1、1,计算机组成技术,第 3章,计算机中的数及其运算方连众,2,第3章 计算机中的数及其运算,3.1 计数制 不讲留作业 3.2 不同计数制之间的转换 不讲留作业 3.3 机器数的浮点与定点表示法 3.4 数的各种编码 3.5 数的逻辑运算,3,3.1 计数制,3.1.1 十进制(Decimal) 3.1.2 二进制(Binary) 3.1.3 八进制(Octal System)和十六进制(Hexadecimal System),基数：基本数字集合 基值：集合的大小 数码：基本数字 数位：该数码在数中的位置 进位制： 权：基值的幂,形式：N=dn-1rn-1+dn-2rn-2+d1r1+d0r0
2、+d-1r-1+d-mr-m,4,3.1.1 十进制(Decimal),十进制是由十个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9及数码的位置位权两者来决定其数值的。 例如:(245.25)10210241015100210-1510-2 ,其中 2、4、5、2、5称为系数；10称为基()；102、101、100、称为权。 十进制的特点是“逢十进一，借一当十”。 一个十进制表示的数其数值为数值数码位权,5,3.1.2 二进制(Binary) ,二进制只有两个数码：0和1，基为2。 其特点是“逢二进一，借一当二”。,二进制数与十进制数的对应关系,从上表可以看出， 表示同一数值， 十进制的位数少，
3、 二进制的位数多， 且数值越大， 用十进制和二进制表 示数相差也越多。,计算机之所以采用二进制表示信息，原因可以归纳为以下4点： 1. 二进制是最节省的计数制之一 2. 二进制数便于物理元件的实现 3. 二进制数运算简单 4. 便于实现逻辑运算,6,3.1.3八进制和十六进制,二进制的缺点是书写冗长，不便阅读。于是便引出了八进制和十六进制。对于汇编语言程序员来说，最常用的数字编码是十六进制码。无论存储器地址还是存储器内容中的数据或指令，多是用十六进制码表示的。,由于一个数可有多种进制表示，我们用下标来加以区别，正如上述例子中所采纳的(F5.4) 16、(245.25) 10、(365.2)8、
4、(11110101.01)2 等。也可以用D表示十进制数，H表示十六进制数，O表示八进制数，B表示二进制数。,7,3.2 不同计数制之间的转换 ,3.2.1 各种数制转换成十进制 3.2.2 将十进制转换成其它数制 3.2.3 二进制、八进制、十六进制之间的转换,8,3.2.1 各种数制转换成十进制,1.1按“权”转换法,例1 (11001.11) 212412302202112012-112-216810.50.25(25.75)10 例2(746.3) 8 78248168038-1 4483260.375 (486.375) 10 例3(A5B.8)1610162516111160816
5、-1256080110.5(2651.5) 10,1.2基值重复相乘相除法,整数部分用基值重复相乘法 设Ndnrndn-1rn-1d1r1d0r0，则 N（dnrdn-1）rd1）rd0 例1 (746)8 (784）86 6086 (486)10,小数部分用基值重复相除法 设Nd-1r-1d-2r-2d-mr-m，则 Nr-1（d-1r-1（d-2r-1d-m 例1 (0.11)2 (121)2 1.52 (0.75)10,9,3.2.2 将十进制转换成其它数制,将整数和小数部分分开处理。,整数部分用基值重复相除 的方法(简称除基取余法),小数部分用基值重复相乘 的方法(简称乘基取整法),1
6、0,3.2.3二进制.八进制.十六进制之间的转换,因为有8i 23i，16i 24i，所以一位八进制相当于 三位二进制，一位十六进制相当于四位二进制。,11,3.3 机器数的浮点与定点表示法,机器数 把一个数(计算机中的数是用二进制来表示的，数的符号也是用二进制表示的)连同其符号在机器中的表示加以数值化的数.,3.3.1 数的符号和小数点的表示 3.3.2 原码、补码和反码 3.3.3 BCD码 3.3.3 奇偶校验码 3.3.4 ASCII码,根据不同的用途，计算机可以采用不同的码制来表示。 表示数字：原码、补码、反码； 人机交互：二-十进制编码（BCD）; 校验功能：奇偶校验码； 纠错功能
7、：汉明码 表示字符：ASCII码； 表示汉字：汉字编码,12,3.3.1 数的符号和小数点的表示,计算机中的有符号数的符号一般用数的最高位来表示；0-正、1-负。 符号数码化的数称为机器数；其所代表的数本身称为真值。特点如下：,0，0101011和1，0101011,1、字长决定数的表示范围；,2、符号数字化，参与运算；,3、小数点按约定方式标出；,1）有符号数与无符号数 2）定点数表示 3）浮点数表示 4）规格化数与溢出,13,1）有符号数与无符号数,无符号数：机器字长所有位都表示数值。 设：N=8 0000000011111111 表示 0255；0X255 有符号数：机器字长的最高位表示
8、符号，其它位表示数值。设：N=8位 正数：01111111 00000000表示+127+0 负数：1000000011111111表示-0-127 有符号数的范围：-127+127（包含有-0，+0） -127 X+127,14,2）定点数表示,定点数指小数点位数保持固定不变。 常有两种表示： 纯小数：1.1010101，所有数均为小数。小数点左边为符号位纯整数：11110111.，所有数均为整数。最高位为符号位,0111111111111111 表示+1-2-7 -1+2-7,0111111111111111 表示+127 -127,15,3）浮点数表示 （小数点是个移动）,由阶码和尾数组
9、成。 任意一个有符号的二进制数N的表示形式：N=S2J,尾数,底数,阶码,15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 01 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0,阶符,阶值,尾数值,尾符,可以看出：尾数位数越多精度越高； 阶码位数越多数表示的范围越大。,16,4）规格化数与溢出,规格化数：如果尾数的第一位有效数字为1，该数是规格化的；反之是非规格化的。 1.1001011; 0.1010011; 1.0100101; 0.0100101 溢出 下溢：阶码超过机器能表示的最小数，将此数当作0； 上溢：阶码超过机器能表示的最大的绝对值，溢出处理。,
10、17,3.3.1 原码、补码和反码,原码,补码,反码,为了表示数的符号，可在数的最高位之前增设一位符号位，符号位为0表示正数，为1表示负数。这样规定的二进制码，我们称为原码。例如：x1 1011010 则 x1原 0,1011010, x2 -1011010则 x2原 1,1011010,补码的特点 : 正数的补码，即真值的最前面加一符号位“0”； 负数的补码，即真值逐位求反最低位加1，最前面加一符号位“1”。,小结 机器数的最高位是符号位，0为正，1为负； 正数，其原码、补码、反码表示形式相同； 负数： x原：符号位为1，数值部分与真值绝对值相同； x补：符号位为1，数值部分为将真值尾数逐位
11、取反，最低位加1； x反：符号位为1，尾数部分为将真值的尾数按位取反。,反码的数学定义：设真值为x，机器字长位n位，则整数的反码：x反=x 0 x2n-1(2n-20)+x -2n-1x 0 小数的反码： x反=x 0 x1(2-2-n+1)+x -1x 0,18,3.3.2 BCD码,BCD码(即Binary Coded Decimal)， 意为二进制码表示的十进制数。,常用的BCD码为8421BCD码，即每位十进制数码均用四位二进制数来表示，四位二进制数从高到低的权值分别为23、22、21、20，即8421。由于它们与二进制数位权一样，故又称为自然的BCD码.,BCD码的用途如下： 在以二
12、进制工作的机器内，数从十进制到二进制或从二进制到十进制转换时，BCD码用作中间表示。 它可以表示数，并可在计算机内直接进行运算。,19,3.3.3 奇偶校验码,必须强调，奇(偶)校验码只能发现单数(奇数)个错误，而不能检查出偶数个错误，也不能查出出错的位是哪一位，因此，它不具有纠正错误码的能力。但它却很常用，因为它占用的位数少，只需一位，编码简单，控制亦方便。虽然它不具备纠错的能力，但计算机只要发现数据或指令有误，可直接丢弃它，重新去获取或计算即可。所以奇偶校验码被计算机存储、传送等广泛使用。,20,3.3.4 ASCII码,发明ASCII码(American Standard Code fo
13、r Infoemation Interchange， 美国标准信息交换码)， 就是为了代表我们与打字机 键盘相联系的所有的符号。,21,3.3.5 其它编码,汉字编码汉明码循环校验码,计算机内部,由外到内,由内到外,输入方式：大键盘、手写、语音、小键盘 输入编码：拼音、字形、数字 内部表示：国标码、机器内码。 输出显示：字模点阵码 字模点阵码与机器内码是多对一关系,具有检测能力和纠错能力 信息位n；检测位k；总长度k+n位。,又称CRC码（Cyclic Redudancy Check），检测和纠错能力强。 设计思想：让校验码（有效信息位加上校验位）除以某一事先约定好的代码。若能除尽则表明校验正
14、确，否则校验出错，出错位由余数指出。,22,3.4 数的各种编码,8086 能够处理 三种类型的 数据,无符号二进制数,有符号二进制数,无符号十进制数,3.4.0 数据类型 3.4.1 无符号二进制数 3.4.2 有符号二进制数 3.4.3 无符号十进制数(BCD码),23,3.4.0 数据类型,整数表示实数表示十进制数的表示,字符型整数：长度8bit，表示范围：有符号-128-+127；无符号：0-255 单字整数：16bit，表示范围： -32768-+32767；0-65535 双字整数：32bit，表示范围：-2*109-+2*109-1；0-4*109-1,短实数（浮点数）：32位=
15、符号位（1）+偏移阶码（8）+有效位（ 23 ） 长实数（双精度数）： 64位=符号位（1）+偏移阶码（11）+有效位（ 52 ） 偏移阶码=真实阶码+偏移量（短127；长1023）=0,非组合（非压缩）编码 组合编码（压缩）,24,3.4.1 无符号二进制数,无符号二进制数 有两种字长， 即8位及16位.,八位最 小值0,八位最 大值255,十六位最 小值0,十六位最 大值65535,25,3.4.2 有符号二进制数,无符号二进制数 有两种字长， 即8位及16位.,八位最 小值-128,八位最 大值127,十六位最 小值-32768,十六位最 大值32767,26,3.4.3 无符号十进制数
16、(BCD码),无符号十进制数是每位数用4位二进制码来表示。在8086中，它的存放有两种形式：一种是压缩格式的，一种是非压缩格式的。,压缩型,非压缩型,无符号压缩十进制数是每4位存放一位十进制数，一个字节存放两位十进制数。字节的十进制数范围是099。无符号非压缩十进制数是一个字节存放一位十进制数，数值放在低4位中，高4位一般清零，尤其对乘除法运算时，高4位必须是零。双字节表示的非压缩格式的十进制数，其取值范围是099.,27,3.5数的逻辑运算,数的运算可分为两类，一类为算术运算，一类为逻辑运算.逻辑运算的特点是按位进行，每位得出一个独立的结果，对其他位无影响。因此逻辑运算不存在进位、借位、溢出
17、等问题。,3.5.1 逻辑非(求反)NOT 3.5.2 逻辑加OR 3.5.3 逻辑乘( 即逻辑与)AND 3.5.4 逻辑异或(按位加)XOR,28,3.5.1 逻辑非(求反)NOT,逻辑非可用逻辑电路来实现。通常，我们称实现求反的逻辑电路 为inverse gate(非门)，其电路图的国标符号及国际表示符号如图,例10110101，01100010，求其非。解 01001010， 10011101,29,3.5.2 逻辑加OR,A、B两个变量中，只要有一个变量取值为1，则它们“或”运算的结果就是1。若有两数X xnxn-1x1x0，Y ynyn-1y1y0， 则 X、Y两个数的逻辑加 Z
18、X OR Y znzn-1z1z0，且zi xiyi ( i 0, 1, , n )。,例 若X 10110101，Y 01100010，求 X OR Y ? 解 X OR Y 10110101 OR 01100010 11110111,30,3.5.3 逻辑乘( 即逻辑与)AND,与门(AND gate)电路符号由图所示,其运算规则,31,3.5.4 逻辑异或(按位加)XOR,逻辑异或又称“按位加”，可用符号“”来表示。其(Exclusive OR gate)门电路符号如图所示,32,3.6数的算术运算,逻辑运算按位进行运算 算术运算“加、减、乘、除”，各位之间互相关联有借位、进位。 3.6
19、.1 定点加减运算及溢出判断3.6.2 定点乘除运算,33,3.6.1 定点加减运算及溢出判断,定点加法运算 计算机中的书的加减法是以补码形式进行的。 小数和整数原理相同，以小数为例。 计算公式：,模取4 ，1X-1， 1Y -1 X补+Y补=X+Y补(mod 4),模为什么取4 ？,采用双符号位 11.001101,34,证明公式： 若模取4 ，1X-1， 1Y-1；则 X补+Y补=X+Y补(mod 4),证明： 分三种情况： 当 1X0, 1Y0 时 当 1X0, 0Y-1 (或 0X-1 , 1Y0)时 当 0X-1, 0Y-1 时,35,当 1X0, 1Y0 时, 1X0, 1Y0 2
20、X+Y0又由补码定义可知X补=X; Y补=Y。 X补+ Y补=X+Y=X+Y补,36,当1X0, 0Y-1 (或0X-1 , 1Y0 )时, 1X0, 0Y-1 X补=X; Y补=4+Y X补+ Y补=X+4+Y=X+Y补 -若 X+Y0则 X+Y+4=X+Y (mod 4) X补+ Y补= X+Y=X+Y补(mod 4) -若-1X+YX-1 , 1Y0 同上证。,37,当 0X-1, 0Y-1 时, 0X-1, 0Y-1 0X+Y-2则可知X补=4+X; Y补=4+Y。 X补+ Y补=8+X+Y=4+X+Y补=X+Y补(mod 4),在模4的意义下，任意两个数的补码之和等于此二数和的补码,
21、38,例题,例1 已知 X=0.101010，Y=-0.001001,求X+Y=?例2 已知 X=-010101，Y=-000110,求X+Y=?,39,2.定点数减法运算 转化减法运算公式：X-Y补=X+(-Y)补=X补+-Y补(mod 4);例1 已知 X=0.101100，Y=-0.100111,求X-Y=?例2 已知 X=-010101，Y=-011010,求X-Y=?,40,3. 溢出判断,当两个正数相加为负数，则结果出错，即产生了溢出。例5 已知 X=0.1010101，Y=0.0110010,求X+Y=?解：x补=0.1010101, y补=0. 0110010。0.101010
22、1+ 0.01100101.0000111,产生溢出!, X+Y补= 1.0000111 X+Y=-0.1111001,41,双符号位溢出判断,采用双符号位，即模4补码时，判断溢出的法则为：“两符号位不同，为溢出”。 运算结果： 如：00.xxxxxx为正数； 如：11.xxxxxx为负数； 如：01.xxxxxx为正溢出； 如：10.xxxxxx为负溢出；,首位符号决定：结果的正负。,42,例6：已知(1) X=0.1001, Y=0.1101(2) X=-1110, Y=-1110判断相加后有没有溢出。,双符号位溢出判断,43,单符号位溢出判断,溢出判断法则：相同符号相加得异号为溢出。 两
23、个符号相反的数相加，不会产生溢出。 两个符号相同的数相加： 正数相加结果为1.XXXXXXX，为正溢出； 负数相加结果为0.XXXXXXX，为负溢出。上面例6：已知:(1) X=0.1001, Y=0.1101(2) X=-1110, Y=-1110判断相加后有没有溢出。,双符号位溢出判断相对简单,44,3.6.2 定点乘除运算,乘除法运算 = 加法 + 移位原码一位乘法原码一位除法,45,原码一位乘法,十进制手算： 二进制乘法口诀：一一得一，其它为零。 符号为：同号为正，异号为负。 乘数逐位乘与被乘数，部分积乘权累加。 数学表示：X=XSX*; Y=YSY*;Z=ZSZ*= X Y=（XS
24、YS）（X*Y*）,例7 已知X=+0101，Y=-1101， 求 Z=XY,46,计算机运算与手算的区别：解决办法： 累加部分积 左移改为右移演示,手算： 有足够的纸张,没有足够的寄存器,中间结果,47,机器中实现步骤,部分积初始值： 0000,已知X=+0101，Y=-1101，求 Z=XY。,+） 0101,0101,00101 SHR 1 bit,+） 0000,00101,000101 SHR 1 bit,+） 0101,011001,0011001 SHR 1 bit,+） 0101,1000001,01000001 SHR 1 bit,Z= （XS YS）（X*Y*）=11000
25、001,根据此例总结出原码乘法法则： 从乘数最低位开始，逐位乘与被乘数； 每做完一次乘运算，即累加部分积； 每累加一次后，部分积右移一位； N位乘数进行n次乘、累加、移位运算； 最后得到乘积的绝对值。 符号为两数的符号异或运算值。,48,原码一位除法,原码一位除法与乘法相似X=XSX*; Y=YSY*;Z=XY=ZSZ*ZS=（XS YS）, Z*=（X*Y*） 下面我们只讨论正数原码的除法问题 常用的原码除法运算方法： 恢复余数法 加减交替法,49,恢复余数法1,X=1011，Y=1101，求 Z=X/Y 手算形式：,50,恢复余数法2,判断够减否，人来完成。,做减法，判断余数的符号。,规则
26、： 被除数（或余数）与除数做减法； IF余数为零 OR 满足精度 THEN 商为“1”,结束ELSE IF 余数为正 THEN 商为“1”ELSE 商为“0”，余数再加上除数； 左移一位； 转 I 注：减法用加补码来实现。,51,恢复余数法3,例： X=1011，Y=1101，求 Z=X/Y。 解：-Y补=110011（双符号位）。,恢复余数法缺点：需要不断回溯， 影响机器速度。,结果：Z=0.1101；R=0.0111。,52,加减交替法1,加减交替法是从恢复余数法中的余数规律总结出来的。 被除数（或余数）做减法，余数为R1; 若R1为正，则商上“1”， 余数R1 左移一位后，减除数得R2（
27、R2=2R1-Y）； 若R2 为正，商上“1”， R3=(2R2-Y); 若R2 为负，商上“0”， R3=2(2R1-Y+Y)-Y=4R1-Y; 修改：当R2 为负时，不加除数，而将R2直接左移一位，再加上除数，结果为： R3=2R2+Y=2(2R1-Y)+Y=4R1-2Y+Y=4R1-Y,53,加减交替法2,余数为正，商取“1”，余数左移一位， 减去除数，求得新的余数；,余数为负，商取“0”，余数左移一位， 加上除数，求得新的余数；,规则,54,加减交替法3,X=1011，Y=1101，求 Z=X/Y。 解： -Y补=110011（双符号位）。001011 +） 110011111110 0 SHL1 111100+） 001101001001 1 SHL1 010010+） 110011,000101 1 SHL1 001010 +） 110011111101 0 SHL1 111010+） 001101000111 1结果：Z=0.1101；R=0.0111。,55,
