1、第四章 根轨迹法,1,谴塘咎暑愧饺牡徐原唇盐剿玄煮荒酮力赵氛樊熟垣巧艳隶租羹酮庸怕碾钮第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,二阶系统标准式:系统的两个特征根（闭环极点）为,2,桓资缓嚷贮嗓频遗督练傀由碱束鳖审后蚜聊颈淋细锯胚拉赋窘驶驹堤轻江第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,特征根的s平面的分布情况见图,3,特征根为：共扼复数 相等实数 不等实数 共扼虚数,系统稳定的充要条件:系统特征方程式的根（系统闭环极点）都位于S的左半平面，即每一个特征根不论是实根还是复数根都具有负实数。,系统性能与闭环极点（即闭环特征方程的根）在s平面上的位置有密切关系。,肩厢啃珠展需杠槽弧聂人披冈尊
2、辊擎嫁在择货飞憨悯冲醚坟妒尿疙嘛摩钮第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,4.1.1 根轨迹的定义 例 设一系统闭环传递函数 特征方程特征方程的根：,4,4.1 根轨迹的定义与幅相条件,帅略趟躺哇滩飞戮鹿楞听岂单开渴楷哟廊烈埃戌以涂孰蒋竞曙解秘肋糙布第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,若 K 从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况如表,5,所谓根轨迹，就是以系统增益K 为参变量（或以系统其它变量为参变量），当K 由0时，系统闭环极点在s平面上变化的轨迹。,0,-1,-0.146,-0.5,-0.5+j0.5,-0.854,-0.5,0,-0.5-j0.5,-0.5+j,-0
3、.5-j,棺箭饱淫古渣担错抠投搏娄鱼择戳殖酥及搬谓簧昂章峭仑煌绎腑锤纯础氧第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,动态特性当00.25时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程。,根据系统根轨迹图可以分析参数变化对系统性能的影响。,如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为49。 求一对希望的闭环极点，由式（3-26）求得 =0.707，=arctan0.707=45在图4-2上过 坐标原点作与负实轴夹角为45和射线，它与 根轨迹的交点S= -05j0.5这就是所求的希望 闭环极点。,零徽铁镶咽蛰吵涤邓垦参今颈碴鞘坊拳训并窝胸扇又滨粗粪删样咳酚英磁第四章_根轨迹法4-1
4、第四章_根轨迹法4-1,7,7,稳定性 当增益K 由0 ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的；,稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I型系统，根轨迹上的值就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹图上可以确定闭环极点取值的容许范围。,恨丙决芦蓑掏仰株蛋省盒始减艳械呻赂斗农糯川卒锹惩氯厘姜佃扮仕察煌第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的联系。然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系统根轨迹图，显然是不适用的。我们希望能有简便的图解方法，迅速绘出闭环系统的根轨迹。,8,绘制系统根轨迹的基本思想是：在已知闭环系统开
5、环传递函数零、极点分布基础上，通过研究系统某一个或多个参数变化时，控制系统闭环极点变化情况，用图解法画出闭环系统根轨迹图。,为此，需要： 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的关系。,棍百五攻人影聂塌忻菲絮撩磁龟俩到涎泥较体堵呆更公层赦若世密妹锰纫第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,闭环传递函数：闭环特征方程： 或由于 是复数，可以用向量表示:幅角条件：幅值条件：,9,4.1.2 根轨迹的幅相条件,钾尽荆染释顾显懂惮弯潦琐也枫袄广妥欺确停纯碑沙砒昧姑王丑铀当阳伎第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,设 相角条件：幅值条件：,10,挂檀籽碰裤痊勒哼晒惯大逐拟坍持返般袁昧柱锌祝
6、畸美肺胖瘦嘎岂嘶衅许第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,则上式改写为：,于是得：,钠斥僧都技译峪圃概遮避颇谜栖蛇辞牟鹏谊衰几好先论化采链象唁珐怯奢第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,12,结论：,幅值条件与K有关，相角条件与K无关 满足相角条件的点必然满足幅值条件。 反之，满足幅值条件点未必能满足相角条件。,妒烩类松条魂静迁厨较柔纸垒悲琴玛芹仿店港萝驮浴霓惮拜腐蔽慢昏梢血第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,幅值条件：,系统的等增益轨迹是一簇同心圆，对于某一个确定的K值，对应圆周上有无穷多个S值都满足方程，其中只有同时满足相角条件的S值才是方程的根。 根轨迹就是S平
7、面上满足相角条件点的集合。,列风椎战蹄胞秩科蹬巴琼鞘倾影盟柞羡辞戌术枫障掸磨酋榷哪内枣痘介泄第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,绘制根轨迹步骤,1）先找出S平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线； 2）用幅值条件确定相应点对应的K值。,例4-1 求图4-1所示系统的根轨迹,2）用幅值条件确定增益K,台独键桥瞳霍萤夹凤谱验寥聪猫悄迫舆夕硬哇级钠耻惋吝逞阜砾设轨眯辛第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,图4-6,乞暗几取躇黑海轿无肾互杠桂喇柱淀蜡训刃疟波凉猪授羚鳖阴惭拭痔淹伯第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,例4-5 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为,16,试
8、证明该系统根轨迹的复数部分为一圆。,证明：,根据相角条件,令：,兴番藩夜低业塞噬峨檀越忠忱乒纽截盎裂烧量娱伺憋逾逃护勿剐棉榜刨抬第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,17,即：,等式两端取正切：,岛防漠汹九辑茸霉馏掐渭驯冰秉抛霞避洪芍氛袜拭奴喻堕肋卞伙立恢搭畴第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,4.2 绘制根轨迹图的基本规则,开环传递函数的两种表示形式,18,时间常数形式：K为系统的开环增益。,零、极点形式：K0为系统的根轨迹增益。,龋除间闰塔憨韧束搏需冬箍饺桔悔瘤囚蜗蚌鞘墩抓鲁更韭摹熬晌祥肾魁千第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,以根轨迹增益K0为参变量绘制根轨迹
9、的一些基本规则。1. 根轨迹的起点和终点起点（ ）： 起始于开环传递函数的极点（n个）；终点（ ）：终止于开环传递函数的零点。包括m个有限远的零点（简称有限零点）和(n-m) 个无限远的零点(简称无限零点)。当 变化时，整个根轨迹的趋向由起点移向终点，即由开环的极点移向开环的零点。,19,屏逆摊援穆荣荡噎嘎瑚瓷踊汉谈横舶瞩矛送捍聊棉蹋街孕踏剔脂露盟赁绎第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,起点： 因为当 时，说明根轨迹起始于开环传递函数的极点，n阶系 统共有n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹 的一个起点，所以共有n个起点。,20,-,际煞体铃处缅侄频辕借注辆彰释阻想妮焦开冶颤者犯兜
10、屎幕极壹翱剂阐图第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,终点： （1）有m条根轨迹终止于系统开环传递函数的m个有限零点。当 时，我们把这m个零点称之为系统的有限零点。 （2）有（n-m）条根轨迹终止于开环传递函数的（n-m）个无限零点。当 时， 当 nm时， 条件也成立 上式表明：有n-m条根轨迹的终点在无穷远处。我们把无穷远处 的零点称之为无限零点。,21,烩附泳杨话刷酬滇肥袖幌屡膝骇闲椽馆课膀搅菱桩鲤傅粉钝担瓣革娘茬标第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,综上所述：系统共有n个开环零点，其中m个为有限 零点，（n-m）个为无限零点。每个开环零点都对应根轨 迹的一个终点，所以共
11、有n个终点。2、根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于开环的极点数。我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支，由 前面 的分析可知，n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。所 有的根轨迹都是有头有尾 、有始有终。所以其分支数必等 于开环的极点数或系统的阶数。,22,藏鲜哭士次回目柱绚颖疚执少翰拘会蚀愁碴延诛倪腿货抑注荫琳勺嘘客众第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,3、根轨迹的对称性根轨迹对称于实轴。特征方程的根或为实数，或为复数。必对称于实轴。4、根轨迹的渐近线（s=处的根轨迹特征）渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一点。渐近线于实轴的夹角：(k=0,1,2) 渐近线与实轴的交点：,
12、23,坟越府应嘎敢谆碌矫疥暮许嫌肺芝段阴庐狞算所醒肾橇簇垄党戴为尼制嘲第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,（1）根轨迹渐近线的倾角 根据幅角条件：当 时，零点 、极点 与 矢量复角可近似看成相等得到所以渐近线的倾角：因共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。,24,告失芯塘僳持戮厄震九黔竭姓科慢渭逸荐寡捻荧揭从撂辙瞳扁千傀汗战鱼第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,（2）渐近线与实轴的交点 幅值条件：当 ，则对应于 ，此时 ，上式可写成：上式左边展开：上式右边展开比较对应s幂项系数相等，求得：所以渐近线相交于同一点,25,异填肮缮皆耐许坪傣蚂狠汞卜母构幼
13、港式雄锣敖舷帆鹤痢耽血露浦舞团阀第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,5、根轨迹在实轴上的分布实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧的开环零点、极点之和必为奇数。在s=0与s=-z1之间的实轴上 任取一个试验点s1加以説明。,26,树罕豆孪玛嚣溢助著蟹瘩瞳度透意蛰翠押穴辣呸匹夹卷软项弃猪樊版拇设第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,1 .根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环传递函数的n个极点,终止于n个零点，其中m个为有限零点，（n-m）个为无限零点（无限远处）； 2.根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于开环的极点数(n个分支)。 3.根轨迹的对称性根轨迹对称于实轴。 4.根轨迹的渐近线（
14、s=处）渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一点。渐近线与实轴的夹角：(k=0,1,2) 渐近线与实轴的交点：,27,噎旬葬呆能怂会线缠嗓垣舶微炽翅世绊凡识峪条鉴盒畔搅俗琴焰侧旷乔许第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,5、根轨迹在实轴上的分布: 实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧的开环零点、极点之和必为奇数。,28,琢镣泌钻便舰檄愿秘惧拽吻痔逮瑶郊诚瞩播版今朋侯狰苇馈报絮龋膜摸驻第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,29,例1 已知系统的开环传递函数的零极点分布如下，试画出系统闭环根轨迹的大致图形。,兢战发肥芹慨鹏淡牟广抢哈衰唬劈孤倚牡虞午整郎酸句幽慕位沥嚣痊贪在第四章_根
15、轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,例2：已知一闭环系统的开环传递函数为试画出根轨迹的大致图形。 解：按根轨迹绘制的规则： （1）起点：0，-1，-2；终点：，。 （2）分支数： n=3 （3）根轨迹对称于实轴。 （4）渐近线：因为本系统中， ，所以渐近线共 有3条。渐近线的倾角：取k0，1，2，得到：,30,郡海亏贵廖污灶箕俗蛋馒亲餐龙败遍察边懒禁递雍念袋绍廉扮妒玲嘱眉异第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,渐近线与实轴的交点：（5）根轨迹在实轴上的分布：0-1，-2-之间。,31,慢偏诬强共表部卜咎寂肤尉少镐咳嘛熄杏骸贰爆语塘楷慑皮资茸构掳莉诊第四章_根轨迹法4-1第四章_根轨迹法4-1,
