1、 概率论与数理统计小论文题 目： 概率论总结 院 系： 机电工程学院 班 号： 11408101 姓 名： 王玉辉 学 号： 1140810124 时间：2015/12/10概率论总结姓名王玉辉机电工程学院 机械设计制造及其自动化 学号 1140810124【摘 要】:概率论与数理统计课程是工科大学的一门应用性很强的必修基础课程。通过近一个学期的学习，我对概率论也有了一些粗浅的认识，本文将从概率论的历史和发展讲起，接着对二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系进行一个简单的论述，然后将概率论的一些概念与以往学过的数学概念进行类比，最后对概率论在工科数学分析中的几个巧用进行说明。【关键词】：二项分
2、布；泊松分布；正态分布；类比；级数；广义积分1 概率论的起源和发展概率论是一门古老而又年轻的学科。概率论而言，两个最主要的概念就是独立性和随机性。且概率论与日常生活紧密相连，正如十九世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分, 最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的, 只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身, 归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此,整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。 ”著名的希腊历史学家希罗多德在他的巨著历史中写道: 早在公元前 1500 年,埃及人为了忘却饥饿的困扰, 经常聚集在一起
3、掷骰子和紫云英,这是一种叫做“猎犬与胡狼”的游戏, 照一定规则,根据掷出各种不同的紫云英而移动筹码。大约从公元前 1200 年起, 人们把纯天然的骨骼(如脚上的距骨) 改进成了立方体的骰子。概率论的历史只有短短的三百多年时间。虽然在早期概率论的发展非常缓慢，但是十八世纪以后由于社会学，天文学等其它学科的研究需要，使得概率本身的理论得到了迅速发展，它的思想和方法也逐渐受到了其它学科的重视和借鉴。二十世纪以来, 概率论逐渐渗入到自然科学、社会科学、以及人们的日常生活等几乎无所不在的领域中去.无论在研究领域, 还是教育领域, 它愈来愈成为一门当今最重要的学科之一。于是, 对于概率论历史的研究也日益引
4、起科学史学家们的重视。在概率论发展历史上, 十八、十九世纪之交法国最伟大的科学家之一拉普拉斯具有特殊的地位, 1812 年拉普拉斯首次出版的分析概率论标志着概率论历史上的一个重要阶段-古典概率论的成熟。概率论发展到 1901年, 中心极限定理终于被严格的证明了, 以后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了 20 世纪的 30 年代, 人们开始研究随机过程, 著名的马尔可夫过程的理论在 1931 年才被奠定其地位。到了近代, 出现了理论概率及应用概率的分支, 及将概率论应用到不同范筹, 从而产生了不同学科。因此, 现代概率论已经成为一个非常庞
5、大的数学分支。2 二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系2.1 二项分布、泊松分布之间的关系定理 1 泊松定理:在 n 重伯努利试验中, 事件 A 在每次试验中发生的概率为 pn,它与试验次数有关,如果 ，则对任意给定的 k, 有lim0npk=0,1,2lim(1)!kknnCpe泊松定理的证明见文献（课本） 。由该定理知，当二项分布 B（n,p）的参数 n 很大，p 很小，而 =np 大小适中时，二项分布可用参数为 np 的泊松分布来近似, 即 (1)!kknnCe这就是二项分布的泊松逼近。当然应尽可能地大, 否则近似效果往往不佳。二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件即每次试验中事件
6、出现的概率p 很小, 当伯努利试验的次数 n 很大时, 事件发生的频数的分布。实际表明, 在一般情况下, 当 p0.1 时, 这种近似是很好的, 甚至 n 不必很大都可以。2.2 二项分布和正态分布之间的关系定理 2 设在 n 重伯努利试验中，成功的次数为 Yn,而在每次试验中成功的概率为 p(0p1),q=1-p,则对一切 x 有.21lim()()txnYpedq定理 2 就是概率论中著名的棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理, 它的证明见文献2。该定理表明, 当充分大时, 二项分布可用正态分布来近似, 即二项分布的正态逼近。2.3 泊松分布与正态分布之间的关系由定理 1 和定理 2 可知二项分布
7、既可以用泊松分布近似,也可以用正态分布近似。显然, 泊松分布和正态分布在一定条件下也具有近似关系, 下面的定理说明泊松分布的正态逼近。定理 3 对任意的 ab, 有其中 ， 。21lim!tkbaeedxab定理 3 的证明见文献3如前文所述, 二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的条件是不同的。当 p 很小时, 即使 n 不是很大, 用泊松分布近似二项分布, 已经相当吻合。但是在这种情形下, 用正态分布去近似二项分布, 却会产生较大的误差。直观上也可以想象得到, p 很小, n 又不大, 则 =np 一定不会很大。由定理 3 可知, 正态分布就不能很好地近似泊松分布, 因而也就不能近似被泊松
8、分布十分逼近的二项分布。在 n 充分大, p 既不接近于 0 也不接近于 1 时实际上最好满足(0.1p0.9) 用正态分布去近似二项分布, 效果就较好。3 类比法在概率论中的运用3.1 事件和集合的类比事件是概率论的一个基本概念， 事件的关系与运算可以和集合的关系与运算作类比学习。如在事件中， 表示 A 出现则 B 一定出现，在集合中，B表示 A 是 B 的子集。需要注意的是，事件的相等和集合的相等有不一样的性质，即由两个集合相等可以得出它们含有完全相同的元素，而两个事件相等则并不意味着它们是同一个事件。这种不同点要加以区分，以免混淆。此外， 事件运算的性质和集合运算的性质, 如:交换律，结
9、合律，分配律，对偶律等，也可以类比学习。3.2 某些数字特征与有关向量的概念的类比3.2.1 方差与向量长度平方的类比随机变量 X 的方差定义如下:D（X）=EX-E（X） 2，其中 E（X）表示 X 的数学期望。方差可以和向量长度的平方类比，设 为 n 维向量，=（x1，x2，xn） ，则| 2=（ ） 。2213nxx+3.2.2 协方差，相关系数和向量的内积，夹角余弦的类比随机变量 X，Y 的协方差定义如下:cov（X，Y）=EX-E（X） Y-E（Y） =E（XY）-E（X）E（Y） 。特别地，cov（X，X）=EX-E（X） 2=D（X）协方差可以和向量内积作类比。设 ， 为向量，用
10、 表示它们的内积，则有 = | 2。4 概率论方法的几点应用4.1 数列求极限数学分析中的数列极限问题的证明和计算有的比较烦琐, 若用概率论的方法去解决, 可达到事半功倍的效果。例 1 求 n5lim!解 设 X 服从 = 5 的泊松分布, 即()!npxe则 ，5k1!n所以 51!nke由级数收敛的必要性可知: =0n5lim!实际上,这种形式的极限求值均可构造 =a 的泊松分布来求值, 再用级数收敛的必要性去判断即可。4.2 级数求和例 2 求 12n31n解：构造随机变量 服从 = 的几何分布P23即 =)(nP231n则 =DE22 349又因为 = =21n1n21n所以 =12n
11、394.3 求广义积分例 3 求 02ex解：因为被积函数是偶函数所以 原式= d12x2由正态分布的性质得： =1xe21所以 =ex2d又 =2202xd所以 =02xd推广：对形如 这样的积分问题我们可以利用正态分布的密度函数可以)(f解决，实际求解的时候，我们可以把它推广到一般的情形 ，解法如下：xdtf)(比如 F（x）= dtuxe2)(1解:设 dtdtxex21)()( 令 utv则有 dt所以 F（x）= =tuxe2)(1 )(12uxdvuxe当给出具体 值，我们通过查表就可算出结果。,例 4 求 dxx)322()(解：直接计算是很麻烦的。现在利用随机变量的数学期望与方
12、差公式以及密度函数的性质进行计算。因为 )21(223x所以 exx)1(22)3( 从而可以利用正态分布随机变量 求积分。)21,(Ndxxe)32(= 1()2= 32(2xE= )()Ee又因为 23(,1)(,3)(2XDXE=dxx)322) e4用概率论的方法证明数学分析中的问题，主要是引入随机变量、恰当的构造模型把分析的语言转化为概率论语言，然后利用概论密度函数、期望、方差等相关概率论的知识去解。由以上解题可知概率论在数学分析某些问题的求解确实有一定的优点。 45.结语 其实，许多问题并不是单纯的组合问题，还要考虑一些其它的因素。比如打桥牌时决定是否要飞张的时候，并不能只考虑大牌
13、分布的概率因素，还要考虑叫牌过程等等。这就是所谓条件概率。现实生活中的问题就更复杂了，许多时候它所依赖的条件并不能准确的用数学表达出来，而只能是凭经验，凭感觉或别的计算。比如天上的云的情况与明天是否下雨，这两者之间有很强的统计规律，甚至有很多农谚因此而产生。但真正要预报天气却不能靠这些农谚，还得要做大量的非概率运算。概率论渗透到现代生活的方方面面，科学分析有利于我们做出正确的决策。 人们在生活和工作中,无论做什么事都要脚踏实地,对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过:/概率是人生的真正指南 0。随着生产的发展和科学技术水平的提高,概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。总之,由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力。 参考文献1 概率起源于玩骰子游戏的数学理论 魏东东 课余揽胜数学史话 2007年 4 月2 概率论与数理统计 王勇 高等教育出版社3 概率论与数理统计 梁之舜, 邓集赞 北京高等教育出版社4 概率论方法的几点应用 方永锋,徐顼,邱泽阳 甘肃联合大学学报( 自然科学版) 2006 年 9 月 第 5 期
