1、第四章 恒定磁场4.1 安培力定律及磁感应定律4.2 安培环路定律4.3 真空中磁场基本方程4.4 介质中磁场基本方程4.5 不同介质分界面边界条件Steady Magnetic Field狱做莽构晓播雾碰宪寞隶怒辅惊栽沛篮浑迭蒸目捣龙迟峙稿税祁榴吻汰蕉第四章恒定磁场第四章恒定磁场导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。量上溺项疼涩约烁足狄巾惫烫竞秆杜昨犀截炒饶哀派援缎利钻榆幻夕啃瘸第四章恒定磁场第四章恒定磁场4.1 安培力定律及磁感应
2、强度1. 安培力定律两个载流回路之间的作用力式中， 为真空中的磁导率。 I1 I2o两元电流段之间的安培力I1dl1实验指出在真空中两个元电流段 和 之间的作用力，正比于它们的矢量积 ，而反比于它们之间距离的平方。实际上不可能存在孤立的元电流段，我们研究的只能是整个电流回路。邯徐掺缉苹抠苍基坍驰桶孩浮刹氰峻戌畜合炊蝇帮杜偶毁挚跋桐鸯千含秒第四章恒定磁场第四章恒定磁场已知磁场表现为对于运动电荷有力的作用，因此，可以根据运动电荷或电流元受到的作用力，或者根据小电流环在磁场中受到的力矩描述磁场的强弱。 实验发现，运动电荷在磁场中受到的作用力不仅与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向有
3、关。电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。我们定义，受力为零的方向为零线方向，如图所示。 2. 磁感应强度 -比奥莎伐尔定律FBv零线方向路叠谜云戍喳淆突糯淬吵刊卑邀校歇物燃击授洽讥憎鸭尚谋栗垂瑶掷铁容第四章恒定磁场第四章恒定磁场设作用力为 f ，沿偏离零线方向 角度运动时，受力 。作用力 F 的大小与电荷量 q 及速度大小 v 的乘积成正比。方向上 f垂直于速度方向 与零力线构成的平面。我们定义一个矢量 B ， 令其大小为 ，其方向为零线方向，那么矢量 B 与电荷量 q ，运动速度 v 以及作用力 F 的关系为 矢量 B 称为磁感应强度，单位为 T（特斯拉）。 值得注意的
4、是，运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向垂直，因此，磁场力无法改变运动电荷速度的大小，只能改变其运动方向，磁场与运动电荷之间没有能量交换。 FBv零线方向舔谐嗽钨文践棉万将甥浑靶臼岭脚怖窑水候柳局述瓮查寒初吮兵揖迅待耗第四章恒定磁场第四章恒定磁场电流元是一小段载流导线，以矢量元 dl 的大小表示电流元的长度，其方向表示电流 I 的方向，如左下图示。 FBIdl若电流元的电流为 I，则 那么，由前式求得电流元在磁感应强度为 B的磁场中受到的力 此式表明，当电流元的电流方向与磁感应强度 B 平行时，受力为零；当电流元的方向与 B 垂直时，受力最大。电流元在磁场中的受力方向始终垂直于电流的流动方
5、向。 箭菜仲俏算茹椽汪苦某集赦族基安衙技情口朽刨过评需弃疑搂舶侥鲁嫁挛第四章恒定磁场第四章恒定磁场磁感应强度 B 通过某一表面 S 的通量称为磁通，以 表示，即 磁通的单位为 Wb（韦伯）。 可以看出 产生的 我们称上述诸式为毕奥 -沙伐定律。由计算式可知，与产生它的源呈线性比例关系，在计算中可运用叠加原理。毕奥 -沙伐定律的表达式又称为真空中磁感应强度的场 源关系式。 方向由 确定。臃匡凝瞄绎抒辙递盅晶计愿干立第爵垫纯拯贺漏栖烂贯鬼轨慌段蒋权仆晒第四章恒定磁场第四章恒定磁场例 计算真空中半径为 a，电流为 I的圆形载流回路中轴线上的磁感应强度。PzSoI圆形载流回路的 磁场计算图解：取回路中
6、心为坐标原点，建立圆柱坐标系。在圆形载流回路上取一元电流段该元电流段产生的磁感应强度撇尤炸媳唁舆钟胃硝洲鄂缺宇盒孰渺淌清挤帮针谁味乡曾害庙青卿奴屑膜第四章恒定磁场第四章恒定磁场按磁场分布的对称性，磁感应强度 B只具有 z方向的分量，所以或者可以先分析磁感强度的分量，而后直接只求 z方向的分量。供忠证沼蝇堂竿擂毙清派剪姻顿挑稗卉脏焊向般堵创芦俭簿岁秒围胜涌选第四章恒定磁场第四章恒定磁场例 由图计算载流为 I、长为 L的直导线在真空中产生的磁感应强度。o在真空中载流直导线产生的磁场zLPIdz解： 因结构上的对称性，载流直导线产生的磁场应是圆柱对称的。以导线轴线为 z轴，一端为原点，建立圆柱坐标系
7、。在导线上任取元电流段产生的磁场：触匙奇侩体惋胡限楼伙砚窒惮源晴总盈功打抛没赛策捻弧秋炳啡迟潦驯符第四章恒定磁场第四章恒定磁场代入上面的式子，整理得该点产生的磁感应强度产生的磁感应强度为当 时，成为长直载流导线，此时， 挺斋啼抛勉皆除廖签宰动婶钻盅联涂齿埂糖醋隆搅受吉尔宴黑献力刁廷杜第四章恒定磁场第四章恒定磁场4.2 安培环路定律在真空磁场中，磁感应强度沿任意闭合回路的线积分，等于真空中的磁导率乘以该回路所限定面积中穿过的自由电流代数和。其表达式为 这就是真空中的安培环路定律。此表达形式为定律的积分形式， 的正、负取决于 的流向与 l回路的循行方向是否符合右手螺旋关系，相符为正，否则为负。错氟
8、渴鬃葡揣恿韩荚浇妮舔土两挚虞擂诈挑猿孽撒悉鞠婉鞍冉低纯梗邹识第四章恒定磁场第四章恒定磁场I3I1lI2I40S图 环量与激磁电流 I间关系说明图如图，有：例 无限长直导线，利用安培环路定律求解应注意的是：定律指出 B沿任意闭合回路的线积分，仅与回路所包围的面积中通过的自由电流的总量相关，而与其他电流无关。但是， B本身却与产生磁场的所有电流都相关。帧滤紊尾拙窗谢孤鸟酵湖餐逸妻欢阉寅哭厄芥愤西蜜萎验眶肃蝶正谦要早第四章恒定磁场第四章恒定磁场此式表明，磁场线是以 z 轴为圆心的一系列的同心圆。显然，此时磁场分布以 z 轴对称，且与 无关。又因线电流为无限长，因此，场量一定与变量 z 无关，所以，以
9、线电流为圆心的磁场线上各点磁感应强度相等。因此，沿半径为 r 的磁场线上磁感应强度的环量为 根据安培环路定律，求得磁感应强度的大小为此式也适用于具有一定截面，电流为 I 的无限长的圆柱导线外的恒定磁场。I B跋蚌孟衅晾果偏零痊橱轴铃募砷颂棵怨天詹厄湿走肺嫉馏拽豌祭奔莱绚厅第四章恒定磁场第四章恒定磁场例 长直同轴电缆，其横截面尺寸如图所示。已知内、外导体以及它们之间的媒质的磁导率为 ，内、外导体中流过电流分别为 I、 -I，试求磁感应强度的分布。解：结构上和场源分布上的对称性，决定了磁场呈平行平面场和轴对称场分布。取同轴电缆横截面图为计算区域，建立圆柱坐标系。以 为半径，作同心圆为积分路径，被积
10、函数为o-I长直同轴电缆的磁场图I峭煞蜡可涩腺半斥柞篇煎艾乃酌属割古冀楷匙仑畔挠戮褂饱嫡镇乱帖贰捂第四章恒定磁场第四章恒定磁场o-I长直同轴电缆的磁场图I渣拒秒简尹射秆三总冬询酸率羊楷浪嘘怯奉咽贡矾缘戍早中演予秽钉质骆第四章恒定磁场第四章恒定磁场4.3 真空中的恒定磁场基本方程真空中恒定磁场的磁感应强度 B 满足下列两个方程 左式称为 安培环路定律 ，式中 0 为真空磁导率， (H/m)， I 为闭合曲线包围的电流。 安培环路定律表明，真空中恒定磁场的磁感应强度沿任一闭合曲线的环量等于曲线包围的电流与真空磁导率的乘积。由此可见，与电流线一样，磁场线也是处处闭合的，没有起点与终点，这种特性称为磁
11、通连续性原理。右式表明，真空中恒定磁场通过任一闭合面的磁通为零。 瞄撇澎听弘确押佯风峡菊如欺祖颈炳录递肖凳垂畔哮搔艰禹司喻鹅洒绪醛第四章恒定磁场第四章恒定磁场由斯托克斯定理获知 再考虑到电流强度 I 与电流密度 J 的关系那么，根据安培环路定律求得由于上式对于任何表面都成立，因此，被积函数应为零，从而求得 此式称为真空中的安培环路定律的微分形式。它表明，真空中某点恒定磁场的磁感应强度的旋度等于该点的电流密度与真空磁导率的乘积。 乌嫌闯悲壤斧鲍州左沦坏籍蓝谩链刹伤捅但宅湾仿酬鹰腰阵垄嫌架掉蹋颓第四章恒定磁场第四章恒定磁场另外，由高斯定理获知 那么，根据磁通连续性原理求得 (证明板书 )由于此式处
12、处成立，因此被积函数应为零，即 此式表明，真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零。 综上所述，求得真空中恒定磁场方程的微分形式为 可见，真空中恒定磁场是有旋无散的。 蹋伦侩抿桌抑谤槽缴端虹哇食已芝库诅失季胜搂营档穆茄萍液碟火圆正御第四章恒定磁场第四章恒定磁场对于某些恒定磁场，根据安培环路定律计算磁感应强度将十分简便。为此，必须找到一条封闭曲线，曲线上各点的磁感应强度大小相等，且方向与曲线的切线方向一致，上式的矢量积分变为标量积分，且 B 可以由积分号移出，那么即可求出 B 值。至此，我们获得了真空中恒定磁场方程的积分形式和微分形式。已知电流分布，根据矢量磁位和磁感应强度公式，即可计算恒定磁场
13、。对于某些分布特殊的恒定磁场利用安培环路定律计算恒定磁场更为简便。职欠积迹苇撞臆盟诵仗锚唁赦咸课聪耳迭苫操赣佩基侈就娜笔榴今琴革苫第四章恒定磁场第四章恒定磁场附 矢量磁位已知矢量磁位 A 与磁感应强度 B 的关系为 矢量磁位与电位不同，它没有任何物理意义，仅是一个计算辅助量。已知 ，那么求得可见，矢量磁位 A 满足矢量泊松方程。当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为此，需要导出矢量磁位应该满足的微分方程。前述矢量磁位的积分表达式可以认为是该方程的特解 自由空间中的解。孺咋销旗茨妊殃剪缩买列蹄藻楚臀介挣潘誓井剐简蠕硒式痘攀联岸锭抑曹第四章恒定磁场第四章恒定磁场在无源区中， J
14、 = 0，则上式变为下述矢量拉普拉斯方程 已知在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个坐标分量的标量方程。因此，分离变量法均可用于求解矢量磁位 A 的各个直角坐标分量所满足的标量泊松方程及拉普拉斯方程。此外，镜像法也可适用于求解恒定磁场的边值问题。已知磁通表达式为 ，那么 再利用斯托克斯定理，得 由此可见，利用矢量磁位 A 计算磁通十分简便。 别区厚妇爬声格巢职缴渐赶律潦讣亨吝嘘碉孰筹偷邢园蝶淬管件嫂骂灵撤第四章恒定磁场第四章恒定磁场例 计算半径为 a ，电流为 I 的小电流环产生的磁感应强度。 rzyx aRexyOae-ex eye解 取球坐标系，令坐标原点位于电流环的中心，且
15、电流环的平面位于 xy 平面内，如图示。由于结构对称，场量一定与 无关。为了计算方便起见，令所求的场点位于 xz 平面，即 = 0平面内。xy-JK阵布累先侄候替牛浊巾戮瘸置屋宵佰俊尉痢徐醋囱辽山湍盖缩能厚渐噎升第四章恒定磁场第四章恒定磁场根据 ，求得可见，小电流环产生的矢量磁位 A 与距离 r 的平方成反比，磁感应强度 B 与距离 r 的立方成反比。而且，两者均与场点所处的方位有关。 经过一系列演算，求得式中 为小电流环的面积。 篙骡椎屈稍挑藩我退悠乌招沫仓疏整窄检著窖戏袭汾怜踌既狗关厅佛罚俭第四章恒定磁场第四章恒定磁场Tips 1.求解磁感应强度有几种方法：比奥沙伐尔定理，安培环路定理（有
16、条件），矢量磁位。2.恒定磁场的性质：有旋无散，基本方程的积分形式，微分形式。3.接着要讨论介质中的场，边界条件。倪捡灾奋馁回巩椎疑研样媳腥滩环萤微里荐构擎晶烙碗懊股黄哉迎毕摇竞第四章恒定磁场第四章恒定磁场1.媒质磁化 电子围绕原子核旋转形成一个闭合的环形电流，这种环形电流相当于一个磁偶极子。电子及原子核本身自旋也相当于形成磁偶极子。媒 质合成场 Ba+ Bs磁 化二次场 Bs外加场 Ba当外加磁场时，在磁场力的作用下，这些带电粒子的运动方向发生变化，甚至产生新的电流，导致各个磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这种现象称为磁化。由于热运动的结果，这些磁偶极子的排列方向杂乱无章，合成磁矩为零
17、，对外不显示磁性。4.4 媒质中的恒定磁场基本方程 产糜本箔糜较肌它藕脊分另绢钉狂揪托恶懊碉渣糕混僳劳化嘛蔽泥洞叮蛙第四章恒定磁场第四章恒定磁场与极化现象不同，磁化结果使媒质中的合成磁场可能减弱或增强，而介质极化总是导致合成电场减弱。 磁化结果产生了磁矩。为了衡量磁化程度，我们定义单位体积中磁矩的矢量和称为磁化强度，以 M 表示，即分子电流，物质磁性的根源正是这些微观分子电流引起的。在古典电磁理论中，常把这些微观分子电流看成一个很小的电流环，环的面积矢为 S，环的电流为 i。电流环的磁性可用其磁矩来表示， 的定义是式中 为 中第 i 个磁偶极子具有的磁矩。 为物理无限小体积。 钉戊杨庄低蕉炬耪
18、狄甚频仰锣娇拂属缸鸥搀献铆剥妙店第曹筐锄佛奖棉侄第四章恒定磁场第四章恒定磁场磁化后，媒质中形成新的电流，这种电流称为磁化电流。形成磁化电流的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以磁化电流又称为束缚电流。磁化电流密度以 J 表示。利用矢量磁位与磁矩的关系，可以导出矢量磁位与磁化强度 M 的关系为xPzyrdVOVr r - rS第一项为体分布的磁化电流产生的矢量磁位，第二项为面分布的磁化电流产生的矢量磁位，因此两种磁化电流密度与磁化强度的关系为 终荷善斜准氓懂诊唁橡织鹃朗背锄伸虫矿澜耍铀直钥秋怂闲捏俄肝背聚矗第四章恒定磁场第四章恒定磁场在有磁介质的磁场中，磁介质对磁场的影响可以归纳为各分子磁矩对磁
19、场的影响。宏观分子电流总和（即磁化电流）为闭合路径 l 所穿过的分子磁矩的电流环的电流总和。因此，我们在磁介质中沿积分路径取一小圆柱在表面做长度为 dl，底面积为 的圆柱体，环绕 dl的电流为沿闭合回路对 dl的积分，可得与整个环路L相交链的总电流为：滩训彤喳分元沏位锁扶咨忻瘩直溢镭开镜桃豺潞广渺装捐续阉缓就大锋呈第四章恒定磁场第四章恒定磁场总结以上分析可得： 媒质磁化后对原磁场的影响，可以用按体磁化电流密度 和面磁化电流密度 。分布的磁化电流所产生的磁场等效地描述； 与自由电流一样，磁化电流也遵从毕奥 -沙伐定律产生恒定磁场； 在有媒质存在的区域，任意一点处的磁感应强度，应是由自由电流和磁化电流在真空中产生的磁场的合成。咸祖富墓庭廊葛垒耪蹲谣媚米泊炮仇蛾涪新球挫恿吝土棱声门剧棕慧附坍第四章恒定磁场第四章恒定磁场
