1、1,2.4 初等函数,一、指数函数 对数函数,二、幂函数,三、三角函数 反三角函数,四、双曲函数 反双曲函数,2,一、指数函数,1.指数函数的定义:,定义 对于任何复数z=x+iy,规定,2. 指数函数的性质,3,二、 对数函数,1. 定义,2.计算公式,由于Argz的多值性导致 w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数,规定：,为对数函数Lnz的主值,于是：,4,. 对数函数的性质,说明,两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的,任一值, 右端必有值与它相对应反之也成立,5,三、幂函数,1. 幂函数的定义,注意:,6,由对数函数的定义，,7,.,例1 求,解,所以 的三个值分别为,8,例2
2、,解,9,例3,解,课堂练习,10,2. 幂函数的解析性,内是解析的,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面,11,四、三角函数和双曲函数,1.正弦与余弦函数,将两式相加与相减, 得,现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.,12,定义,对任意的复数z,规定z的,性质:,13,(5) 遵循通常的三角恒等式，如,14,(注意：这是与实变函数完全不同的),sinz的零点( sinz=0的根 )为z=k ，,cosz的零点( cosz=0的根 )为z=(k+1/2) ；,k=0,1, 2,(7),(8),sinz,cosz在复数域内均是无界函数,15,2.其它复变数三角函数的定义,
3、1.都是相应实函数的推广 2.定义域：tanz,secz的定义域为z(k+1/2) cotz,cscz的定义域为zk,3.它们都在自己的定义域内解析 (tanz)=sec2z, (cotz)=-csc2z (secz)=tanzsecz (cscz)=-cotzcscz,4. tanz cotz的周期是 secz cscz的周期是2,5 secz是偶函数 tanz cotz, cscz是奇函数,16,例9,解,17,定义,3. 双曲函数,性质,18,它们的导数分别为,并有如下公式:,它们都是以 为周期的周期函数,19,例10,解,20,五、反三角函数和反双曲函数,1. 反三角函数的定义,两端取
4、对数得,21,同样可以定义反正弦函数和反正切函数,2. 反双曲函数的定义,22,课堂练习,1.求下列各式的值,2.解下列方程,23,3.1 复变函数的积分,一、复积分的概念和性质,二、复积分的计算,24,一、复积分的定义,1.有向曲线:,设C为平面上给定的一条光滑(或分段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,25,3. 若简单闭曲线C作为有界区域的边界，此时C的正向是指当观察者沿此方向前进时,该区域始终位于观察者的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.
5、,曲线方向的说明:,1. 一般: 曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向.,那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C-,2. 对分段光滑的闭曲线而言,逆时针方向为正方向, 顺 时针方向为负方向,26,2.复积分的定义:,27,(,28,关于定义的说明:,29,二、积分存在的条件及其计算法,1. 存在的条件,证,30,根据第二型曲线积分的存在定理,31,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,32,第二型曲线积分存在定理,33,在形式上可以看成是,公式,34,2. 积分的计算法,35,在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.,36,积分的计算步骤,第一步,
6、第二步,37,例1,解,直线段方程为,这两个积分都与路线C 无关,都有,说明:,38,例2,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,39,(2) 积分路径的参数方程为,40,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,此例说明积分 与路线有关,注：,41,例3,解,C的参数方程为,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,42,课堂练习,43,三、积分的性质,复积分与实变函数的定积分有类似的性质.,估值不等式,44,性质(4)的证明,两端取极限得,证毕,45,例4,解,根据估值不等式知,46,47,小结,本课学习了复积分的定义、存在条件以及计
7、算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握复积分计算的一般方法.,即为一元实函数的定积分.,48,但是,49,3.2 柯西积分定理,一、柯西积分定理,二、复合闭路定理,50,一、问题的提出,观察上节例1,此时积分与路线无关.,观察上节例2,柯西黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析.,由于不满足,51,由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.,受此启发,柯西(Cauchy)于1825年给出如下定理:,观察上节例,说明积分与路线有关,52,二、基本定理,柯西积分定理,定理中的 C 可以不是简单曲线.,1851年，
8、黎曼在附加假设“ 在D内连续”的条件下，得到一个如下的简单证明,53,黎曼证明,且满足CR方程：,由格林公式,定理又称为柯西古萨定理.,内连续”的假设，发表上述定理新的证明方法因此，,1900年,法国数学家古萨（Goursat） 免去“ 在D,54,解析函数在单连通域内的积分与路线无关,由定理得,即：,如图，,则,55,关于定理的说明:,(1) 如果曲线 C 是区域 的边界,(2) 如果曲线 C 是区域 的边界,定理仍成立.,56,例1,解,根据柯西古萨定理, 有,说明：本题若用复积分的计算公式，将很复杂,57,例2,解,根据柯西古萨定理得,都在曲线,58,三、复合闭路定理,1. 闭路变形原理
9、,59,从而有,解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,闭路变形原理,说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点.,60,即柯西积分定理对于以两条闭曲线（复合闭路） 为边界的多连通区域仍成立,61,2. 复合闭路定理,那么,62,这个定理是计算闭线内部有多个奇点的积分的有效工具!,63,例3,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,64,例4,解,由闭路变形原理,65,此结论非常重要, 用起来很方便, 因为C不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线C内即可.,重要积分公式,66,解（方法一）,依题意知,例5,由上例的结论，,67,（方法二）,根据复合闭路定理,分割包围!,柯西积分定理,重要公式,柯西积分定理,重要 公式,68,作业,1. 2.,P49 习题三,14. (奇数) 15. (奇数),P36 习题二,
