1、浅谈概率论摘要：概率论是集中研究概率及随机现象的数学分支，是研究随机性或不确定性等现象的数学。概率论主要研究对象为随机事件、随机变量以及随机过程。对于随机事件是不可能准确预测其结果的，然而对于一系列的独立随机事件会呈现出一定的、可以被用于研究及预测的规律。关键词：概率，事件，样本，总体，元素作为统计学的数学基础，概率论对诸多涉及大量数据定量分析的人类活动极为重要，概率论的方法同样适用于其他方面，例如是对只知道系统部分状态的复杂系统的描述 统计力学，而二十世纪物理学的重大发现是以量子力学所描述的原子尺度上物理现象的概率本质。概率论和我们的生活息息相关，生活中有很多应用概率论的例子。人们对概率总是
2、有一点触摸不清的感觉，而事实上也有很多看似奇异的结果：1.生日悖论：在一个足球场上有 23 个人（211 个运动员和 1 个裁判员），不可思议的是，在这 23 人当中至少有两个人的生日是在同一天的概率要大于 50。 如果这 23 人都没有相同的生日也不违反概率，只是小于 50。2. 赢取电视节目里的名车：在参赛者面前有三扇关闭的门，其中只有一扇后面有名车，而其余的后面是山羊。游戏规则是，参赛者先选取一扇门，但在他打开之前，主持人在其余两扇门中打开了一扇有山羊的门， 并询问参赛者是否改变主意选择另一扇门，以使赢得名车的概率变大。正确的分析结果是，假如不管开始哪一扇门被选，主持人都打开其余两扇门中
3、有山羊的那一扇并询问参赛者是否改变主意，则改变主意会使赢得汽车的概率增加一倍；（“标准”的三门问题情况。）假如主持人只在有名车那扇门被选中时劝诱参赛者打开其它门，则改变主意必输。(资讯不对称)同样，概率论有着悠久的历史。作为数学统计基础的概率论的创始人分别是法国数学家帕斯卡和费马，其可追溯到公元 17 世纪。当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家（相当于现在的赌场）赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，而当时人们也接受了这种现象。后来
4、为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次，不同时出现 2 个 6 点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是 24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却并非如此，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象做出解释。其他对概率论的发展做出重要贡献的人还有荷兰物理、数学家惠更斯，瑞士物理、数学家伯努利，法国数学家棣莫弗，法国数学、天文学家拉普拉斯，德国数学家高斯，法国物理、数学家泊松，意大利数学、医学家卡尔达诺
5、以及苏联数学家柯尔莫哥洛夫。数学家和精算师认为概率是在 0 至 1 闭区间内的数字，指定给一发生与失败是随机的“事件”。概率 P(A) 根据概率公理来指定给事件 A。一事件 A 在一事件 B 确定发生后 B 会发生的概率称为 B 给之 A 的条件概率。若 B 给之 A 的条件概率和 A 的概率相同，则称 A 与 B 为独立事件。概率论中的两个重要概念为随机变数和随机变数的概率分布两种。在一次随机试验中可能发生的不能再细分的结果被称为基本事件，或者称为单位事件，用 E 表示。在随机试验中可能发生的所有单位事件的集合称为 事件空间，用 S 来表示。例如在一次掷骰子的随机试验中，如果用获得的点数来表
6、示单位事件，那么一共可能出现 6 个单位事件，则事件空间可以表示为 S=1,2,3,4,5,6。上面的事件空间是由可数有限单位事件组成，事实上还存在着由可数无限以及不可数单位事件组成的事件空间，比如在一次获得正面朝上就停止的随机掷硬币试验中，其事件空间由可数无限单位事件组成，表示为：S= 正，反 正，反 反 正，反 反 反 正，反 反 反 反 正， ，注意到在这个例子中 “反 反 反 正“是单位事件。将两根筷子随意扔向桌面，其静止后所形成的交角假设为 a，这个随机试验的事件空间的组成可以表示为 。随机事件是事件空间 S 的子集，它由事件空间 S 中的单位元素构成，用大写字母 A,B,S 表示。
7、例如在掷两个骰子的随机试验中，设随机事件 A = “获得的点数和大于 10”，则 A 可以由下面 3 个单位事件组成：。如果在随机试验中事件空间中的所有可能的单位事件都发生，这个事件被称为必然事件，表示为 ；相应的如果事件空间里不包含任何一个单位事件，则称为不可能事件，表示为 。因为事件在一定程度上是以集合的含义定义的，因此可以把集合计算方法直接应用于事件的计算，也就是说，在计算过程中，可以把事件当作集合来对待。在轮盘游戏中假设 A 代表事件 “球落在红色区域” ， B 代表事件“ 球落在黑色区域“，因为事件 和 没有共同的单位事件，因此可表示为 。注意到事件 A 和 B 并不是互补的关系，因
8、为在整个事件空间 S 中还有一个单位事件“ 零” ，其即不是红色也不是黑色，而是绿色，因此 A,B 的补集应该分别表示如下： 。常见的几种概率论模型有如下几种:1.传统概率 (古典概率)( 拉普拉斯概率 )传统概率的定义是由法国数学家拉普拉斯 ( Laplace ) 提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验。在拉普拉斯试验中，事件 A 在事件空间 S 中的概率P(A)为：例如，在一次同时掷一个硬币和一个骰子的随机试验中，假设事件 A 为获得国徽面且点数大于 4 ，那么事件 A 的概率应该有如下计算方法：S= ( 国徽，1
9、 点 )，( 数字， 1 点 )，( 国徽， 2 点 )，( 数字，2 点 )，( 国徽，3 点 )，( 数字，3 点 )，( 国徽， 4 点 )，( 数字， 4 点 )，( 国徽，5 点 )，( 数字，5 点 )，( 国徽，6 点 )，( 数字，6 点 ) ，A ( 国徽，5 点 )，( 国徽，6 点 )，按照拉普拉斯定义，A 的概率为: 。注意到在拉普拉斯试验中存在着若干的疑问，在现实中是否存在着其单位事件的概率具有精确相同的概率值的试验? 因为我们不知道，硬币以及骰子是否完美，即骰子制造的是否均匀，其重心是否位于正中心，以及轮盘是否倾向于某一个数字。尽管如此，传统概率在实践中被广泛应用于
10、确定事件的概率值，其理论根据是：如果没有足够的论据来证明一个事件的概率大于另一个事件的概率，那么可以认为这两个事件的概率值相等。如果仔细观察这个定义会发现拉普拉斯用概率解释了概率，定义中用了相同的可能性 ( 原文是 galement possible )一词，其实指的就是“相同的概率“。这个定义也并没有说出，到底什么是概率，以及如何用数字来确定概率。在现实生活中也有一系列问题，无论如何不能用传统概率定义来解释，比如，人寿保险公司无法确定一个 50 岁的人在下一年将死去的概率。2.统计概率继传统概率论之后，英国逻辑学家 约翰维恩和奥地利数学家理查德提出建立在频率理论基础上的统计概率。他们认为，获
11、得一个事件的概率值的唯一方法是通过对该事件进行 100 次， 1000 次或者甚至 10000 次的前后相互独立的 n 次随机试验，针对每次试验均记录下绝对频率值 hn(A)和 相对频率值 fn(A)，随着试验次数的增加，会出现如下事实，即相对频率值会趋于稳定，它在一个特定的值上下浮动，也即是说存在着一个极限值 P(A)，相对频率值趋向于这个极限值。这个极限值被称为统计概率，表示为： 。例如，若想知道在一次掷骰子的随机试验中获得 6 点的概率值可以对其进行 3000 次前后独立的扔掷试验，在每一次试验后记录下出现 6 点的次数，然后通过计算相对频率值可以得到趋向于某一个数的统计概率值。上面提到
12、的这个有关相对频率的经验规律是大数定律在现实生活中的反映，大数定律是初等概率论的基础。统计概率在今天的实践中依然具有重要意义，特别是在初等概率论及数理统计等学科中。3.现代概率论与初等概率论相对的，是“现代概率论”。因“测度论”的研究与发展，概率论得以建立公理化系统。 一些曾经无法用初等概率论解释的概念因此得以用公理化的语言进行解释。 可以说现代概率论以测度论为理论基础终于得以完善，完成了其现代化进程。总结：虽然概率论最早产生于 17 世纪，然而其公理体系只在 20 世纪的 20至 30 年代才建立起来并得到迅速发展，在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性，例如：
13、物理、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学，经济学以及几乎所有的工程学等领域。特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基础，其结果被用做问卷调查的分析资料或者对经济前景进行预测。相信通过对概率论的学习，我们今后的学习与生活将受益匪浅。参考文献：1. 安美景.小概率事件原来的应用J.时代教育，2009（3）.147.2. 杨兴民、刘华巧，小概率原理及其应用J.科技论坛，2006（4）.34.3. 何超. 关于概率为 0 的事件和不可能事件J.科技资讯，2008(22).4. 察可文、李汝修. 彩票中的数学J. 山东轻工业学院报，2003.17(3).71 - 77.5. 中国彩票. 中国彩票大事记N. 公益时报，2007.9
