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概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第八章.doc

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资源描述

1、由于工作太忙,现在才把答案更新完整,多谢广大网友的支持与厚爱。第八章 方差分析与回归分析习题 8.1 单因素试验的方差分析习题 1粮食加工厂试验 5 种贮藏方法,检验它们对粮食含水率是否有显著影响. 贮藏前这些粮食的含水率几乎没有差别,贮藏后含水率如下表所示,问不同的贮藏方法对含水率的影响是否有明显差异(=0.05)?试验批号含水率(%) 1 2 3 4 5A1 7.3 8.3 7.6 8.4 8.3A2 5.4 7.4 7.1 A3 8.1 6.4 A4 7.9 9.5 10.0 因素 A(贮藏方法)A5 7.1 解答:本问题是在 =0.05 下检验假设H0:1=2=3=4=5, H1:1,

2、2,3,4,5 不全相等.计算出结果见表:1 2 3 4 5 Ti Ti2 j=1nixij2A1A2A7.3 8.3 7.6 8.4 8.35.4 7.4 7.18.1 6.47.9 9.5 10.039.919.914.527.47.11592.01396.01210.25750.7650.41319.39134.33106.57252.6650.413A4A57.1 T=108.8i=15Ti2ni856.19i=15j=1nixij2=863.36则 ST=i=15j=1njxij2-T2n=863.36-114108.8217.8286,SA=i=15Ti2ni-T2n=856.19

3、-114108.8210.66,SE=ST-SA=17.8286-10.667.17.方差分析表(见下表):方差来源 平方和 自由度 均方差 F 值 F 临界值 组间(因素A)组间(误差E)总和SA=10.66SE=7.17ST=17.83r-1=4n-r=913SA=2.665SE0.797F=SASE3.344F0.05(4,9)=3.63FF,拒绝 H0因为 F=8.9593.89=F0.05(2,12), 所以 F 落在拒绝域中,拒绝 H0, 即认为机器与机器之间存在显著差异.习题 3有某型号的电池三批,它们分别是 A、B、C 三个工厂所生产的,为评比其质量,各随机抽取 5 只电池为样

4、品,经试验得其寿命形式如下:A 40 48 38 42 45B 26 34 30 28 32C 39 40 43 50 50试在显著性水平 0.05 下,检验电池的平均寿命有无显著的差异,若差异是显著的,试求均值差 A-B,A-C 及 B-C 的置信度为 95%的置信区间,设各工厂所生产的电池的寿命服从同方差的正态分布.解答:本问题是在 =0.05 下检验假设H0:A=B=C, H1:A,B,C 不全相等为简化计算,将原表各数据减去 40,然后计算,结果如下:A 0 8 -2 5 5B -14 -6 -10 -8 -8C -1 0 3 10 10T=i=13j=1niXij=-15, ST=i

5、=13j=1niXij2-T2n=847-15215=832,SA=i=13Ti2ni-T2n=615.6, SE=ST-SA=832-615.6=216.4,从而得方差分析表(r=3,n=15)方差来源 平方和 自由度 均方和 F(=0.05) 因素 A 615.6 s-1=2 SA=307.8 SA/SE17.0684因素 E 216.4 n-s=12 SE18.0333 F0.05(2,12)=3.89总和 T 832 n-1=14 F=17.06843.89由上表可知,拒绝 H0, 即认为电池一平均寿命有显著差异.由于置信度为 0.95 的置信区间为(Xj-Xkta2(n-r)SE(1

6、nj+1nk),且 t0.025(12)=2.1788,SE(1nj+1nk)=18.033(25)2.6858,X1=2.6, X2=-10, X3=4.4, 则 A-B 的置信值为 0.95 的置信区间为(2.6+102.17882.6858)=(2.6+105.852), 即(6.75,18.45);A-C 的置信度为 0.95 的置信区间为(2.6-4.45.852), 即(-7.652,4.052);B-C 的置信度为 0.95 的置信区间为(-10-4.45.852), 即(-20.252,-8.548).习题 4一个年级有三个小班,他们进行了一次数学考试,现从各个班级随机地抽取了

7、一些学生,记录成绩如下: 73,66,89,60,82,45,43,93,80,36,73,77 88,77,78,31,48,78,91,62,51,76,85,96,74,80,56班级 68,41,79,59,56,68,91,53,71,79,71,15,87试在显著性水平 0.05 下检验各班级的平均分数有无显著差异,设各个总体服从正态分布,且方差相等.解答:分别以 1,2,3 表示,班的平均分数,我们需检验(=0.05)H0:1=2=3, H1:1,2,3 不全相同,由于 r=3,n1=12,n2=15,n3=13,n=40.ST=i=13j=1niXij2-T2n=13685.1

8、, SA=i=13Ti2ni-T2n335.35,SE=13349.75, SA=SA/2=167.675, SE=SE/37660.80,F=SA/SE0.4647, F0.05(2,37)=3.230.4647=F,故接受 H0,即认为各班级的平均分数无显著差异。习题 8.2 双因素试验的方差分析习题 1酿造厂有化验员 3 名,担任发酵粉的颗粒检验. 今有 3 位化验员每天从该厂所产的发酵粉中抽样一次,连续 10 天,每天检验其中所含颗粒的百分率,结果如下表所示. 设 =5%, 试分析 3 名化验员的化验技术之间与每日所抽取样本之间有无显著差异?因素 B(化验时间)百分率(%)B1 B2

9、B3 B4 B5因素 A(化验员)A1A2A310.110.010.24.74.9 4.83.13.1 3.03.03.2 3.07.87.8 7.8因素 B(化验时间)百分率(%)B6 B7 B8 B9 B10因素 A(化验员)A1A2A38.2 8.28.47.8 7.77.86.0 6.26.14.9 5.15.03.4 3.43.3解答:本问题是在 =0.05 下检验假设H0A:A1=A2=A3, H1A:A1,A2,A3 不全相等H0B:B1=B2=B10, H1B:B1,B2,B10 不全相等计算结果如下表:因素 B(化验时间)因素 A(化验员) B1 B2 B3 B4 B5 B6

10、 B710.110.010.24.74.94.83.13.13.03.03.23.07.87.87.88.28.28.47.87.77.8Ti 30.3 14.4 9.2 9.2 23.4 24.8 23.3Tj2 918.09 207.36 84.64 84.64 547.56 615.04 542.89Ti2 306.05 69.14 28.22 28.24 182.52 205.04 180.97i=13xij2 (接上表)因素 B(化验时间)因素 A(化验员) B8 B9 B10Ti Ti26.06.26.14.95.15.03.43.43.359 3481 59.6 3552.165

11、9.4 3528.36Ti 18.3 15 10.1 T=i=13Ti=178Tj2 334.89 225 102.01 j=110Tj2=3662.12Ti2 111.65 75.02 34.01 i=13Ti2=10561.52i=13xij2 i=13j=110xij2=1220.86ST=i=13j=110xij2-130T2=1220.86-1301782164.727,SA=110I=13Ti2-130T2=11010561.52-13017820.01867,SB=13i=13Tj2-130T2=133662.12-1301782164.57,SE=ST-SA-SB=0.1383

12、3.从而得方差分析表(见下表)方差来源 平方和 自由度 均方和因素 A SA=0.01867 r-1=2 SA=0.009335因素 B SB=164.57 s-1=9 SB18.286误差 E SE=0.13833 (r-1)(s-1)=18 SE0.00769总和 T ST=164.727 29 方差来源 F 值 F 临界值因素 A FA=SASE1.214 F0.05(2,18)=3.55因素 B F0.05(9,18)=2.46误差 E FB=SBSE2377.89 FAF,拒绝 H02由于 FAF0.05(9,18),说明 FB 落在拒绝域中,故拒绝 H0B, 即认为每日所抽样本之间

13、有显著差异.习题 2下表给出某种化工过程在三种浓度、四种温度水平下得率的数据,假设在诸水平搭配下得率的总体服从正态分布,且方差相等,试在 =0.05 水平下检验在不同浓度下的率有无显著差异;在不同温度下得率是否有显著差异;交互作用的效应是否显著?温度(C)浓度%10 24 38 522 14,10 11,11 13,9 10,124 9,7 10,8 7,11 6,106 5,11 13,14 12,13 14,10解答:以 A 表示因素“浓度”,以 1,2,3 表示相应水平的效应;以 B 表示因素“温度”,各水平的效应记为 1,2,3,4; 以ij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)表示交

14、互作用 AB 的效应.本题是在 =0.05 下检验假设H01:i=0(i=1,2,3), H02:j=0(j=1,2,3,4), H03:ij=0(i=1,2,3;j=1,2,3,4),将计算结果列表如下:浓度% 温度(C)因素 B因素 A 10 24 38 52 Ti Ti221410(24)1111(22)139(22)1012(22)90 8100497(16)108(18)711(18)610(16)68 46246511(16)1314(27)1213(25)1410(24)92 8464Tj 56 67 65 62Tj2 3136 4489 4225 3844i=13Tij2108

15、8 1537 1433 1316Ti=j=14Tj=250,j=14Tj2=15694j=14Ti2=21188,i=13j=14k=12xijk2=2752r=3,s=4,t=2,=0.05,ST=i=13j=14k=12xijk2-T2rst=2752-250224147.83,SA=1sti=13Ti2-T2rst=1821188-25022444.33,SB=1rtj=14Tj2-T2rst=1615694-250224=11.5,SAB=1ti=13j=14Tij2-T2rst-SA-SB=12(1088+1537+1433+1316)-250224-44.33-11.5=27.03

16、3,SE=ST-SA-SB-SAB=64.967方差分析表方差来源 平均和 自由度 均方和 F 比浓度(A) 44.33 r-1=2 SA=22.165SA/SE4.09F0.05(2,12)=3.89温度(B) 11.5 s-1=3 SB3.833SB/SE0.708F0.05(3,12)=3.49交互作用AB 27.033 (r-1)(s-1)=6 SAB4.5 SAB/SE0.558误差 E 64.967 rs(t-1)=12 SE=5.414 F0.05(6,12)=3.00总和 T 147.83 rst-1=23 拒绝 H01,接受 H02 及 H03由方程分析表可见,只有浓度因素的

17、效应是显著的习题 3为了研究金属管的防腐蚀功能,考虑了 4 种不同的涂料层,将金属管埋设在 3 种不同性质的土壤中,经历了一定的时间,测得金属管腐蚀的最大深度如下所示以计:土壤类型(因素 B)1 2 3涂层(因素 1.63,1.34,1.19,1.30 1.35,1.30,1.14,1.09 1.27,1.22,1.27,1.A) 32试在 =0.05 水平下检验下腐蚀的最大深度的平均值有无显著差异;在不同土壤下腐蚀的最大深度的平均值有无显著差异?设两因素间没有交互作用效应.解答:分别以 a1,a2,a3,a4 表示 4 种不同的涂料涂层下腐蚀的最大深度的效应,以b1,b2,b3 表示三种不同

18、土壤下腐蚀的最大深度的效应,检验假设H01:a1=a2=a3=a4H11:a1,a2,a3,a4 不全相等,H02:b1=b2=b3H12:b2,b2,b3 不全相等,这里 r=4,s=3.T1=i=1rXi1=5.46, T2=i=1rXi2=4.88, T3=i=1rXi3=5.08,T1=i=1sX1i=4.88,T2=i=1sX2i=3.86,T3=i=1sX3i=3.6,T4=i=1sX4i=3.71,T=i=1rj=1sXij=15.42,ST=i=1rj=1sXij2-T2rs=1.632+1.322-15.42212=0.2007,SA=1si=1rTi2-T2rs=13(4.

19、252+3.862+3.62+3.712)-15.42212=0.0807,SB=1rj=1sTj2-T2rs=14(5.462+4.882+5.082)-15.42212=0.0434,SE=ST-SA-SB=0.0766,得方差分析表如下方差来源 平方和 自由度 均方和 F 比因素 A SA=0.0807 3 0.0269 FA=SA/SE2.1065因素 B SB=0.0434 2 0.0217 FB=SB/SE1.6993误差 SE=0.0766 6 0.01277 总和 ST=0.2077 11 由于 F(r-1,(r-1)(s-1)=F0.05(3,6)=4.762.1065,F(

20、s-1),(r-1)(s-1)=F0.05(2,6)=5.141.6993,故在 =0.05 水平下,接受 H01,H02, 即认为两种因素的影响均不显著.习题 8.3 一元线性回归习题 1在某种产品表面进行腐蚀刻线试验,得到腐蚀浓度 y 与腐蚀时间 t 对应的一组数据如下表所示.时间 t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120浓度 y(m) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46试求腐蚀浓度 y 对时间 t 的回归直线方程.解答:n=11, 所需计算如下表所示:ti yi ti2 yi2 tiyi5,10,15,20,30,40,50,

21、60,70,90,120 6,10,10,13,16,17,19,23,25,29,46 25,100,225,400,900,1600,2500,3600,4900,8100,14400 36,100,100,169,256,289,361,529,625,841,2116 30,100,150,260,480,680,950,1380,1750,2610,5520 510 214 36750 5422 13910Ltt=i=111ti2-111(i=111ti)2=36750-1115102=13104.54545,Lty=i=111tiyi-111(i=111ti)(i=111yi)=1

22、3910-111510214=3988.181818,b=Lty/Ltt0.304,=111i=111yi-(111i=111ti)b=111214-1115100.304=5.36,故所求的回归直线为=+bt=5.36+0.304t.习题 2随机抽取 12 个城市居民家庭关于收入与食品支出的样本,数据如下表所示,试判断食品支出与家庭收入是否存在线性相关关系,求出食品支出与收入间的回归直线方程(=0.05).家庭收入 mi 82 93 105 130 144 150 160 180 200 270 300 400每月食品支出yi(单位:元) 75 85 92 105 120 120 130 1

23、45 156 200 200 240解答:设食品支出与收入间有线性关系 y=0+1m,首先在 =0.05 下检验假设H0:1=0, H1:10.选取统计量 F=S 回DivS 剩(n-2), 在 H0 成立的条件下,FF(1,n-2),且此检验问题的拒绝域为 FF(1,n-2).n=12, 所需计算如下表所示:mi 82 93 105 130 144 150 160 180yi 75 85 92 105 120 120 130 145mi2 6724 8649 11025 16900 20736 22500 25600 32400yi2 5625 7225 8464 11025 14400 1

24、4400 16900 21025miyi 6150 7905 9660 13650 17280 18000 20800 26100(接上表)mi 200 270 300 400 i=112mi=2214yi 156 200 200 240 i=112yi=1668mi2 40000 72900 90000 160000 i=112mi2=507434yi2 24336 40000 40000 57600 i=112yi2=261000miyi 31200 54000 60000 96000 i=112miyi=360745Lmm=i=112mi2-112(i=112mi)2=507434-11

25、222142=98951,Lmy=i=112miyi-112(i=112mi)(i=112yi)=360745-11222141668=52999,Lyy=i=112yi2-112(i=112yi)2=261000-11216682=29148,S 回=Lmy2/Lmm=5299929895128386.717,S 剩=Lyy(1-Lmy2LmmLyy)=29148(1-5299929895129148)761.283,F=S 回DivS 剩(n-2)372.880,查表得 F0.05(1,10)=4.96.显然 F=372.8804.96=F0.05(1,10), 说明 F 落在拒绝域中,从

26、而拒绝 H0,即认为 10, 亦即食品支出与收入间的线性关系显著,设线性关系为 =0+1m,则1=Lmy/Lmm0.54, 0=112i=112yi-(112i=112mi)1=1121668-11222140.54=39.37,故所求的回归直线为 =39.37+0.54m.习题 3根据下表中的数据判断某商品的供给量 s 与价格 p 间的回归函数类型,并求出 s对 p 的回归方程(=0.05).价格pi(元) 7 12 6 9 10 8 12 6 11 9 12 10供给量si(吨) 57 72 51 57 60 55 70 55 70 53 76 56解答:首先作出散点图(如图所示).由散点

27、图可见,p 与 s 之间存在近似的线性关系,为证实这一点,先在 =0.05下检验假设H0:1=0, H1:10.选取统计量 F=UQ/(n-2), 在 H0 成立的条件下,FF(1,n-2),且此检验问题的拒绝域为 FF(1,n-2).n=12, 所需计算如下表所示:pi 7 12 6 9 10 8 12 6si 57 72 51 57 60 55 70 55pi2 49 144 36 81 100 64 144 36si2 3249 5184 2601 3249 3600 3025 4900 3025pisi 399 864 306 513 600 440 840 330(接上表)pi 11

28、 9 12 10 i=112pi=112si 70 53 76 56 i=112si=732pi2 121 81 144 100 i=112pi2=1100si2 4900 2809 5776 3136 i=112si2=45454pisi 770 477 912 560 i=112pisi=7011Lpp=i=112pi2-112(i=112pi)2=1100-112112254.6667,Lps=i=112pisi-112(i=112pi)(i=112si)=7011-112112732=179,Lss=i=112si2-112(i=112si)2=45454-1127322=802,S

29、回=Lps2/Lpp586.1155,, S 剩=Lss(1-Lps2LppLss)215.845.F=S 回DivS 剩(n-2)27.15,查表知 F0.05(1,10)=4.96.显然 F=27.154.96=F0.05(1,10), 说明 F 落在拒绝域中,从而拒绝 H0, 即认为 10, 认为某商品的供给量 s 与价格 p 间存在近似的线性关系,设线性关系为 s=0+1p,则 1=Lps/Lpp3.27, 0=112i=112si-(112i=112pi)1=112732-1121123.2730.48,即近似的线性关系为=30.48+3.27p.习题 4有人认为,企业的利润水平和它

30、的研究费用间存在近似的线性关系,下表所列资料能否证实这利论断(=0.05)?时间 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964研究费用10 10 8 8 8 12 12 12 11 11利润(万元)100 150 200 180 250 300 280 310 320 300解答:n=10, 所需计算如果下表所示:xi 10 10 8 8 8 12yi 100 150 200 180 250 300xi2 100 100 64 64 64 144yi2 10000 22500 40000 32400 62500 90000xiyi 1000

31、 1500 1600 1440 2000 3600(接上表)xi 12 12 11 11 i=110xi=102yi 280 310 320 300 i=110yi=2390xi2 144 144 121 121 i=110xi2=1066yi2 78400 96100 102400 90000 i=110yi2=624300xiyi 3360 3720 3520 3300 i=110xiyi=25040Lxx=i=110xi2-110(i=110xi)2=1066-1101022=25.6,Lxy=i=110xiyi-110(i=110xi)(i=110yi)=25040-110102239

32、0=662Lyy=i=110yi2-110(i=110yi)2=624300-11023902=53090.设研究费用 x 与利润 y 之间有线性关系 y=a+bx,检验假设H0:b=0, H1:b0, H0 的拒绝域为 FF(1,n-2), 其中F=UQ/(n-2), U=Lxy2/Lxx=17118.90625,Q=Lyy(1-Lxy2LxxLyy)=35971.094, 则 F=UQ/(n-2)3.807,查表知 F0.05(1,8)=5.32.显然 F=3.807ta2(n-2),又 2=Lyy-bLxyn-20.03777,t47.1144, t0.052(5)=2.5706=2.5

33、705tt0.052(5),故拒绝 H0, 即回归效果显著.(3)由于 b 的置信度为 1- 的置信区间为(bta2(n-2)Lxx),故 b 的置信度为 0.95 的置信区间为(11.8688,13,2386).(4)由于 x=x0 处的置信度为 1- 的预测区间为(y0ta2(n-2)1+1n+(x-x0)2Lxx),代入可得 (19.67,20.80).习题 6假设儿子的身高(y)与父亲的身高(x)适合一元正态线性回归模型,观察了 10 对英国父子的身高(英寸)如下:x 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74y 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1

34、67.4 63.3 70.1 70(1)建立 y 关于 x 的回归方程;(2)对线性回归方程作假设检验(检验水平取为 0.05);(3)给出 x0=69 时,y0 的置信度为 95%的预测区间.解答:(1)按所给数据计算i=110xi=668, x=66.8, i=110xi2=44794,i=110yi=665.1, y=66.51, i=110yi2=44283.93,i=110xiyi=44492.4, Lxx=i=110xi2-10(x)2=171.6,Lxy=i=110xiyi-10xy=63.72,1=LxyLxx0.3713, 0=y-x141.7072,故所求回归方程为 y=4

35、1.7072+0.3713x.(2)待解决的原假设为 H0:1=0 的显著性假设检验问题,检验统计量是F=U/Qn-2,检验水平为 的拒绝域为FF(1,n-2), 由所给数据可得Lyy=i=110yi2-10(y)2=48.129,U=1Lxy=0.371363.7223.6592,Q=Lyy(1-Lxy2LxxLyy)24.4679,代入可得 F=23.6592/24.467910-27.736,而查表得 F0.05(1,8)=5.327.736, 因此拒绝原假设 H0,即认为回归效果显著.(3)Y0 的置信度为 1- 的预测区间为(y0-t2(n-2)2(1+1n+(x0-x)2Lxx),

36、y0+t2(n-2)2(1+1n+(x0-x)2Lxx)现在 x0=69,Y0 的置信度为 0.95 的预测区间可计算如下y0=41.7072+0.371369=67.3269,2=Qn-2=24.46798=3.0585,t0.025(8)2(1+110+(x0-x)2Lxx)=2.3063.0585(1+0.1+(69-66.8)2171.6)=4.2836,所以 x0=69 时,Y0 的置信度为 0.95 的预测区间为(63.0433,71.6105).8.4 多元线性回归习题 1一种合金在某种添加剂的不同浓度之下,各做三次试验,得数据如下:浓度x10.0 15.0 20.0 25.0

37、30.0抗压强度y25.2,27.3,28.729.8,31.1,27.831.2,32.6,29.731.7,30.1,32.329.4,30.0,32.8以模型 y=b0+b1x+b2x2+,N(0,2)拟合数据,其中 b0,b1,b2,2 与 x无关,求回归方程y=b0+b1x+b2x2.解答:由于不同的浓度下分别对应三种不同的抗压强度,为便于计算,计算不同浓度下的平均抗压强度。令 x1=x,x2=x2,则 y=b0+b1x1+b2x2,于是X=(110100115225120400125625130900),Y(27.06729.56731.16731.36730.733),=(b0b

38、1b2),=(XTX)-1XTY,其中 XTX=(5100225010022505500225055001421250), 解得(18.66,1.059,-0.219)T,故 y=18.66+1.059x-0.219x2.习题 2某种化工厂产品的得率 Y 与反应温度 x1、反应时间 x2 及某反应物浓度 x3 有关,设对于给定的 x1,x2,x3,得率 Y 服从正态分布,且方差与 x1,x2,x3 无关,今得试验结果如下表所示,其中 x1,x2,x3 均为二水平且均以编码形式表达. x1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1x2 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1x3 -1 1 -1 1

39、 -1 1 -1 1得率 7.6 10.3 9.2 10.2 8.4 11.1 9.8 12.6(1)设 y(x1,x2,x3)=b0+b1x1+b2x2+b3x3,求 Y 的多元线性回归方程.(2)若认为反应时间不影响得率,即认为Y(x1,x2,x3)=0+1x1+2x3,求 Y 的多元线性回归方程.解答:(1)这是一个三元线性回归方程模型X=(1-1-1-11-1-111-11-11-11111-1-111-11111-11111),Y=(7.610.39.210.28.411.19.812.6),B=(b0b1b2b3),XTX=(8000080000800088),XTY=(79.24.64.49.2),(XTX)-1XTY=9.9,0.575,0.55,1.15,,所以 Y 的三元线性回归方程为y(x1,x2,x3)=9.9+0.575x1+0.55x2+1.15x3.(2)若反应时间不影响得率,既认为 b2=0,重复上述计算步骤则回归方程为y(x1,x2,x3)=9.9+0.575x1+1.15x3

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