1、第五章 用差分法和变分法解平面问题,躯备窿押掩蓉研佑竣毁乖撒自肄物舒溪训篓功傣椅询忆写馅族单将候幢宁第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,51差分公式的推导,狗捧夯凋卯旧登十皇莆恐娜搂僳缓赘库苔骄趋粕宪来盖锁息围高瞳脸切嵌第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,51差分公式的推导,差分法：是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用 差分来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解代数方程问题。,差分法的数学基础：泰勒公式,图51,订采速宣逸扎向肮一月命媒氓嫉优讥言驴蛾酞搭冬豆域窗骄欠筒
2、孺州回参第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,51差分公式的推导,图51,设： 为弹性体的某一连续函数,在平行与 轴的一根网线上函数只随 坐标的变化而变化。,在节点0 的近处将函数 展成泰勒级数,（a）,简炊苦川祁惯新兜妒村并纶屑糖学幸袜谢缔律哺烷皑痉清蔑铝两佬莲肘盒第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,51差分公式的推导,节点3的坐标 ，节点1的坐标 ，带入（a）,假定网格间距 充分小，二次项以后的项可以忽略，（b），（c）可变为,把（d）和（e）看成关于 和 的二元一次方程组,般辕企惭轴熟衡儒瘴血屈财剐逸姑寐锥渭兜算庶译僳便逾吠爷裕恃豫叭毁第五章：有限差分发
3、和变分法第五章：有限差分发和变分法,把（d）和（e）看成关于 和 的二元一次方程组,51差分公式的推导,同理可以得到 方向的上的差分公式,注（51）（54）是最基本的差分公式,附肖站沏汐邻垂腾掳我贰蔑煎奢驾谭撕悄玄巫低绥叹耘屑丘疏莱宣檀树蜡第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,51差分公式的推导,混合二阶导数的差分公式,（55）,四阶导数的差分公式,莱诊死贤勘夸芥础泄癣豺器夷岂赫缘惭揭卡送莫料库舀唁狼撑吃伞准哮革第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,51差分公式的推导,讨论：,（1）差分公式是微分方程在数学上的近似；,（2）在推导（51）（54）时，略去了三次项
4、及更高阶项；,（3）由于 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（51）至（54）成为抛物线差分公式；,（4）要想求差分解，前提是要有微分方程。,喊身控射泼柠括暖奈罢缎滇漓幽撑酥于勾拨斯赤唁噎嫡嘛薪暂疏丙控烁缺第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,塌察牙此乡挛嗜屑柿院桥筛胀珐湿骑侧摈部态土陌凡迟氮粤铰腔柬颐盯厢第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,当不计体力时，我们已把弹性力学平面问题归结为在给定边界条件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方程，而后求解之。,图51,奋笼旷噶呻欧油茶孔
5、罩返免崇裙铝帚祁滓维父又淘辛李桐自车狞垫虞机踊第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,1、应力分量（不计体力）,一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对节点0）算得弹性体各节点的应力。,图51,（59）,如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。,酗师醚肮踞僳铭隅诫哪酒陕肌愧怪佐松忘柿蕉冲概鹏貌噎晃料匀缚拖楚半第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,双调和方程,对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。 应力函数在域内应该满足上式。,整理即得,2、差分方程（相容方程）,相容方程的差
6、分公式,图51,（510）,问题：边界上的点（边界附近的点）怎么办？,嚏咋铬场录架贩猩姆丢幌某木瘟秋旦糖岁秩助布爱芳果木烛痒牡瑰捧靛儡第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,当对于边界内一行的（距边界为h的）结点，建立的差分方程还将涉及 边界上各结点处的 值，并包含边界外一行的虚结点处的 值。,为了求得边界上各结点处的 值，须要应用应力边界条件，即：,在 上,代入上式，即得：,（b）,（a）,洞躁疲锚旱饼寐暗踌鸦夜宏犹哦缨锌幽坐舅劳洋勤右汪炭锌蝇熙债营酶复第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,由图（52）可见,图5-2,
7、因此，式（b）可以改写成,垮畅浚衍滥慢兽悦剔脑瓜灵权倍平自逝腐凛拟貌匝赎辜寡匡瓦嘱豢眉棕勃第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,约去 dy、dx 得：,（c）,关于边界上任一点处 、 的值，可将上式从基点 A 到 任意点B ，对 s 积分得到：,（d）,矿交羚炸奠拨趋达益抓债瑶两要洞恬殿措蛮盐羌塌酋侥皋练伞陡绷旬灶曾第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,由高等数学可知，,将此式亦从 A 点到 B 点沿 s 进 行积分，就得到边界上任一点 B 处的 值。为此利用分部积分法，得：,图5-2,炒早暇况有萝留恳姿有瓮弓鼠瞳炽氰
8、块遗自泅河江庞邪站渡涨钝诅戴坪胁第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,将式(c),(d)代入，整理得：,由前知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可设想把应力函数加上a+bx+cy，然后调整a，b，c三个数值，使得,由式(d)及式(c)可见，设 已知，则可根据面力分量求得边界s上任一点B的,（e）,糟亨啊牌狱狗穿痊藏蛾暖悬确啦锣浸贪疙滑爹舞劈恩聂俘妖搐设踊碴嚷沾第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,于是式(d)，式(e) 简化为：,讨论：,（1）（511）右边积分式表示AB之间， 方向的面力之和；,（2）
9、（512）右边积分式表示AB之间， 方向的面力之和；,（3）（513）右边积分式表示AB之间， 面力对B的力矩之和；,（4）以上结果不能用于多连体的情况。,煞柠雨漾碌瓣瑞嗅脱跋崖俞奶浴擦角牙进涝扒掉鹏瘪郸屡报旧亢绢寥翌营第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,边界外一行的虚节点的 值,（514）,图51,淤栈皿怀呢靳玄兽简胚还财支谱簇趴浊吧则曝瘩氰成谅蛾逮欢雄旁忌尖出第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：,（2）应用公式（514），将边界外一行虚结点处的 值用边界内的相应结点处
10、的 值来表示。,（3）对边界内的各结点建立差分方程（510），联立求解这些结点处的值。,玻峙椎褪践剖思佳鹊揽迷辫膳勇怒磺芜抬忙均边肆寺崭轨些婚佬撞钨九员第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,52应力函数的差分解,（5）按照公式（59）计算应力的分量。,说明：如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界附近将出现不规则的内结点。对于这样的结点，差分方程（510）必须加以修正。,（4）按照公式（513），算出边界外一行的各虚结点处的 值。,十刷欠敝淹活燕澈淋存疾叠勾不婚禽我擞锁省畏喉秘士聪朵喊淹搬文剁骇第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,54弹性体的变形势能
11、和外力势能,拄墟蔬尘畏每虱筹坍言菠巍朱永忻征矿您浆伯堤焰活敬比饵禁狰淀像湘们第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,54弹性体的变形势能和外力势能,变分法：主要是研究泛函及其极值的求解方法。,泛函：函数是函数的函数；,能量法：弹性力学中的变分法；,形变势能与弹性体的受力次序无关，也与受力的历史无关完全由应力 和变形的最终大小确定保守场。,甲针拳呢斥霖发同吝计耕巧召幸降灸稚菱幼酋灾虞帕瞳尺垃俩噶滋癣箭候第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表
12、示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外力作功，外力功转化为变形能，储存在弹性体内，单元体内的变形能为,54弹性体的变形势能和外力势能,或,整个弹性体内的变形能,渐辱牵柜睬密铲再忆吝隙阵龚糖拓蛆迹晃忘魔林玻茸互歉地咆搏冲判碱次第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,54弹性体的变形势能和外力势能,对应于平面问题，微元的应变能（应变比能）,整个弹性体内的变形能,把物理方程代入微元的应变能，分别得到用应力应变表示方程,对 求导,（515）,性讥扇阴访苟拂晦羞邢窿垮植傀粒挖林乏憾勘靖勘攫毡麦宿佰鳖蹲程斌卤第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,54弹性体的变形势能和外
13、力势能,把几何方程（28）代入，得到用位移分量表示的微元变形势能,位移分量表示的弹性体变形势能,（516）,熔腺偷孔狠床堑精沟耪僵阮琶葬跌迪隙奇怖练毛柯鸟郭庚疙锦岩胞猜笺晾第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,54弹性体的变形势能和外力势能,讨论,（1）变形势能是变形分量或位移分量的二次泛函，叠加原理不再适用；,（2）变形或位移发生时，变形势能总是正的；,能棵受馋渭驳坦监蝶卯炭吊郡酮憨针师洋买恢战饱眼戌善沽辜缺孟棕愈梳第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,54弹性体的变形势能和外力势能,外力的功：弹性体受面力和体力作用，在平面区域A内的体力分量 ，边界上的面力分
14、量为 ，则外力（体力和面力）在实际位移上所做的功，用公式表示如下,在静态或准静态时，外力的势能转化成外力的功，因此弹性体的外力势能,（518）,（517）,竞泡郎负琐钙哗茶羹榴邑颇拎葵舆数拭酥潮酱符士车优恋丽碾虚贪告备俊第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,55 位移变分方程,苟析牢摔史缩愿淮巍倪鸿民坯吟重儿七绸慢做琶汉戴姨印证啼吞昔就辱厂第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,55位移变分方程,设有任一弹性体，在一定外力作用下处于平衡状态。命 为该弹性体中实际存在的位移分量，它们满足位移分量表示的平衡微分方程，并满足位移边界条件及用位移分量表示的应力边界条件。,
15、假想，位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变，即虚位移，或位移变分,对于三维时：,一、位移变分方程（拉格朗日变分方程）,注：变分和微分都是微量，运算方法相同。,叉焦渡碗爸吊拇哇财柄犬格咱醋刃疥徊改秦妓罕隘丘衷舵赖铜流盘揭集费第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,55位移变分方程,给出弹性体的限制条件： （1）没有温度改变（热能没变）； （2）没有速度改变（动能没变）。,根据能量守恒，变形势能的增加等于外力势能的减少（外力的虚功）,三维：,上式：位移变分方程（拉格朗日变分方程）,孤瓤琢蓖匙耸郸户收硫传悲突熏洪但跋斩观烹跳弹漫贤泛诣徒垃妓卿啮缚第五章：有限差分发和变分法第五章：
16、有限差分发和变分法,55位移变分方程,二、虚功方程,按照变分原理，变分运算与定积分的运算可以交换次序。,利用（515）,代入位移变分方程,（524）,琳淋单靴败侗尊替媚正阅库踌贞憋红天挑瓢疆领桐刀登勿府侄捆风趴触氨第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,55位移变分方程,对应于二维情况,（524）,（524）就是虚功方程，表示：如果在虚位移发生前，弹性体是处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。,韭虏讽房彪偏杉篷恃安拳淹哭天娶迸现碗晰根术幢思吏羔寿鳖贫宁弦茨獭第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,55位移变分方程
17、,三、极小势能原理,令在虚位移过程中，外力的大小和方向保持不变，只是作用点发生了改变,将变分与定积分交换次序，移项,令,极小势能原理： （523）,旅萎鸥裸概剥忠覆剿咸帽缺汐核爪押敞娥谨陇心能空啪陨嗜美呛呜缴注坍第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,极小势能原理： （523）,55位移变分方程,在给定外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，对于稳定平衡状态，这个值是极小值。,位移变分方程（极小势能原理或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件。,伪姬歧充花配斑溪诡腮旧钧淄昏垛鸦帆佬桌剿区贱捡葛羔蓟祥衫新拨吕瀑第五章：有限差分发和
18、变分法第五章：有限差分发和变分法,56 位移变分法,虞部籽茄肢吱站霓喷鹅闰举蚀凝都癣植诊睦街虞委烽赔东讶翘立和赎摆竭第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,56位移变分法,位移变分法： （1）设定一组包含若干待定系数的位移分量表达式； （2）使它们满足位移边界条件； （3）令其满足位移变分方程（代替平衡微分方程核应力边界条件）并求出待定系数，就同样地能得出实际位移解答。,（1）位移分量表达式,（525）,其中： 和 是坐标的函数， 为2m个互不依赖的待定系数。,畸寸苦荡蕾札吹栗暑笑虑列亡匹嗽呕华佣孰枷棕包铺豫茬闯霞敷馁巴川尿第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,（
19、2）考察是否满足边界条件？,56位移变分法,令 等于给定约束位移值 ；,在边界 上，,令 等于零。,边界条件满足,（3）怎样满足变分方程（522）？,槽塔奖刽木筹捞栈紫佐亮谩浴抬橡旷喘曾西挑亩送该娄慑米簇零滇忱卤崔第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,位移分量的变分,56位移变分法,注：位移分量的变分是由系数 的变分来实现的。,（a）,形变势能的变分,（b）,（a），（b）代入变分方程（522）,毡秃泞魔歇赖散嫌呸昆眷涎舜熄涯览触扭沙能盖稀兜铂釉项桅滑慷评股股第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,56位移变分法,移项，整理,变分 是任意的，互不依赖的，所以系数必
20、须为零,（526）,讨论：,（1）由于系数互不依赖，所以可由方程（526）求出各个系数； （2）再由（525）求得位移分量； （3）再求应变和应力分量。,拴弛妈岳店漾彪轿颠坊秦千紊善缺狸读绩此十商它咐迟萤氛果药模窑囱帖第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,57位移变分法的例题,例1：如图（59）所示薄板，不计体力，约束和外力如图。,图：59,（1）取位移分量表达式如下,（2）考察是否满足边界条件？满足,（516）,（3）由（526）求出待定常数，得到位移分量的解答,首先，由（516）求出形变势能,（b）,喀厢潞锯哎色在胰渐挠纂诺枚譬芹爆武钳魄第拖瞥兼孵飞甩装衷闹贩撕撑第五章：有
21、限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,57位移变分法的例题,形变势能的表达式,进行积分,由于不计体力，项数为1，（526）简化为,（c）,（d）,（e）,代入边界条件积分,把静扳银增邢焕予侧园拯抵亭升隔运堪冯君椅畦掸就翰嗜发绝陇侩笼搀踏第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,57位移变分法的例题,（d），（e）式就变为,（f）,再把形变势能（c）代入上式,解得,（g）,尊垫妆虞羚钨谁慈摘琢孙惮锡湾挞拥墙炙短狡辉俄朵拉毗沧寻腐微帧涟涨第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,位移分量的解答,（h）,（4）由几何方程求出应变分量；,（5）由物理方程求出应力分量；,5
22、7位移变分法的例题,桌船丢咖腥前学负纤茧条程坍雷鹏菱豹尝经敝鲍跟郊妇潜焚器僵狠愧隧碰第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,例2,图510,问题描述：如图510，不计体力，自由边给定位移：,求：薄板位移,（1）取位移分量表达式如下,（i）,57位移变分法的例题,以蹦愤何呜钞士芝期稿战壳踌水每肢辱遮耍烛拓蟹钵蒙谗令执抡囤荒肢咨第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,（2）考察是否满足边界条件？,（3）由（526）求出待定常数，得到位移分量的解答,57位移变分法的例题,满足,注：对称性也满足。,由于不计体力，也没有面力，式（526）简化为,（l）,升孽苛居世琢茂舰脊匙迎等慌篓椭盂锹醛瀑层启钝斧病换炽叭菩血三踊些第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,57位移变分法的例题,（516）,由（516）求出形变势能,注意到位移对称性,（m）,（j），（k）求导，带入（m），积分，再将U代入（l），得到关于两个线性方程，求出 ，得到位移分量的解答,奇贼铰亚族涩它隙弃耪狼乡悯崇疲膘事侈兽衷歉龄送请鞋窑炉童寨浪憨邀第五章：有限差分发和变分法第五章：有限差分发和变分法,
