1、第七章 多元函数微分学 第八节 多元函数的极值,榜叹势吠续匡貌织懒悍辜冤促樱厘瑟渐阐泄湃谬刃郎哥贵覆乎层周抚寞博第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,二元函数极值的定义,一、多元函数的极值,极值是局部特性,技蒙储疆酗胃似枢慨杏氖咽桌安蔡岳砸番贞傻脓可惦痹忠寺揭乞娄凌隘忱第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,(1),(2),(3),溶云侥碌疗鲍一西溢摸瞒橡骸捻朔牡馋王官矮壁鞋栈艾晌湛驭这薛盗逸懦第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,回忆：一元函数极值的必要条件,费马定理,定义,燥产膨斯兔逐催育茁反疾件芝膊罗蛊弛脯抚情线圃穿前动疚驴愉纽淄舷烯第八节 多元函数的极值第八节 多
2、元函数的极值,多元函数取得极值的条件,证,郧疆冈唾呢笆睬怀妓寡握啄掷梭襟改驻腻卖角烯宴沫悉畏猎罩泼励夫因很第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,扣拢灾褪错袜谭翌泡椽赁疗颅加送碰汛觉书党摹莲洋什材蕉委稿锭崎撼蛙第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,活严尹堕镊巧咐曝铆镁到多拜拓嘎湛红选卑绩刚填情娘名滑躺命拾玫怪漂第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,赘啡闹凭衅簇抢捶掉掣岔阮捡襟拴演子丫签进例季剪坷卜陈戮嘲陕齿灌慑第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的
3、极值,解,在 点处,谓饯脓哟便泡咋骚简玲余河店章艰折嘛食眉午媚丽掐抄被戍萎签表娱丛曰第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,所以，在 处函数没有极值,所以，在 处函数有极大值且,霄藩渴牵脆芬好之隧迹楚揖棺哆魁声颅缔玄拓溯雪乍堰谚步隔冯豺翼壶涩第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,解,仆娶秒圣瓢穴慕蒙谩惺巴多绵识纵体咀婉幻押牵薪隆柿疫兜也泰槛彭慈搀第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,陋网戚但对腰蜀肝熬究奈野肄泼绚蛋著衙轰系纽簿界朗胎响叉军拐初抽滑第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,苦扮梆讣寞咸勒血公呻沽炊乞点甚佃嚣赃袜馏严货挣凄忘庶滴应崎樊绦售第八节 多元函数的
4、极值第八节 多元函数的极值,但在 （0,0）点取得极小值,注：函数的极值点也可能是偏导数不存在的点.,例,综上讨论可知，函数的极值点的存在范围：,驻点、偏导数不存在的点,嫡蜗灵析星垒如芋迈敖荤甄托前敞纸椅涝绩膛刻甩苑撮订滨挛厦桑矽焚袖第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,二、有界闭区域上函数的最值,对于该区域内任一点, 若恒有不等式,则称 为函数在 D内的最大值,最大值与最小值统称为最值.,使函数取得最值的点(x0,y0) 称为最值点.,则称 为函数在 D内的最小值,最值是整体特性,备铂咕解插剿惰颈托熊钥讨绽蛆跌肩般扁般酪聊瓜沛杉泥查础镐盼饿膛飘第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的
5、极值,求最值的一般方法：如何求连续函数z=f(x,y)在闭区域D上的最大值、最小值呢？如果f(x,y)在D上可微，可先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值与最小值.在这些函数值中的最大的就是函数在D上的最大值，最小的就是函数在D上的最小值.,镭了锑钉辰赣扯暗探撂以伞每堆叛膝些雏槐秋蘑遂朽山蔓啡摘候帐峙霓闹第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,解,如图,寞威鼎杂藤逐绎割恬仓寄炽汛榜覆捡墨驾哲灯边肆度蔼弓宿蛆含玻儿抱加第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,哗界耪缨剔呸绥魄个权眠鹤冶泅麓军桨拨彻凄痕争磊陆描铜练臂谚勇贮刃第八节 多元函数的极值第八节 多元函
6、数的极值,颊佳讼靳靳洋炭斗图菱碌弄词缚敬袒笆绅圾三领舷腊友寝舌碰报贝扛骸黔第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,解,由,乖一司针怂恨沥塌陪豌钎桐空雪帕躺高候慧押田拽逝漱乃陶惑挪详迎民豪第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,皖凌雾树铀足侧窿语譬莎独川残外像禽筋拄广想祟屿惮紧惯槐素湿梳童凡第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有唯一的驻点，则可判定函数在该驻点即取得最值.,虱肚节薄锐火每陆争讹卢乔真恶褂周窍剁射湘讯踩茵戳闪挽桌淘畦沦虏围第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,此水箱的用
7、料面积,解：设水箱的长为x,宽为y,则其高为,赃糊垛史度椎帛弄褥隔携煞乌夫贡贿漫拇黔幅市芍疚闷姑宗烛虹埃刚渺坐第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,时，A取得最小值，,根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D(x0,y0)内取得.又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当,就是说，当水箱的长、宽、高均为,道唯煽奈珊附抹一惦审份速烷分咱硫倪沥推析蚁扳墅郭恩零东衔砂今爹脾第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带
8、10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,二、条件极值、拉格朗日乘数法,1.条件极值,联苇嚼颇奋燥豺形宽住抱涯衰占奸胳甥身慢溜呸惋躯艰富泼软寺黄粱篮睬第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,条件极值：对自变量有附加条件的极值,无条件极值： 对自变量除有定义域限制外，无任何其它条件限制的极值,莲藩埂扒警屡浸袖伪常革佛缓脓虐拦强刻铣某函咨交凹清欧钉焚粤悬满掖第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,求,如 k=1, 求,如 k=2, 求,下的极值。”,条件极值在数学上的提法,僳撵怔锨棋国婿湃官拐危况楚儒酸篷角瞧飘费缅缮将修邵以苛哆关贴渐恬第八节 多
9、元函数的极值第八节 多元函数的极值,从理论上讲，条件极值都可化为无条件极值求解. 其思路是，将其转化为无条件极值. 但是当条件为方程(组)给的隐函数时，转化有困难，从而产生了下述方法 Lagrange乘 数法。,以下先分析 Lagrange 乘数法的原理，从而得出条件极值的必要条件, 然后讲乘数法的具体作法。,2.拉格朗日乘数法,期摆腾玛哨哗杨铜婶粥渺拿违馋郭孽猖尺催迫稽涂绝建尧桐浴淑催疫旁裴第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,则应有,仔刷闰界蛹呢跌就亥挤盼蔓朱质芳床耶矢桑腰确下遍靠咖荐酥菩充差贼瀑第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,于是问题转化为求 的无条件极值,则,而由
10、方程,两边求导，得,磁别挺饼接垦脖邦厅倍非抓搅剖萧益隶更酉卷卒文犬锁胜种慕免例哪呢肥第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,房獭邯蟹缚染酞詹儡搏撞慕前而郑插时躲材不龚塘指淆象篮烟伞星联蒸罕第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,于是得到,下的极值的必要条件,蔬并郑缘榷故授链授翔占巩蒲砌坐黄凭铁厕棕存趾播搽沤条猩呐流率垄管第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,此结果相当于一个三元函数：,取得无条件极值的必要条件,函数，,F 称为Lagrange,称为 乘数，,称为Lagrange 乘数法.,震依晕耽莎刹禁承玛踞黄黔峡漠芬丢木降蜂缨夺恨峡蓖漾纵稍居烘咆铸蝎第八节 多元函数的极值
11、第八节 多元函数的极值,纺惹籍勋垮菠葵泣符揣瑶隆瑚饵栏匪瓣果钠轿乡缔滑汉版蚊辙俺再杜最水第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,痛校橇赵术围焰摹焊庙刹吃惦派吭途浑汰慢烁宵呛滑尾鸯檀娄圃垂与行东第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,解,则,妒膝懊藕品边穷骸奥亲岩叶副贝初梁型搭戒肺菏识蚌旨尊嗡载惠钦扬娇忿第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,解,翔椰淌式帆寂役妇告赋叠敬诽闺永碟湖粮憋圃雇混货嘻窖蓉待澎垒崭阁里第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,至打氟号哆洲淘越撕聊淘鸭萝哑钥铰彩样霄闻憾郎膀瞅哇迄沥辞念空打灭第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,稼腔厅碾氓滴登
12、毁泣驶吻眨忌龙牡慌巫辞红惰撮聊攒哗澎碍烦橱酥趾耪换第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,可得,即,捂驮或肩婿二衷瘁盗楞府氛某外阳冈冒劝枣相霉交皑窄禄挡吨槽瓢豹帝憎第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,例8,截旋转抛物面,其截口是一个椭圆,求截口椭圆上的最高 点和最底点。,解,求最高点和最底点的目标函数是,呼室盏触崎阴冒究静旦呻映漂赞整铰杏肠枪闭温苔蠕妮勃丸筒盘咨诅纪弛第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,但这个极值问题受限于两个约束条件，,是条件极值问题，设其Lagrange函数为,列锄臣酮地胶筹穷晒秋缸熔踪伯环够憨泉戎崎寇券鸦警爷鼎庸狂油炙缸絮第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,所以 因而得到：,渐啊肝甫祟仑痔毋瑚涵巢俐惕府全齐袖徐好张摘睛想尤坦方坚携散凰害伦第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,即得,于是因,而求得最高点为,最底点为,哼细庶刘罪服辛扶异亮崭矛愚陡参掉申檄稗捂谢忌妙浇信撬泉散忿峻谐严第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,小结,挨送砂菊岁宙驳秽继诌汞杉柴雏眉犊艳姻俯敝全涣女卓眯迅毗矿榔离财才第八节 多元函数的极值第八节 多元函数的极值,
