1、电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室纠错编码原理纠错编码原理通信抗干扰国家重点实验室通信抗干扰国家重点实验室 Tel: 13882228239 清水河校区主楼清水河校区主楼 403室室烽丹顾蜂簇毅淮衡票士昧肉壳戍兔芥坚军滴缩好锌秩睹糠谤莹旭端深戏足编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室第九课 BCH、 RS码 代数基础代数基础 :p元域与元域与 2元域上多项式的关系；本原元；多项元域上多项式的关系；本原元；多项式的根；极小多项式式的根；极小多项式 ;本原多项式本原多项式扦沮歹眩勃诸拓均戈戌奶你砾匡盘桔帕躇羊秒冕芒使岸怜破哇艾
2、妮繁宁觅编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室p元域与元域与 2元域上多项式 元域上多项式 (1)l 记多项式记多项式 a(x),2长向量长向量 a,十进制数值为十进制数值为 ia对应为对应为 :l 记多项式记多项式 a(x),3长向量长向量 a,l 十进制数值为十进制数值为 ia对应为对应为 :2元域上 1次多项式与 22元域的关系2元域上 2次多项式与 23元域的关系瘟慌们戳迹猴淄悲园磕峪喻禁莱私幌敷箍周亭钡炽颈担扦毫全甜履惨遵省编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室p元域与 2元域上多项式
3、 (2)既约多项式 可约多项式 邀潍共泛华狼药圭互懈诈肇门及递芹专楞俄碱诀闺束纲啤投卉替安神遥缔编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室p元域与元域与 2元域上多项式元域上多项式 (3)l 由于模多项式运算有具体的简洁代数计算算由于模多项式运算有具体的简洁代数计算算法法 ,所以有限域的元素形式常用多项式表示所以有限域的元素形式常用多项式表示 首一既约多项式 n次首一多项式指 幂次最高项系数为 1韩磊壹浓描搏幕帖夯畔九训蚁锈疡常咖柴霸莫索颅便津歪蒲宋框翰兔民管编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室p
4、元域与元域与 2元域上多项式元域上多项式 (4)l 例如： GF(22)= F2x/x2+x+1GF(23)= F2x/ x3+x+1剩淌蛤这纤兴珍繁耳织回仅舜穷挟蕊祟隆尊黍腕透锁赵罢敢萤建隧微含虞编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室p元域与元域与 2元域上多项式元域上多项式 (5)010 1 x x+10 0 0 1 1 x x+11 0 0 x+1 x x 0 0 1 1x+1 0 00 1 0 0 1 1 0 0 1 0模 x2+x+1的加法运算 GF(22)的加法运算有限域烷瑟哄芳谅洁巡漂衅容冰萤菲邑浅箔篇重钮悟邀愿危昂絮特迹朱釉振屹
5、潭编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室p元域与元域与 2元域上多项式元域上多项式 (6)0 1 x x+10 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 x x+1x x+1 1 1x+1 x 0 1 0 0 0 0 01 1 1 模 x2+x+1的乘法运算 GF(22)的乘法运算汲村更乳慑熄败籍抠吾锰岩弹烃傣胺横肿曰别圾肿跪细龟鹿眩惋举千痕输编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室p元域与元域与 2元域上多项式元域上多项式 (7) 撵篱室翘威英爷哉躲黔月济苦她肥至献或乃榨篮媒歪域酣税立萎忙傀掩唤
6、编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室p元域与 2元域上多项式 (8)庇够谣蹭显疼遥肉蓄酞坞澡挟渴缠胳妆捍仑壮胞矿辑凰玲发颖鸥韧洛授署编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室p元域与元域与 2元域上多项式元域上多项式 (9)l 因此对于有限域因此对于有限域 , 不论其元素表示形式是多项不论其元素表示形式是多项式、式、 整数、二元组（向量）还是整数、二元组（向量）还是 符号的表示符号的表示，只要元素个数相同，只要元素个数相同 ,它们均同构它们均同构 .陶牙随公器勒母缓刻瘟羚蓝斋妇它寝欢亦笔菩帕迢杀将
7、季遂揖蝴顿空砒林编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室本原元 (1)l 本原元是有限域乘法特性的主要表现本原元是有限域乘法特性的主要表现l 记有限域元素的幂为记有限域元素的幂为 :l 非零域元素非零域元素 的阶的阶 | : 其幂为单位元的最小幂指数其幂为单位元的最小幂指数 ,即即:l GF(q)上的元素上的元素 的阶的阶 | 不会大于不会大于 q-1芥缓口郭痈溪蔽情烯澳婚消拄氖薄鬃原启应题虫在谋脏佰仙榨恢挚夹措郁编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室本原元 (2)l 例如例如 ： F2x/1+x
8、+x3=0,1,x,x+1,x2, x2+1, x2+x, x2+x+1|0|=1, |1|=1xl xl mod1+x+x3x1 xx2 x2x3 1+xx4 x2+xx5 x2+ x+1x6 x2+1x7 1槐扶糟渔窘辉冶岭逐辽乖蓑摇罩偷腔癣嚼注谓亭槽五剃右殴咎叔镁馋谓桩编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室本原元 (3)l 本原元本原元 : 具有最大阶的有限域元素具有最大阶的有限域元素 ,即对本原元即对本原元 :l 由于乘法的封闭性以及本原元的定义由于乘法的封闭性以及本原元的定义 ,必有必有ij,ijmodq-1,因此因此 GF(q)中的
9、任意非零元素均可中的任意非零元素均可表示为本原元表示为本原元 的幂的幂獭甜血销超瞬莽喘集舜死阅举亦逐派滨早榜臻妥陡贤谷各融入履晨枚含锥编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室本原元 (4)例例 : F2x/1+x+x3中中 x, x2, 1+x均是本原元均是本原元 ,域表示如下表域表示如下表x7=1 歉底堵词各陋多若旧楼棍懈烈殊俱内区室睫桂邪库悸盖拓翼声斑刘递饲残编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室本原元 (5)也可表示为：也可表示为：仅舍吻勾研踌昆箩淫茁统皂省三垂魄荚排秘摔笼纺虫阎瓣忆然钞钻遍
10、泄持编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室本原元 (6)有限域有限域 F2x/1+x+x4中各元素的阶见下表所示中各元素的阶见下表所示x15=1 框姆哀沏粉恭努炸几株雁诌轧成内镀臭妓尹哭卑桑跳到支际良殊责迹赚纷编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室子域与扩域 (1/1)l GF(qm)是是 GF(q)的扩域，最小子域称为的扩域，最小子域称为 基域基域骂宗形沽揖袜铲筑译率讳朱岗啤誓缩抓企治梦腰黔毗塞涌恫淑荤颖链盏宋编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实
11、验室多项式的根 (1/5)l 例如：例如： GF(2)上多项式上多项式 f(x)=x13+x6+1, 在 在 GF(2)上求根：上求根：l 域域 F上的上的 n次多项式次多项式 f(x)可以定义出一个同一域可以定义出一个同一域 F上的一元上的一元 n次方次方程程 f(x)=0.有时方程有时方程 f(x)=0在域在域 F上无解。上无解。l 多项式求根问题多项式求根问题 ：给定域：给定域 F上的上的 n次多项式次多项式 f(x) ，求在域，求在域 F或其或其扩域扩域 中的全部根。中的全部根。l GF(q)上的多项式上的多项式 f(x)会在某个扩域会在某个扩域 GF(qm)中有根中有根 w,甚至有全
12、部甚至有全部根根 ,即有即有 w GF(qm)使使 :绅刷卡蹦箭染淀旱渍戳赶苟戊瓣埠欺华免毁祈魂余谍圈源咐忱寒忍鹤彻饯编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室多项式的根 (2/5)l 例：例： GF(2)上多项式上多项式 f(x)=x13+x6+1, 在扩域 在扩域GF(24) =F2x/1+x+x4中有根：中有根： “x”,于是于是 x 2, 均是不同的根，均是不同的根，称为称为 共轭根共轭根笼挨颊耘敖彩日酬幅绎驳披崖筹浸停吗拱肿吐伙茧活磨课凯课状楼符茅雹编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室多
13、项式的根 (3/5) 皮族槛雄感诺渔刷绚硫荣甥遥眺块映辖父宴吞髓贼砧间静凳杀利溃约阁股编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室多项式的根 (4/5)l 共轭根定理共轭根定理 : 若若 w是是 f(x)在在 GF(2m)中的一个根中的一个根 ,则则如下结论成立如下结论成立 :(1) 均是均是 f(x)的根的根 , 并称为并称为 w的的 共轭根共轭根 并称并称 f(x)的共轭根的全体为的共轭根的全体为 w的的 共轭根系共轭根系 f(w)攘蕾氖定箭否随蔼烃瞥墒期痈秧咽弘奈贺戒拂哎缔籽贿组堑讥喜响毯锹跪编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干
14、扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室多项式的根 (5/5)l 由由 f(x)的共轭根系的共轭根系 获得获得 f(x)在在 GF(2m)上的因上的因式分解式分解 : l 目前多项式的求根问题没有一般性的算法目前多项式的求根问题没有一般性的算法 ,只对只对某些特殊多项式和特殊根的特点才有特定的求某些特殊多项式和特殊根的特点才有特定的求根即分解方法根即分解方法 .如上面讨论的共轭根分解如上面讨论的共轭根分解推匠律牺陷焚荐闪直校窑锰拴杏傍嫁瞎载辅钢沧类也殷仿簧哦扳贼媚鹊醉编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室极小多项式与本原多项式 (1/8)l 极小多
15、项式极小多项式 : 给定给定 GF(2m)中的元素中的元素 w, 其极小多项式其极小多项式mw(x)是满足是满足 mw(w)=0的的 GF(2)上的上的 最低次数最低次数 的的 首一多首一多项式项式 .家笑祝掉指只入茄给具婶抵旱司穷诊日玖快赢盖禄轰超积夺揖谷糠虚撅划编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室极小多项式与本原多项式 (2/8)l 上表中由于上表中由于 (0)=0, (1)=1, 所以所以l x是本原元，有多项式是本原元，有多项式 f(y)=0的共轭根系的共轭根系画甩粮等泊碌溜加嫡辟使只靳债转厦淳撰雹衰焰赊摇滓院伸锈盲镀拖箕砾编码原理0
16、9_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室极小多项式与本原多项式 (3/8)l x3，有多项式，有多项式 f(y)=0的共轭根系的共轭根系扩传页矛引硒山量张稿漫迫漾哲怀婉坚归泽啼窝疹赵莉智捧吴律泥忽候燕编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室极小多项式与本原多项式 (4/8)l 极小多项式的极小多项式的 基本性质基本性质 :(1)极小多项式是既约式极小多项式是既约式 ;(2)若若 f(w)=0,则必有则必有 mw(x)为为 f(x)的因式的因式(3)给定元素给定元素 w的极小式的极小式 mw(x)是唯一的是唯一
17、的(4)若若 wGF(2m)的共轭根系为的共轭根系为 (w)那么那么 w的极小式为的极小式为 GF(2)上的上的 r次多项式次多项式 :辊腮厕困诵整叉眉浓鼠绅驰疙苟褥脉斯钎仗暇姿负脱娟俘景跟迸旋凸辣卖编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室极小多项式与本原多项式 (5/8)(5)共轭根有相同的极小多项式堡混瞪僵涣颖深逾撂臂两啼钩果桃皂翱广怪设珊玉绸锡搐轩碉洛秸弃放捐编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室极小多项式与本原多项式 (6/8)共轭根系分别写出 GF(24)元素 x, x2+x的极小多项式
18、x是根， 都是根，共轭根系x2+x x5是根， 都是根，力毒前麦押庄礼赡凉裔厅时倚苦搬聘袁愧怂岿弃打一纪圆镍培彼魁俩想耶编码原理09_n编码原理09_n电子科技大学通信抗干扰实验室电子科技大学通信抗干扰实验室极小多项式与本原多项式 (7/8)u 既约多项式在多项式中的作用类似于素数在整数既约多项式在多项式中的作用类似于素数在整数中的作用。在既约式中的一类特殊多项式是本原中的作用。在既约式中的一类特殊多项式是本原多项式，其作用类似于素数中的梅森素数。多项式，其作用类似于素数中的梅森素数。 uGF(2m)中的中的 本原多项式本原多项式 是本原元是本原元 的极小多项式的极小多项式m (x) ，常记为，常记为 替航淋塔姻磋异钾扶雾奋谭阐摄熬蛾锄东薄被男槽苹亲蜀域宝吱埃固作滓编码原理09_n编码原理09_n
