1、110概率论与数理统计习题及答案第 八 章1设 是从总体 中抽出的样本，假设 服从参数为 的2,nX XX指数分布， 未知，给定 和显著性水平 ，试求假设0(01)的 检验统计量及否定域.00:H解 0:选统计量 20012niiX记21nii则 ，对于给定的显著性水平 ，查 分布表求出临界值 ，()22()n使2Pn因 ，所以 ，从而22()()nn22)P可见 的否定域为 .00:H2某种零件的尺寸方差为 ，对一批这类零件检查 6 件得尺寸数21据（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为
2、是 32.50 毫米（ ）.05解 问题是在 已知的条件下检验假设2 :32H的否定域为0/2|u其中 3.509.46.5046.71Xn，因 ，所以否定 ，即不能认为平均尺寸是0.25196u|.7u32.5 毫米。3设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 ，今抽了一个容10量为 26 的样本，计算平均值 1580，问在显著性水平 下，能否认为这.5批产品的指标的期望值 不低于 1600。111解 问题是在 已知的条件下检验假设20:16H的否定域为 ，其中0H/2u.165816.2Xu.0.54因为 ，所以接受 ，即可以认为这批产品的0.52u0指标的期望值 不低于 1600.4一种
3、元件，要求其使用寿命不低于 1000 小时，现在从这批元件中任取25 件，测得其寿命平均值为 950 小时，已知该元件寿命服从标准差为小时的正态分布，问这批元件是否合格？（ ）10 0.5解 设元件寿命为 ，则 ，问题是检验假设X2(,1)N. 的否定域为 ，其中:H00.5u912.Xu0.5164因为0.5u所以否定 ，即元件不合格.0H5某批矿砂的 5 个样品中镍含量经测定为 ：(%)X3.2,7.4,326.设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 ？3.25(0.1)解 问题是在 未知的条件下检验假设0:H的否定域为0/2|(4)t5213., ).17,0.3iiXSXS
4、0.5()6t.23554.50因为.5|0.34.61(4)tt所以接受 ，即可以认为这批矿砂的镍含量为 3.25.H6糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为 100 公斤，每天开工后要检验112一次打包机工作是否正常，某日开工后测得 9 包重量（单位：公斤）如下：9.3,8710.5,.2,83.7,5102.,.5问该日打包机工作是否正常（ ；已知包重服从正态分布）？0解 ， ， ，.X9221().4iiSX.S问题是检验假设 0:H的否定域为 .0/2|(8)t其中19.103.5XtS0.25(8).36因为0.25|(8)tt所以接受 ，即该日打包机工作正常.0H7按照规定，每 1
5、00 克罐头番茄汁中，维生素 的含量不得少于 21 毫克，C现从某厂生产的一批罐头中抽取 17 个，测得维生素 的含量（单位：毫克）如下2,10,32,195,36,78.已知维生素 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。C(0.5)解 设 为维生素 的含量，则 ，XC2(,)XN， ， . 问题是检验假设2,419.6XS20.485S17n0:1.H（1） .0:H（2）选择统计量 并计算其值：t.2020.485tnS（3）对于给定的 查 分布表求出临界值 .t 0.25()(16)tnt（4）因为 。所以接受 ，即认为维生素含0.25(16)t tH量合格.8某种合金
6、弦的抗拉强度 ，由过去的经验知2(,)XN（公斤/厘米 2） ，今用新工艺生产了一批弦线，随机取 10 根作抗拉1试验，测得数据如下：11310512，10623，10668，10554，10776，10707，10557，10581，10666，10670.问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（ ）0.5解 ， ， ， . 问题是检验假1063.4X268.9SS10n设 0:5H（1） .（2）选统计量并计算其值.16031.405689tnS.7（3）对于 ，查 分布表，得临界值 .5t 0.5()9183t（4）因 ，故否定 即认为抗拉强度提高了。0.(9)1.32.7t tH9从一批轴料
7、中取 15 件测量其椭圆度，计算得 ，问该批轴料.2S椭圆度的总体方差与规定的 有无显著差别？（ ，椭圆度0.4服从正态分布） 。解 ，问题是检验假设 .20.5,.65,1Sn 20:4（1） .:H（2）选统计量 并计算其值20(1)4.02.75nS（3）对于给定的 ，查 分布表得临界值.52.22/. 1/(4)()69,() 20.975(14)6（4）因为 所以接受 ，即0.975 70H总体方差与规定的 无显著差异。2.410从一批保险丝中抽取 10 根试验其熔化时间，结果为42，65，75，78，71，59，57，68，54，55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于
8、80？（ ，熔化时间0.5服从正态分布）.解 ， 问题是检验假设 .62.4X1.82,0,Sn2:8H（1） ；00:H（2）选统计量 并计算其值114220(1)9.813.705nS（3）对于给定的 ，查 分布表得临界值.52.22.()()6（4）因 ，故接受 ，即可以认为方差不大0.5137910H于 80。11对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下第一种 138，127，134，125；第二种 134，137，135，140，130，134.问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。 (0.5)解 设第一、二种织品的强度分别为 和 ，则 XY21(,
9、)N2,YN2113,6.7,4XSn25问题是检验假设 02:H（1） 1（2）选统计量 并计算其值.T12221 135466.7.2()()4XYnnS.95（3）对于给定的 ，查 分布表得临界值 0.5t/212()tn.0.25(8)6t（4）因为 ，所以接受假设，即不能说一种羊0.25|12.369(8)tt毛较另一种好。12在 20 块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量（公斤）分别为旧品种 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4,78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3;新品种 79.1, 81.0, 77.3, 79
10、.1, 80.0,79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1;115设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等） ，问新品种的产量是否高于旧品种？（ ）0.1解 设 为新品种产量， 为旧品种产量； ，XY21(,)XN，问题是检验假设2(,)YN01:H， ，79.43X1.46S10n， ，6252选统计量 并计算其值：T1221 ()()()XYnnS79.436.804.95659对给定的 ，查 分布表得临界值 .0.t 0.1()(8)254tt因为 故接受 ，即新品种高于旧品种.0.12TtH13两台机床加工同一种零件，分别取 6 个和 9 个零件，量其长度得，假
11、定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床212.345,.7S加工的零件长度的方差无显著差异？ (.5)解 110.,n229问题是检验假设012:H选统计量 并计算其值F120.345.967S对给定的 查 分布表得临界值 ，./20.25(,8)(,)4.6F.0.975(,8)6.因 故接受 ，0.975 0.25(,)1479064.(,)F0H即无显著差异.13甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得直径（单位：mm）为甲：20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9;116乙：19.7, 20.8, 20.5,
12、 19.8, 19.4, 20.6, 19.2.问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？（ ，产品直径服从正态0.5分布。 ）解 设甲加工的直径为 ，乙为 . ， .XY21(,)N2(,)Y， ，19.25X10.64S18n， ，0Y3972问题是检验假设201:H选统计量 并计算其值F.12.6405397S对于给定的 ，查 分布表得临界值 ，0.5/20.25(7,6)(,).70F0.975(,6).1F因 ，故接受 ，. 0.25,93.4(,).0H即精度无显著差异.14一颗骰子掷了 120 次，得下列结果：点 数 1 2 3 4 5 6出现次数 23 26 21 20 15 1
13、5问骰子是否匀称？（ ）0.5解 用 表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为 1，2，3，4，5，6。X问题是检验假设这里 ， 01:(),26.6iHpPii k0,12,ipn， 故2iniA226011()(0)94.8kiiii innp查 分布表，得临界值 因为2220.5()()1.7k117故接受 ，即骰子匀称。220.54.8170H15从一批滚珠中随机抽取 50 个，测得它们的直径（单位：mm ）为15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.515.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.814.5 14.2 14.
14、9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.615.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.215.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.115.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.714.6 14.2是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布？（ ）0.5解 数据中最小的为 14.2，最大者为 15.9，设 ，欲把14,6.15ab分成七个（相等的）区间，则区间长度（组距）为 得,ab .037分点它们1234.35,1.6,4.95,yyy561.2,.,15.8y把实数轴分成七个不相交的区间
15、，样本值分成了七组： i1iiin1 4.332 .5653 .9104 .12165 .86 .567 82设钢珠的直径为 ，其分布函数为 ，我们的问题是检验假设：X()Fx. 其中 未知.0:()xHF2,在 成立之下， 和 的极大似然估计为 ，A15.X， .A221()0.1849niiA03118在上面的表中第 1 组和第 7 组的频数过小，把它们并入相邻的组内，即分成 5 组，分点为 ， ， ， .4.65t2.9t315.2t45tA1()(0)90.3pF21.(4tt.5).2.14A32()(036.pFtt03).74315()(4tt.).680.21A451()(50
16、.pFt统计量A2521()()iiiinp的值计算如下表： iinAipiiiA2()iinpA2()/iiinp1 8 0.1492 7.46 0.54 0.2916 0.039092 10 0.2140 10.7 0.7 0.49 0.045793 16 0.2736 13.68 2.32 5.3824 0.393454 8 0.2180 10.9 2.9 8.41 0.771565 8 0.1452 7.26 0.74 0.5476 0.0754350 1 50 0 15.1216 1.24997即 ，对于 查 分布表得临界值 .2.497.5220.5()()91因 ，故接受 ，即认
17、为钢珠直径服从正0.9()0H态分布 .(15.,08)N16设 ，假设随机变量 在43,1,2(,2)2iiAAX上是均匀分布的，今对 进行 100 次独立观察，发现其值落入(0,2)X119的频数分别为 30，20，36，14，问均匀分布的假设，在显著性(1,234)iA水平为 0.05 下是否可信。解 检验假设： 0:,2HXU检验计算表如下： iinipiiinp2()iinp1 301425 5 12 20 25 5 13 36 25 11 4.844 141425 11 4.84100 1 100 0 11.68统计量 42 21().68,(41)iiinp对于 ，查得0.50.
18、537因为220.5.68.1(3)所以不接受 ，即不能相信 .0H,XU120习 题 九1一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理 4 块布样，测得缩水率的结果如下表缩 水 率布样号 1A23A45A12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.8问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响 (0.1)解 ，查附表 5 得123455, ,2mnnn.0.10.()(,5)89FF序号 1A234A51mi12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.
19、38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.81injX21.8 21.7 31.6 35.3 37.5 147.92ij475.24 470.89 998.56 1246.09 1406.25 4597.031inj131.82 112.24 252.34 316.03 358.49 1149.252ijX131.82 112.24 252.34 316.03 358.49 1170.922(147.9)0P3.5Q792ReS1.6AP5.3SR7.2方差分析表121方差来源 平方和 自由度 均方 值F工 艺误 差55.5321.6741513.88251.44479.
20、6095*总 和 77.20 19因为 ，所以工艺对缩水率有显著影响.9.605482灯泡厂用 4 种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进行使用寿命的试验，得到下表的结果（单位：小时） ，问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响？（ ）0.1寿 命试验号 1A23A41234567816001610165016801700172018001850164016401700175014601550160016201640166017401820151015201530157016001680解 ，查附表 5 得12344,7,5,8,6,2mnnn0.10.(,)(3).FF为简化
21、计算从上表的试验结果中都减去 1600 再除以 10 得下表寿命序号 1A23A441i12345678015810122025441015145024614229873081injjX56 58 29 19 1242ijj3136 3364 841 36112221injjiX448 672.8 105.125 60.167 1286.09221nijj734 982 957 264 2937， ，2(4)591.386P26.09Q237R，0eSR15eeS，.7AQ.40A方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F 值配 料误 差6.94716.5093222.3130.7273.1
22、8总 和 23.456 25因为 ，故不显著.0.13.184.2(3,)FF3在单因素试验方差分析模型式（9.2）中， 是未知参数i，求 的点估计和区间估计.(,2)im i解 因为 ，所以 的点估计为 .2(,)iXNi,12,iiXm由定理 9.1 知 ，再由定理 6.1 知 与/eSnm相互独立，又由 独立，知 与 独221()ini ijijiSiji221,S立，从而 与 独立，又meiii iX()(0,1)iiinN由 分布的定义知t()()iiieXtmS其中 /eSn对于给定的 ，查 分布表求出临界值 ，使t/2()tn123/2()1iiieXPntmS在上式括号内将 暴
23、露出来得 在置信度 下的置信区间i i/2/2(),().e ei ii iSXtnXtn 4在单因素试验方差分析模型式（9.2）中， 是未知参数，试证是 的无偏估计，且 的 下的置信区间为A2eSnm22122/ 1/,.()()eeSSnmn证：因为 ，所以 ，即/eS2eEme于是 21eeSSnm故 是 的无偏估计；eSnm2因为 /()所以对于给定的 ，查 分布表求出临界值 和22/()nm使得21/()221/ /()()1eSPnm式中将 暴露出来得222/ 1/2()()eennm 故 的置信度为 下的置信区间为21证毕22/ 1/,.()()eeSSnn1245验证式（9.2
24、4）的解 能使 达到最小值.,ab21(,)()niiiQyabx证： 是函数 的驻点. 而,ab21(,)niiiyx22 221, ,ni ii iQABXCXabb222114nniiiiC由柯西不等式知 ，而 所以 是 的极小点，0,0A(,)a(,)Q而 存在最小值，故 能使 达到最小值.(,)Qab,ab()Q6利用定理 9.2 证明，在假设 成立的条件下，统计量0:H(2)xtLtnS并利用它检验 9.2 中例 1 所得的回归方程的显著性 0.1)证：因为 所以2(,)xbN (,xbN在 成立的条件下0:H,)xL又 2()()nSn由 分布的定义知t. 证毕2(2)()/()
25、xxbLbtLtnSnS今利用 统计量检验回归方程的显著性.t 7.156.0.13834xbLS对于给定的 查 分布表得临界值 .0.1t.1()2768t因为 ，所以回归方程显著.0.1632()t7利用定理 9.2 证明回归系数 的置信区间为b125/2/2(),()x xSSbtnbtnLL 并利用这个公式求 9.2 中例 1 的回归系数 的置信区间（置信度为 0.95）.解 由定理 9.2 知 (2)xbttnS对于给定的 ，查 分布表求出临界值 ，使t/2/2 /()()1xPnLt在上式的大括号内，将 暴露出来得b/2 /2()()x xSStbtnL故 的置信度为 下的置信区间
26、为b1证毕/2/2(),()x xtntL 在例 1 中 ， ，7.5610.897S6.05L.0.2()8t所以 的置信度为 0.95 下的置信区间为b(.2,3.1)8在钢线碳含量 对于电阻 时，微欧）效应的研究中，得到%xy以下的数据0.01 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95y15 18 19 21 22.6 23.8 26设对于给定的 为正态变量，且方差与 无关.,xx（1）求线性回归方程 ;yabx（2）检验回归方程的显著性；（3）求 的置信区间（置信度为 0.95） ；b（4）求 在 处的置信度为 0.95 的预测区间.y0.5x解 我们用下表进行计算序
27、号 y2x2yx120.100.3015180.010.092253241.55.4126345670.400.550.700.800.95192122.623.8260.160.30250.490.640.9025361441510.76566.446767.611.5515.8219.0424.73.8 145.4 2.595 3104.2 85.61平均 0.543 20.77, 0.543x20.y,71592.064.531iLx,23178.yiy,7185.6.946.3xyix（1） , ，2.xLb1.5aybx所以回归方程为 3.92（2）我们用方差分析表来检验回归方程的显
28、著性方 差 分 析 表方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值回 归 83.62U1 83.62U剩 余 0Q5 0Q总 和 4.yL6503.61其中 .,2xybn查 F 分布表求出临界值 0.1(5)F因为 0.1536(,)所以回归方程高度显著.（3）由第 7 题知， 的置信度为 下的置信区间为b/2/2(),()x xSStnbtnLL 此处 , 0.51.5,.,.706b 2()yxybL127./(2)016n所以 的置信度为 0.95 下的置信区间为（11.112, 13.987）b（4） , .0.257,.53,0.1,.47,().76xLst05x0/2()()xxt
29、nSL2.3).576.4011.70501392.2y故 在 处的置信度为 0.95 的置信区间为.x00(.5),(.)19.,.34)y9在硝酸钠 的溶解度试验中，对不同的温度 测得溶解于3NaOtC100ml 水中的硝酸钠质量 的观测值如下：Yit0 4 10 15 21 29 36 51 68y66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.6 113.6125.1从理论知 与 满足线性回归模型式（9.20）Yt（1）求 对 的回归方程；（2）检验回归方程的显著性 ；(0.1)（3）求 在 时的预测区间（置信度为 0.95）.25t解 计算表如下序号 iiy2it2
30、iyity123456789041015212936516866.771.076.380.685.792.999.9113.6125.10161002254418411296260146244448.895041.005821.696496.367344.498630.419980.0112904.9615560.01028476312091799.72694.13596.45793.68506.8234 811.8 10144 76317.82 24646.612826,90.ty2114680,tiLt,9.2.359.8tyiy217631.84.60.yi0.8,7.531,tLbay
31、bt2()/71.03,02ytSS（1） 对 的回归方程为Y；6.5.87t（2）方差分析表如下方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值回 归 3086.25 1 3086.25剩 余 7.21 7 1.03总 和 3093.46 83086.251=2996.36查 F 分布表求出临界值 0.1(,)2.5F因 ，故方程高度显著296.35（3） 07.879381y20/2()(5)()ttnSnL.3641.05在 时的置信度为 0.95 下的预测区间为Yt.00(2),()86.79,15)yy10某种合金的抗拉强度 与钢中含碳量 满足线性回归模型式（9.20）Yx今实测了 92 组
32、数据 并算得(,)1,2)iix.15,4.798.3,4.03,26.097xyxyxyLL（1）求 对 的回归方程；Y（2）对回归方程作显著性检验 ；(0.)129（3）当含碳量 时求 的置信度为 0.95 的预测区间；0.9xY（4）若要控制抗拉强度以 0.95 的概率落在（38，52）中，那么含碳量 应x控制在什么范围内？解 （1） 87.36,34.752,xyLbaybx所以回归方程为；4.528.6（2） 2387xyUbL 1.4589yQLU方 差 分 析 表方差来源 平方和 自由度 均方 F 值回 归 2328.58 1 2328.58剩 余 612.459 90 6.80
33、51总 和 2941.034 9123.68051342.1815查 F 分布表求出临界值 0.1(,9)6.85F因 ，故方程高度显著.0.1342.85(,)（3） 07.342y因为 是很大的， 又接近 ，所以取9n0x(.).96.6.805.13S故当 时 的信度为 0.95 下的置信区间为（37.567, 47.794） ；.xY（4）由 得 384.7521.7.3x.9427于是 的控制范围为（0.09492, 0.1379）11电容器充电后，电压达到 ，然后开始放电，设在 时刻，电压0Vit的观察值为 ，具体数据如下.Uiuit0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10i1
34、00 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5（1）画出散点图；（2）用指数曲线模型 来似合 与 的关于，求 的估计值.btUaet,ab130解 （1）（2）由 ，两边取对数得btUaelnuabt令ln,lyuA得线性模型 t序号 iiy2it2iyix1 0 4.605 0 21.208 02 1 4.317 1 18.641 4.3173 2 4.007 4 16.059 8.0144 3 3.689 9 13.608 11.0675 4 3.401 16 11.568 13.6046 5 2.996 25 8.974 14.987 6 2.708 36 7.334 16.2488 7 2.303 49 5.302 16.1219 8 2.303 64 5.302 18.42410 9 1.609 81 2.590 14.48111 10 1.609 100 2.590 16.0955 33.547 385 113.176 133.346U0 2 4 6 8 1080604020100t131, 5t3.0y8271tL.46.54.0y962， ，3.0.18b A3.5164.故 ，即 的估计值分别为 ，A7ae,ab10.87a.0128
