FG=BF=BC，AB=BC+CD.当 AE= AD ( )时， （ ）AB=BC+CD.1n21n21、 （ 2011贵州安顺10分）如图，在ABC 中，ACB=90 ，BC 的垂直平分线DE交BC于D，交AB 于 E，F 在DE上，且AF= CE=AE说明四边形ACEF是平行四边形；当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由第 25 题图【答案】 （1）证明：由题意知 FDC =DCA = 90EFCA AEF =EACAF = CE = AE F =AE
34、F =EAC =ECA 又AE = EAAECEAF，EF = CA， 四边形 ACEF 是平行四边形 （2 ）当B=30时，四边形 ACEF 是菱形 理由是：B=30，ACB=90，AC= ，DE 垂直平分 BC， BE=CEAB21又AE=CE ，CE= ， AC=CE，四边形 ACEF 是菱形AB2122、 （2011 山东滨州 10 分）如图，在ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点除外）的一个动点，过点 O 作直线 MNBC.设 MN 交BCA 的平分线于点 E,交BCA 的外角平分线于点 F，连接 AE、AF 。那么当点 O 运动到何下时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论
35、。（第 24 题图）FE NM OCBA【答案】当点 O 运动到 AC 的中点（或 OA=OC）时，四边形 AECF 是矩形2 分证明：CE 平分BCA,1=2，3 分又MNBC, 1=3，3=2，EO=CO. 5 分同理，FO=CO6 分EO=FO又 OA=OC, 四边形 AECF 是平行四边形7 分又1=2，4=5，1+5=2+4. 8 分又1+5+2+4=1802+4=909 分四边形 AECF 是矩形10 分23、 （ 2011 湖北襄阳 10 分) 如图 9，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与点 A，B 重合） ，连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转
36、90得到线段 PE，PE 交边 BC 于点 F，连接BE， DF.（1 ）求证：ADPEPB；（2 ）求CBE 的度数；（3 ）当 的值等于多少时， PFDBFP ？并说明理由. ABP PFED CBA图 9【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形A PBC90 ，AB AD，ADPAPD 90 1 分DPE 90 APDEPB90ADPEPB. 2 分（2 ）过点 E 作 EGAB 交 AB 的延长线于点 G，则EGPA90 3 分 GPFED CBA又ADPEPB，PDPE ，PAD EGPEGAP，ADAB PG ，APEGBG 4 分CBEEBG45. 5 分（3 ）方法一：
37、当 时，PFEBFP. 6 分21ABPADPFPB，APBF，ADP BPF 7 分设 AD ABa ，则 APPB ，BFBP 8 分a21aADP41 ，PDP522BF522 9 分FB又DPFPBF90， ADPBFP 10 分方法二：假设ADPBFP，则 .6 分PFBDADPFPB，APBF，ADP BPF 7 分 ， 8 分BFPD ， 9 分PB AP， 当 时，PFEBFP. 10 分21A24. （2011 湖南永州 10 分）探究问题：方法感悟：如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足EAF=45，连接 EF，求证 DE+BF=EF
38、感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到 ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=2， ABG=D=90,ABG+ABF=90+90=180，因此，点 G，B，F 在同一条直线上EAF=45 2+3=BAD-EAF=90-45=451=2， 1+3=45即GAF=_又 AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故 DE+BF=EF 321GEFDCBA（第 25 题）方法迁移：如图，将 沿斜边翻折得到 ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且ARtEAF= DAB试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜
39、想21EFDCBA（第 25 题）321GEFDCBA（第 25 题）解得图问题拓展：如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD，E，F 分别为 DC,BC 上的点，满足 ,DABEF21试猜想当B 与 D 满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由） EFDCBA（第 25 题）【答案】EAF、EAF、GFDE+BF=EF，理由如下：假设BAD 的度数为 ，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 得到 ABG，此时 AB 与 AD 重合，mm由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1= 2，ABG= D=90,ABG+ABF=90+90=18 0，因此，点 G，B，F 在
40、同一条直线上EAF= 2+3=BAD-EAF=m21 m211=2， 1+3= 21即GAF=EAF 又 AG=AE，AF=AFGAFEAFGF=EF，又 GF=BG+BF=DE+BF DE+BF=EF 当B 与D 互补时，可使得 DE+BF=EF25、 （ 2007 南 充 ） 如图， 等腰梯形 ABCD 中， AB15， AD20， C30点 M、 N 同时以相同速度分别从点 A、点 D 开始在 AB、 AD（包括端点）上运动（1）设 ND 的长为 x，用 x 表示出点 N 到 AB 的距离，并写出 x 的取值范围（2）当五边形 BCDNM 面积最小时，请判断 AMN 的形状ADCB MN
41、DCB MNA P解：（1）过点 N 作 BA 的垂线 NP，交 BA 的延长线于点 P （1 分）由已知， AM x， AN20 x 四边形 ABCD 是等腰梯形， AB CD， D C30， PAN D30在 Rt APN 中， PN ANsin PAN （20 x） ，12即点 N 到 AB 的距离为 （20 x） （3 分） 点 N 在 AD 上，0 x20，点 M 在 AB 上，0 x15， x 的取值范围是 0 x15 （4 分）（2）根据（1） ， S AMN AMNP x（20 x） （5 分）1242154x 0， 当 x10 时， S AMN有最大值 （6 分）4又 S 五边形 BCDNM S 梯形 S AMN，且 S 梯形 为定值， 当 x10 时， S 五边形 BCDN
